Эконометрика

МИНИС ТЕРС ТВО НАУКИ И ВЫСШ ЕГО О Б РА З О ВА Н И Я РФ

ФЕДЕРАЛЬНОЕ ГОСУДАРСТВЕННОЕ АВТОНОМНОЕ ОБРАЗОВАТЕЛЬНОЕ УЧРЕЖДЕНИЕ 
ВЫСШЕГО ОБРАЗОВАНИЯ 
«НАЦИОНАЛЬНЫЙ ИССЛЕДОВАТЕЛЬСКИЙ ТЕХНОЛОГИЧЕСКИЙ УНИВЕРСИТЕТ «МИСиС»

ИНСТИТУТ ЭКОНОМИКИ И УПРАВЛЕНИЯ ПРОМЫШЛЕННЫМИ ПРЕДПРИЯТИЯМИ 
 
Кафедра промышленного менеджмента

Москва  2018

И.М. Рожков 
И.А. Ларионова 

ЭКОНОМЕТРИКА

Учебное пособие

Рекомендовано редакционно-издательским 
советом университета

№ 2735

УДК  65.01 
Р63

Р е ц е н з е н т 
проф., канд. техн. наук Е.А. Калашников

Рожков И.М.
Р63  
Эконометрика : учеб. пособие / И.М. Рожков, И.А. Ларионова. – М. : Изд. Дом НИТУ «МИСиС», 2018. – 154 с.
ISBN 978-5-90695-338-4

Рассматриваются основные разделы дисциплины «Эконометрика». Изложенные эконометрические методы обеспечивают преемственность статистических дисциплин и основываются на методах математической статистики. 
Предназначено для студентов направления 38.03.01 «Экономика», профили «Бухгалтерский учет, анализ и аудит», «Финансы и кредит»; направления 
38.03.02 «Менеджмент», профили «Экономика и управление на предприятии», 
«Производственный менеджмент», «Финансовый менеджмент»; направления 
38.04.01 «Экономика», программа «Управление инновациями». Может быть 
использован при подготовке к практическим занятиям, при выполнении домашних и курсовых работ.
УДК 65.01


И.М. Рожков,  
И.А. Ларионова, 2018
ISBN 978-5-90695-338-4

НИТУ «МИСиС», 2018

ОГЛАВЛЕНИЕ

Введение ..........................................................................................................5
1. СЛУЧАЙНЫЕ ВЕЛИЧИНЫ И ПРОВЕРКА ГИПОТЕЗ .........................6
1.1. Случайные величины  ............................................................................ 6
1.2. Доверительный интервал средней (большая выборка)  ..................... 7
1.3. Доверительный интервал средней (малая выборка) ........................... 9
1.4. Доверительный интервал для выборочной доли .............................. 10
1.5. Доверительный интервал для дисперсии ............................................11
1.6. Основные сведения о проверке статистических гипотез.  
Мощность критерия ..................................................................................... 13
1.7. Сравнение двух дисперсий нормально распределенных 
генеральных совокупностей ....................................................................... 16
1.8. Сравнение нескольких дисперсий нормальных генеральных 
совокупностей по выборкам различного объема.  
Критерий Бартлетта ..................................................................................17
1.9. Сравнение нескольких дисперсий нормальных генеральных 
совокупностей по выборкам одинакового объема.  
Критерий Кочрена ........................................................................................ 19
1.10. Сравнение выборочной средней со средней генеральной 
совокупности ................................................................................................ 21
1.11. Сравнение выборочной доли с долей генеральной совокупности .... 22
1.12. Сравнение двух средних больших выборок .................................... 23
1.13. Сравнение двух средних значений малых выборок ....................... 24
2. СТАТИСТИЧЕСКОЕ ИССЛЕДОВАНИЕ ЗАВИСИМОСТЕЙ .............27
2.1. Виды зависимости между случайными величинами ....................... 27
2.2. Задачи регрессионного и корреляционного анализов ...................... 28
2.3. Предпосылки, лежащие в основе корреляционного 
и регрессионного анализа ........................................................................... 30
2.4. Корреляционный момент и парный  
коэффициент корреляции ............................................................................ 31
2.5. Свойства парного коэффициента корреляции ................................... 33
2.6. Интерпретация коэффициента корреляции ....................................... 35
2.7. Корреляционное отношение ................................................................ 36
2.8. Частный и множественный коэффициенты корреляции .................. 39
2.9. Техника вычислений при использовании метода  
наименьших квадратов ................................................................................ 42
2.10. Способы равных сумм и равных площадей .................................... 47
2.11. Метод выравнивания .......................................................................... 50
2.12. Двумерный линейный регрессионный анализ.  
Основные этапы ........................................................................................... 53
2.13. Пример двумерного линейного регрессионного  
анализа в среде MS Excel ..................................................................... 61

2.14. Пример двумерного линейного регрессионного анализа  
в среде STATISTICA ...................................................................................... 64
2.15. Использование конечных разностей для определения  
показателя степени аппроксимирующего многочлена ............................ 68
2.16. Подбор эмпирической формулы путем проверки выполнения 
необходимых условий для существования некоторых характерных 
зависимостей ................................................................................................ 69
2.17. Предпосылки метода наименьших квадратов ................................. 73
2.18. Проверка случайного характера остатков ........................................ 73
2.19. Проверка гипотезы о несмещенности оценок коэффициентов 
регрессии ....................................................................................................... 76
2.20. Гомо- и гетероскедастичность ........................................................... 78
2.21. Автокорреляция и ее тестирование .................................................. 86
2.22. Проверка гипотезы о нормальном распределении остатков ......... 93
2.23. Общий порядок конструирования многомерной зависимости ..... 96
2.24. Многомерный линейный регрессионный анализ.  
Основные этапы ........................................................................................... 95
2.25. Отсев незначимых переменных с использованием шагового  
регрессионного анализа .............................................................................. 97
2.26. Использование чистой регрессии при выборе вида  
зависимости между несколькими параметрами ....................................... 99
2.27. Каскадный регрессионный анализ.................................................. 100
2.28. Преодоление проблем межфакторной корреляции ....................... 101
2.29. Системы одновременных уравнений ............................................. 106
2.30. Фиктивные переменные. Тест Чоу ................................................. 112
2.31. Примеры эконометрических моделей экономических  
показателей ................................................................................................. 117
3. ВРЕМЕННЫЕ РЯДЫ ..............................................................................121
3.1. Общие сведения о временных рядах ................................................ 122
3.2. Стационарные временные ряды ........................................................ 123
3.3. Автокорреляционная функция .......................................................... 121
3.4. Аналитическое выравнивание временного ряда  
(выделение неслучайной компоненты) ................................................... 126
3.5. Сглаживание методом скользящих средних .................................... 127
3.6. Динамические эконометрические модели ....................................... 129
3.7. Моделирование сезонных и циклических колебаний .................... 132
3.8. Изучение взаимосвязей временных рядов ....................................... 138
4. ЭЛЕМЕНТЫ ТЕОРИИ СТАТИСТИЧЕКИХ РЕШЕНИЙ ...................143
4.1. Методы принятия решения в условиях неопределенности ........... 145
4.2. Методы принятия решения в условиях риска ................................. 150
Библиографический список .......................................................................152

ПРЕДИСЛОВИЕ
Принятие решения в любой области экономики (управлении, финансах, маркетинге, учете, аудите) в современных условиях основывается на статистическом анализе данных с использованием эконометрических моделей, концепций, приемов. 
Динамика макроэкономических показателей дает основания для 
разработки перспективных планов развития экономики в целом, измерения эффективности общественного производства. Математические методы позволяют разрабатывать стратегию развития фирмы с 
помощью прогнозирования динамики основных показателей и соотношений между ними и т.д. Методы, позволяющие установить закономерности и причины изменений явлений и процессов, имеющих 
место на фирме, являются мощным инструментом обоснования принимаемых решений и оценки их эффективности. 
Наиболее распространенным является понимание эконометрики 
как науки о связях экономических явлений. Центральной проблемой 
эконометрики является построение эконометрической модели, определение возможностей ее использования для описания анализа и прогнозирования экономических процессов. Поэтому большое место 
в работе отводится регрессионному анализу как методу, используемому в эконометрике для оценки уравнения.
Анализ взаимосвязей экономических данных, представленных 
в виде временных рядов, является необходимой составной частью 
современных исследований в области микро- и макроэкономической 
динамики, эконометрики финансовых рынков, что обусловило необходимость рассмотрения в пособии эконометрических методов работы с временными рядами.
Вниманию читателя предоставляется учебное пособие, подготовленное проф. И.М. Рожковым, на основе которого автор читал курс лекций 
более 20 лет в ФГУП ЦНИИчермет им. И.П. Бардина, а также в НИТУ 
«МИСиС» и других организациях. Некоторые дополнения, в частности, 
связанные с применением статистических методов в среде MS Excel, 
осуществлены проф. И.А. Ларионовой, ею же написаны главы 3 и 4.
В дальнейшем практические занятия по этому курсу проводились 
нашими коллегами Н.В. Ломоносовой и О.В. Шиловым, которые сделали ряд полезных замечаний по улучшению курса. В связи с этим 
авторы выражают им глубокую благодарность.
Обращаясь еще раз к читателям, авторы желают им больших успехов и достойного упорства в освоении весьма непростого предмета 
«Эконометрика».

1. СЛУЧАЙНЫЕ ВЕЛИЧИНЫ  
И ПРОВЕРКА ГИПОТЕЗ

При написании главы 1 были использованы литературные источники [1–7], при этом основными являются источники [2] и [3].

1.1. Случайные величины 

Случайной величиной называется величина, которая принимает то 
или иное значение в процессе статистических испытаний, причем заранее не известно, какое значение.
Дискретной называют случайную величину, которая принимает 
отдельные, изолированные возможные значения с определенными 
вероятностями. Число возможных значений дискретной случайной 
величины может быть конечным или бесконечным. Непрерывной называют случайную величину, которая может принимать все значения 
из некоторого конечного или бесконечного промежутка. Число возможных значений непрерывной случайной величины бесконечно.
Примеры дискретных случайных величин:
 
− число молекул газа в сосуде;
 
− число вызовов на телефонной станции;
 
− число бракованных гвоздей и т.д.
Примеры непрерывных случайных величин:
 
− химические свойства стали;
 
− механические свойства стали и т.д
Случайная величина считается заданной, если задан ее закон распределения рис. 1.1.

Вероятность попадания в интервал = φ(в) – φ(а)

φ(х)

(а)
(в)
х

Рис.1.1. График дифференциальной функции  
распределения случайной величины

Основные характеристики используемых в работе случайных величин:
– Математическое ожидание (начальный момент первого порядка): 

µ =

=∑ x p
i
i
i

n

1

.

– Среднее значение случайной величины: 

x
x

n

i
= ∑
.

– Дисперсия случайной величины (второй центральный момент):

σ2
2

1
=
−

=∑(
)
x
m
p
i
i
i

n

.

– Выборочная дисперсия: 

S
n
x
x
x
i

i

n
2
2

1

1
1
=
−
−

=∑(
) .

1.2. Доверительный интервал средней  
(большая выборка) [3]

Интервальной называют оценку, которая определяется двумя числами – концами интервала, покрывающего оцениваемый параметр. 
Доверительным называют интервал, который с заданной доверительной вероятностью q покрывает оцениваемый параметр. Величина 
α = 1 – q называется уровнем значимости.
В соответствии с центральной предельной теоремой теории вероятности при большой величине n средняя величина x  приблизительно нормально распределена с математическим ожиданием µ и при 
средней ошибке

x
x
S
S
n
=
.

Для построения доверительного интервала нужно пользоваться сведениями о нормированном нормальном распределении величины x, 
имеющей среднюю, равную нулю, и стандартное отклонение, равное 1.

Рис. 1.2. Расчет параметра z при 99,5 % вероятности с использованием 
соответствующей статистической функции Excel для нормированного 
нормального распределения

Для определения доверительного интервала используется величина z:

x
zS
x
zS
x
x
−
≤
≤
+
µ
,

где z берется из таблицы нормированного нормального распределения

Пример построения доверительного интервала  
в случае большой выборки

Исходные данные: x  = 92,83; n = 300; Sx = 23,8. Требуется определить доверительный интервал для средней μ при 99,5 % доверительной вероятности.

Решение

x
S =
=
23 8
300
1 37
,
,
.

По таблицам нормированного нормального распределения для доверительной вероятности 0,995 находим величину z = 2,575829304 ≈ 2,58. 
Это значение можно также определить, использую статистическую 
функцию Excel (рис. 1.2):

92 83
2 58 1 37
,
,
,
−
⋅
 < μ < 92 83
2 58 1 37
,
,
,
+
⋅
;

89,30 < μ < 96,36.

1.3. Доверительный интервал средней  
(малая выборка) [3]

Для выборки размера n при условии нормального распределения 
случайной величины x статистика распределена по закону Стьюдента с n – 1 степенями свободы (под термином «статистика» понимают всякую функцию, определяемую n случайными величинами, 
входящими в выборку). В этом случае средняя ошибка определяется  
по формуле

x
x
S
S
n

=
−1

,

а для определения доверительного интервала используется величина

t
x

S x

=
− µ .

Пример построения доверительного интервала  
в случае малой выборки

Исходные данные: x  = 3,4; n = 10; Sx  = 1,1. Требуется определить 
доверительный интервал для средней μ при 95 % доверительной вероятности.

Решение

x
S =
=
=
1 1
10
1 1
3 16
0 348
,
,
,
,
.

По таблице распределения Стьюдента для доверительной вероятности 0,95 и числа степеней свободы n – 1 = 9 находим величину 
t = 2,26. Это значение можно также определить, использую статистическую функцию Excel (рис. 1.3):

3 4
2 26 0 348
,
,
,
−
⋅
 < μ < 3 4
2 26 0 348
,
,
,
+
⋅
.

Рис. 1.3. Расчет параметра t при 95 % вероятности и 9-ти степенях 
свободы с использованием соответствующей статистической  
функции Excel

1.4. Доверительный интервал  
для выборочной доли [3]

При больших n выборочная доля 
Число благоприятных ответов
p
n
=
 
распределена приблизительно нормально с математическим ожиданием p и стандартным отклонением 
p
p
n
(
) /
1−
.

Пример построения доверительного интервала  
для выборочной доли

Исходные данные: в выборке из 500 избирателей обнаружено, что 
281 голос подан за предлагаемый налоговый закон. Определить с доверительной вероятностью 0,95 доверительный интервал для процента избирателей, поддерживающих этот закон.

Решение

p =
=
281
500
0 562
,
;

0 562
1 96
0 562 0 438
500
,
,
,
,
−
⋅
⋅
< p < 0 562
1 96
0 562 0 438
500
,
,
,
,
+
⋅
⋅
;

0,519 < p  < 0,605.

1.5. Доверительный интервал для дисперсии [3]

Пусть случайная величина х подчиняется нормальному закону 
распределения с параметрами µ, σ2, а х1, х2, х3, …, хn – ряд независимых наблюдений над случайной величиной х. Можно показать, что 

статистика nS 2

σ2 , где S
n
x
x
i
i

n
2
2

1

1
1
=
−
−

=∑(
) , имеет распределение χ2 

с k = n–1 степенями свободы

P
nS
q
(
)
1
2
2

2
2
2
1
χ
σ
χ
<
<
α
=
= −
,

где q – доверительная вероятность;
α – уровень значимости.
Величины 
1
2
χ  и 
2
2
χ  выбирают так, чтобы

P
P
(
)
(
)
2
1
2
2
2
2
χ
χ
χ
χ
<
=
>
= α

2 .

Тогда имеем:

P
nS
P
P
(
)
(
)
(
)
1
2
2

2
2
2
2
1
2
2

2
2
1
χ
σ
χ
χ
χ
χ
χ
<
<
<
>
= −
−
.

Таблица распределения χ2 содержит лишь P
k
(
)
, /
2
2
2
χ
χ
<
α
.

Для вычисления P(
)
2
1
2
χ
χ
>
 необходимо использовать тождество:

P
P
(
)
(
)
2
1
2
2

1
2
1
χ
χ
χ
χ
<
<
= −
.

Поэтому

P
nS
P
P

P
P

(
)
(
)
(
)

(
)
(

1
2
2

2
2
2
2
1
2
2
2
2

2
1
2

1
1
χ
χ
χ
χ
χ
χ

χ
χ

<
σ
<
>
>

>

= −
−
−
=

=
−
χ
χ
2
2
2
1
>
α.
) = −

Отсюда: P
P
(
)
(
)
(
)
2
2
2
2
2
2
1
1
χ
χ
χ
χ
>
α
>
α
=
−
+
= −
/2 .

Аналогично, вместо (
)
1
2
2

2
2
2
χ
χ
<
<
nS
σ
 можно рассчитать

 nS
nS
2

2
2
2
2

1
2
χ
χ

<
<
σ
.

Пример построения доверительного интервала  
для дисперсии

Необходимо построить доверительный интервал с вероятностью 
q = 0,96 для дисперсии σ2 случайной величины х, распределенной 
нормально, если S2 = 10, n = 20.

Решение

1. Доверительная вероятность q = 1 – α = 0,96. Отсюда α = 0,04; 
q2 = α/2 = 0,02 и k = n – 1 = 19. 
2. По таблице χ2-распределения при k = 19 и q2 = 0,02 находим 

2
2
33 7
χ =
, .

Рис. 1.4. Расчет параметров
2
2
χ  и
1
2
χ  с использованием  
соответствующей статистической функции Excel

3. Для вероятности q1 = 1 – α/2 = 0,98 и k = 19 находим 
1
2
8 6
χ = , .
Значения параметров 
2
2
χ  и 
1
2
χ  могут быть найдены с использованием Excel (рис. 1.4).