Основы финансовых вычислений

МИНИСТЕРСТВО ОБРАЗОВАНИЯ И НАУКИ РФ 

ФЕДЕРАЛЬНОЕ ГОСУДАРСТВЕННОЕ АВТОНОМНОЕ ОБРАЗОВАТЕЛЬНОЕ УЧРЕЖДЕНИЕ  
ВЫСШЕГО ПРОФЕССИОНАЛЬНОГО ОБРАЗОВАНИЯ  
«НАЦИОНАЛЬНЫЙ ИССЛЕДОВАТЕЛЬСКИЙ ТЕХНОЛОГИЧЕСКИЙ УНИВЕРСИТЕТ «МИСиС» 

 

 
 
 

 

 

 

 
 

 

 

Кафедра «Финансы и менеджмент горного производства»

З.В. Баздарева 

Основы финансовых
вычислений 

  

Учебное пособие 

Рекомендовано редакционно-издательским 
советом университета 

Москва  2014 

УДК 336.6(075.8) 
ББК 65.29я73 

Р е ц е н з е н т ы :  
Зав. кафедрой «Экономика и банковское дело» 
НОУ ВПО «Московский институт банковского дела»,  
канд. экон. наук Т.М. Мамедов 
 
доцент кафедры «Финансы и менеджмент горного производства»  
НИТУ «МИСиС» 
канд. экон. наук Е.В. Жидкова 

Баздарева, З.В. 
   
 
Основы 
финансовых 
вычислений : учебное 
пособие / 
З.В. Баздарева. – М. : Изд. Дом МИСиС, 2014. – 88 с. 
 

В учебном пособии изложены основные понятия и методы финансовых 
вычислений, представлено большое количество примеров и задач, поясняющих существо всех рассматриваемых тем. 

 
УДК 336.6(075.8) 

 
© З.В. Баздарева, 2014 

ОГЛАВЛЕНИЕ 

Оглавление ..............................................................................................3 
Введение ...................................................................................................5 
Глава 1. Простые ставки ссудных процентов...................................7 
1.1. Время как фактор в финансовых и коммерческих расчетах .....7 
1.2. Проценты и процентные ставки, наращение ..............................7 
1.3. Формула наращения по простым ссудным процентам ..............9 
1.5. Простые переменные ставки ......................................................13 
1.6. Реинвестирование по простым процентам................................13 
1.7. Дисконтирование и учет по простым ставкам ссудных 
процентов ............................................................................................14 
1.8. Определение продолжительности ссуды ..................................15 
1.9. Определение уровня процентной ставки...................................16 
Контрольные вопросы и задачи ........................................................16 
Глава 2. Простые учетные ставки.....................................................18 
2.1. Банковский, или коммерческий, учет........................................18 
2.2. Наращение по учетной ставке ....................................................18 
2.3. Совмещение начисления процентов по ставке наращения и 
дисконтирования по учетной ставке.................................................19 
2.4. Определение продолжительности долгового обязательства...20 
2.5. Определение уровня простой учетной ставки ..........................20 
Контрольные вопросы и задачи ........................................................22 
Глава 3. Сложные ставки ссудных процентов................................24 
3.1. Формула наращения по сложным ставкам ссудных  
процентов ............................................................................................24 
3.2. Формула наращения по сложным ссудным процентам при 
изменении ставки во времени............................................................25 
3.3. Формула удвоения суммы ..........................................................26 
3.4. Начисление годовых процентов при дробном числе лет.........27 
3.5. Номинальная ставка ....................................................................27 
3.6. Эффективная ставка ....................................................................29 
3.7. Дисконтирование по сложной ставке ссудных процентов......30 
3.8. Срок ссуды ...................................................................................30 
3.9. Расчет процентных ставок..........................................................31 
3.10. Непрерывные проценты............................................................32 
Глава 4. Сложные учетные ставки ...................................................35 
4.1. Учет по сложной учетной ставке ...............................................35 
4.2. Номинальная учетная ставка......................................................35 

4.3. Эффективная учетная ставка...................................................... 36 
4.4. Наращение по сложной учетной ставке .................................... 36 
4.5. Срок ссуды ................................................................................... 37 
4.6. Расчет сложных учетных ставок ................................................ 38 
Глава 5. Сравнение операций ............................................................ 40 
5.1. Сравнение роста по сложным и простым процентам................ 40 
5.2. Сравнение дисконтирования по сложным и простым учетным 
ставкам ................................................................................................. 41 
5.3. Интенсивность процессов наращения и дисконтирования по 
разным видам процентных ставок .................................................... 41 
5.4. Эквивалентность простых процентных ставок......................... 43 
5.5. Эквивалентность простых и сложных ставок........................... 45 
5.6. Эквивалентность сложных ставок ............................................. 46 
5.7. Эквивалентность сложных дискретных и непрерывных  
ставок................................................................................................... 47 
Глава 6. Учет инфляционного обесценения денег и налога......... 49 
6.1. Наращение по простым ссудным процентам............................ 49 
6.2. Наращение по сложным ссудным процентам........................... 50 
6.3. Компенсации потерь от инфляции............................................. 51 
6.4. Измерение реальной ставки процента....................................... 52 
6.5. Реальная ставка доходности с учетом налога........................... 53 
Глава 7. Модели финансовых потоков............................................. 56 
7.1. Финансовые ренты ...................................................................... 57 
7.2. Наращенная сумма ренты........................................................... 58 
7.3. Современная стоимость ренты................................................... 62 
7.4. Взаимосвязь современной стоимости и наращенной суммы 
ренты.................................................................................................... 63 
7.5. Сумма платежа, срок ренты и процентная ставка ренты......... 64 
Глава 8. Приложения финансовых вычислений............................ 69 
8.1. Арифметика ипотеки................................................................... 69 
8.2. Облигации .................................................................................... 71 
8.3. Акции............................................................................................ 76 
Заключение............................................................................................ 85 
Библиографический список ............................................................... 86 
 

ВВЕДЕНИЕ 

Предметом дисциплины «Основы финансовых вычислений», или 
«Финансовая математика», являются любые финансовые вычисления для достижения какой-либо цели. На бытовом уровне с помощью 
методологического аппарата этой дисциплины могут быть решены 
такие проблемы, как: 
• В каком банке хранить деньги? 
• Какой выбрать вклад? 
• Положить деньги в банк или закупить товары впрок? 
• Обменять средства на иностранную валюту или нет? 
• Купить машину за наличные или в рассрочку? 
На уровне финансового менеджмента с помощью методологического аппарата этой дисциплины могут быть решены такие проблемы, как  
• Стоит ли осваивать выпуск новой продукции? 
• Стоит ли менять старое оборудование на новое или ограничиться ремонтом? 
• Где взять деньги на финансирование этих мероприятий? 
Задачи финансовой математики приходится решать часто. Ядром 
финансового менеджмента является финансовая математика [5]. 
Она дает аппарат и методы расчета, необходимые при финансовых 
операциях, когда оговариваются: 
• Стоимостные характеристики (размеры платежей, кредитов, долговых обязательств); 
• Временные данные (даты выплат, отсрочки платежей, продолжительность льготных периодов); 
• Специфические элементы (процентные и учетные ставки). 
Все вышеперечисленные элементы равноправны. Игнорирование любого из них может привести к нежелательным финансовым последствиям 
для одной из участвующих сторон. Между различными видами параметров существуют функциональные зависимости. Их изучение и разработка 
на этой основе методов решения финансовых задач является важнейшим 
направлением деятельности специалистов в области финансов. 
Финансовая математика имеет сугубо практическое значение. Она 
применяется в банковском и сберегательном деле, в страховании, в 
работе финансовых организаций, торговых фирм, инвестиционных 
компаний, фондовых и валютных бирж, во внешнеэкономической 
деятельности. 

Финансовые проблемы – это проблемы, касающиеся временного 
распределения ресурсов. Ресурсы имеют стоимость. В экономике их 
называют активами. Решение финансовых проблем предполагает 
соизмерение стоимостей затрат (расходов) и результатов (доходов). 
При этом учитывается фактор времени. Решается проблема временного распределения ресурсов. 
Наконец, во всех финансовых проблемах присутствует неопределенность, касающаяся как величины будущих расходов, так и моментов времени, к которым они относятся. Никто не знает точно 
своих будущих доходов, незапланированных затрат, будущих ставок 
в банке, где хранятся деньги, цен на акции и т.д. Связь финансовых 
проблем со временем обусловливает неопределенность и приводит к 
ситуации риска при решении финансовых проблем. Задача состоит в 
минимизации риска. 
Финансовые проблемы решаются в рамках существующей финансовой системы. Реализуется решение финансовых проблем в виде 
финансового процесса как последовательности финансовых операций (сделок). Например, купля-продажа активов, взятие и погашение 
кредита и т.д. 
Большинство финансовых операций и процессов направлено на 
получение наибольшего дохода от сделанных затрат [1 – 2]. Такие 
затраты, сделанные для получения в будущем дохода, превышающего эти затраты, называются инвестициями. 
Финансовая теория строит модели реальных процессов. Их основными элементами являются: время, стоимость, риск. Выбираются 
критерии для достижения желаемого распределения ресурсов. 
Сами модели и средства их построения и анализа носят математический характер. Модели являются формализацией неформальных 
финансовых моделей и описываются на языке математики [3 – 5]. 

Глава 1. ПРОСТЫЕ СТАВКИ ССУДНЫХ 
ПРОЦЕНТОВ 

1.1. Время как фактор в финансовых 
и коммерческих расчетах  

В практических финансовых и коммерческих операциях суммы 
денег, как было сказано во введении, обязательно связываются с некоторыми конкретными моментами или интервалами времени. Для 
этого в контрактах фиксируются соответствующие сроки, даты, периодичность поступлений денежных средств или их выплат.  
Фактор времени играет не меньшую роль, чем размеры денежных 
сумм. Необходимость учета фактора времени определяется принципом неравноценности денег, относящихся к разным моментам времени. Дело в том, что даже в условиях отсутствия инфляции и риска 
1 млн руб., полученных через год, не равноценен этой же сумме, поступившей сегодня. Неравноценность определяется тем, что теоретически любая сумма денег может быть инвестирована и принести 
доход. Поступившие доходы, в свою очередь, могут быть реинвестированы и т.д. Следовательно, сегодняшние деньги в этом смысле 
ценнее будущих поступлений, а будущие поступления менее ценны, 
чем современные.  
Очевидным следствием принципа «неравноценности» является 
неправомерность суммирования денежных величин, относящихся к 
разным моментам времени. Подобного рода суммирование допустимо лишь там, где фактор времени не имеет значения, например, в бухучете для получения итогов по периодам и в финансовом контроле.  
В финансовых вычислениях фактор времени обязательно учитывается в качестве одного из важнейших элементов. Его учет осуществляется с помощью начисления процентов.  

1.2. Проценты и процентные ставки, наращение 

Под процентными деньгами, или кратко – процентами, в финансовых расчетах понимают абсолютную величину дохода от предоставления денег в долг в любой форме: в виде выдачи денежной 
ссуды, продажи в кредит, помещения денег на сберегательный счет, 
покупки сберегательного сертификата или облигаций, депозита и т.д.  

В какой бы форме не выступали проценты, это всегда конкретное 
проявление такой экономической категории, как ссудный процент.  
При заключении финансового или кредитного соглашения стороны (кредитор и заемщик, вкладчик и банк) договариваются о размере 
процентной ставки – отношения суммы процентных денег, выплачиваемых за фиксированный отрезок времени, к величине ссуды. 
Интервал времени, к которому относится процентная ставка, называют периодом начисления. Ставка измеряется в процентах, в виде 
десятичной или натуральной дроби. В последнем случае она фиксируется в контрактах с точностью до 1/16 или даже 1/32.  
Начисление процентов, как правило, производится дискретно. В 
отдельные (обычно равноотстоящие) моменты времени начисляются 
проценты, причем в качестве периодов начисления принимают год, 
полугодие, квартал, месяц. Иногда практикуют ежедневное начисление, а в ряде случаев удобно применять непрерывные проценты.  
Проценты либо выплачиваются кредитору по мере их начисления, 
либо присоединяются к сумме долга. Процесс увеличения денег в 
связи с присоединением процентов к сумме долга называют наращением (капитализацией), или ростом первоначальной суммы.  
В количественном финансовом анализе процентная ставка применяется не только как инструмент наращения суммы долга, но и – в 
более широком смысле – как измеритель степени доходности (эффективности) финансовой операции или коммерческо-хозяйственной 
деятельности.  
В практике существуют различные способы начисления процентов, зависящие от условий контрактов. Соответственно применяют 
различные виды процентных ставок. Одно из основных отличий связано с выбором исходной базы (суммы) для начисления процентов. 
Ставки процентов могут применяться к одной и той же начальной 
сумме на протяжении всего срока ссуды или к сумме с начисленными в предыдущем периоде процентами. В первом случае они называются простыми, а во втором – сложными процентными ставками.  
Процентные ставки, указываемые в контрактах, могут быть постоянными или переменными («плавающими»). Плавающие ставки часто применяются во внешнеэкономических операциях. В этом 
случае значение ставки равно сумме некоторой изменяющейся во 
времени базовой величины и надбавки к ней (маржи). Примером 
базовой ставки может служить лондонская межбанковская ставка 
ЛИБОР (LIBOR – London interbank offered rate) или московская межбанковская ставка МИБОР. Размер маржи определяется целым рядом 

условий (сроком операции и т.д.) [3]. Судя по мировой практике, он 
обычно находится в пределах 0,5...5 %. В контракте может использоваться и переменный во времени размер маржи.  
Рассмотрим методы анализа сделок, в которых предусматриваются разовые платежи при выдаче и погашении кредита или депозита. 
Задачи такого анализа сводятся к расчету наращенной суммы, суммы 
процентов и размера дисконта, современной величины (текущей 
стоимости) платежа, который будет произведен в будущем. 

1.3. Формула наращения по простым ссудным 
процентам  

Под наращенной суммой ссуды (долга) понимают первоначальную 
ее сумму с начисленными процентами к концу срока начисления. 
Примем следующие обозначения: 
I – проценты за весь срок ссуды; 
P – первоначальная сумма долга; 
S – наращенная сумма, т. е. сумма в конце срока; 
iпр – ставка наращения процентов в виде десятичной дроби; 
n – срок ссуды. 
Начисленные за весь срок проценты составят I = Pni . 
Наращенная сумма представляет собой сумму первоначальной 
суммы и наращенных процентов: 

 
S = P + I = P + Pniпр = P(1 + niпр).  
(1) 

Формула (1) называется формулой наращения по простым процентам, или, кратко – формулой простых процентов. Множитель 
(1 + niпр) является множителем наращения. Он показывает, во 
сколько раз наращенная сумма больше первоначальной суммы.  
Наращенную сумму можно представить в виде двух слагаемых: 
первоначальной суммы P и суммы процентов I:  

 
S = P + I, 
(2)  

где 
 
I = Pniпр.  
(3) 

Процесс роста суммы долга по простым процентам легко представить графически (рис. 1.1). При начислении простых процентов по 
ставке i (часто индекс опускают в ставке iпр) за базу берется первоначальная сумма долга. Наращенная сумма S растет линейно от времени [5].