Математика

ФЕДЕРАЛЬНАЯ СЛУЖБА ИСПОЛНЕНИЯ НАКАЗАНИЙ 
АКАДЕМИЯ ПРАВА И УПРАВЛЕНИЯ 

МАТЕМАТИКА 

Учебник для образовательных организаций 
высшего образования ФСИН России, 
ведущих подготовку специалистов 
для уголовно-исполнительной системы 
по специальности «Тыловое обеспечение»  

Рязань
2018 

М. С. Маскина, М. И. Купцов

 ББК 22.1я73 
М34 

Рецензенты: 

В.А. Минаев, заслуженный работник высшей школы Российской Фе
дерации, доктор технических наук, профессор (Московский государственный технический университет имени Н.Э. Баумана) 
А.В. Душкин, почетный работник высшего профессионального образования Российской Федерации, доктор технических наук, доцент (Воронежский институт ФСИН России); 

Маскина, М. С. 

Математика : учеб. для образовательных организаций высшего 
образования ФСИН России, ведущих подготовку специалистов для уголовно-исполнительной системы по специальности « Тыловое обеспечение» / М. С. Маскина, М. И. Купцов. – Рязань : Академия ФСИН России, 
2018. – 347 с. 

М34

В учебнике изучаются как теоретические вопросы экономикоматематических и статистических методов анализа эмпирических данных, 
так и вопросы практического их применения. При изложении о мере 
возможности избегаются сложные математические доказательства и 
конструкции. 
Приведенный 
теоретический 
материал 
подробно 
иллюстрируется примерами его применения на практике.  
Учебник предназначен для курсантов, студентов, слушателей, 
магистрантов, адъюнктов и аспирантов высших учебных заведений, 
обучающихся по специальности « Тыловое обеспечение». Учебник также 
может быть полезен для сотрудников тыловых служб, поставивших 
целью математически обосновать свои научные и практические выводы.  

ББК 22.1я73 
© Маскина М.С., Купцов М.И., 2018 
© Академия ФСИН России, 2018 
ISBN 978-5-7743-0845-3 

ISBN 978-5-7743-0845-3

ПРЕДИСЛОВИЕ 

Данный учебник написан на основе лекций, более 15 лет читаемых авторами для различных экономических специальностей в Академии ФСИН России. 
В книге изложены необходимые основы математического аппарата и примеры его применения в современных экономических приложениях: элементы линейной алгебры и аналитической геометрии 
на плоскости, математический анализ функций одной и нескольких 
переменных, основы теории дифференциальных уравнений, теории 
вероятностей и математической статистики, линейного программирования и оптимального управления. Именно этот объем является минимально необходимым для лиц, получающих образование по экономическим специальностям, и соответствует требованиям действующих Федеральных государственных образовательных стандартов. 
При изложении материала авторами в первую очередь обращается внимание на его прикладную ценность, что обуславливает уменьшение количества сложных теоретических конструкций и увеличение 
примеров, иллюстрирующих практическое применение теорем, алгоритмов и схем. Для улучшения усвоения материала и выработки навыков его практического применения авторами приводятся алгоритмы решения наиболее типичных, опорных задач темы. В конце каждого параграфа приведены задания для самостоятельного решения. 
Надеемся, что этот учебник будет хорошим помощником при 

изучении высшей математики и ее экономических приложений и позволит будущему специалисту не только приобрести необходимые 
базовые навыки, расширить компоненты своего мышления (уровень, 
кругозор, культуру), но и сформировать профессиональные и профессионально-специальные компетенции, которые понадобятся для успешной 
работы 
и 
ориентации 
в 
деятельности 
уголовно
исполнительной системы.  

3

ВВЕДЕНИЕ 

Математика, возникшая из потребности человека в количественном отображении действительности и пространственном описании 
форм окружающего мира, является одной из самых древних наук 
(около VI века до н.э.). Однако она остается актуальной и интенсивно 
развивающейся и сегодня, проникая в другие, более молодые отрасли 
знаний, в том числе и в экономику.  
К первым шагам использования математических методов в коммерческой деятельности относится работа итальянского математика 
Луки Пачоли, который еще в 1494 г. предложил метод двойной записи для регистрации данных взаимных расчетов между продавцами 
товаров, что является отличительной особенностью бухгалтерского 
учета. Затем появилась работа основателя классической школы политэкономии Уильяма Петти «Политическая арифметика», в которой 
он высказывал мнения на языке чисел, весов, мер. 
Количественный аспект анализа экономических явлений и процессов всегда занимал большое место в работах классиков отечественной и зарубежной экономики. Французский ученый Франсуа Кенэ 
предложил количественную модель национальной экономики, которую он назвал «экономической таблицей». В первом фундаментальном труде по политической экономии (знаменитой книге Адама Смита «Исследование о природе и причинах богатства народов», изданной в Лондоне в 1776 г.) при внимательном чтении можно за характерными для того времени многословными рассуждениями увидеть 
изложение некоторых математически строгих закономерностей, присущих многим экономическим явлениям. В последующих работах 
экономистов XIX века математические символы и способы описания 
стали применяться все более часто и последовательно. 
Первым экономистом-математиком считается выдающийся французский ученый Антуан Огюстен Курно, который в своей работе 
«Исследование математических принципов теории богатства», вышедшей в свет в Париже в 1838 г., впервые применил математические 
методы при исследовании экономических процессов, измеримых количественно, сформулировал закон спроса. 

4

Выдающимся представителем математического направления в 
экономике того времени был Леон Вальрас, который вышедшей в Лозанне в 1874 г. книге писал: «Чистая теория экономики есть наука, 
напоминающая во всем физико-математические науки». Заслугой 
Л. Вальраса является не только то, что он ясно определил роль и место математических методов в изучении экономики, но и продемонстрировал практически их возможности. Его теория общего конкурентного равновесия являлась в течение многих лет движущим фактором развития этих методов. 
Интересна мысль Л. Вальраса о соотношении математикоэкономической теории с экономической практикой. Так же, как в физико-математических науках, мы «должны взять из практики основные понятия, такие, как обмен, спрос, предложение, рынок, капитал, 
доход, услуги, продукты. От этих реальных понятий надо абстрагироваться и определить соответствующие идеальные понятия. Обращение к действительности и практическому применению затем возможно только после создания теории... Я не утверждаю, что этим исчерпывается вся экономика. Например, сила и скорость также суть 
измеримые понятия, однако математическая теория силы и скорости 
не исчерпывает механики. Тем не менее, теоретическая механика, несомненно, должна предшествовать прикладной. Точно так же чистая 
экономика должна предшествовать прикладной экономике...» 
Двадцатый век явился переломным в развитии математической 
экономики. В 1930-е годы В.В. Леонтьев применил метод анализа 
межотраслевых связей с привлечением аппарата линейной алгебры 
для исследования экономики США. В 1939 г. Л.В. Канторович, впоследствии лауреат Нобелевской премии, опубликовал работу «Математические методы организации и планирования производства», где 
впервые были сформулированы основные идеи и дан один из алгоритмов решения задач линейного программирования (метод разрешающих множителей). Затем, в период второй мировой войны и после нее, линейное программирование получило широкое развитие, 
возникли новые разделы математики. 
В 1941г. Ф.Л. Хичкок сформулировал транспортную задачу. Алгоритм симплексного метода был опубликован в 1949 г. Дж. Данци
5

гом. Дальнейшее развитие методы линейного и нелинейного программирования получили в работах Л.Р. Форда, Д.Р. Фалкерсона, 
Г. Куна, Г. Лемке, С.И. Гасса, А. Чарнеса, Е.М. Била и др. В настоящее время методы линейного программирования развиваются главным образом в направлении выявления конкретных экономических 
задач, к решению которых оно может быть применено, а также по пути создания более удобных алгоритмов для решения задач с применением информационных технологий. 
Опыт применения линейного программирования показал, что далеко не все экономические явления описываются линейными моделями, а, следовательно, могут быть решены методами линейного программирования. Появились новые направления математического программирования: целочисленное, нелинейное, динамическое, стохастическое и др., начала бурно развиваться теория игр, которая используется для принятия решений в конфликтных ситуациях. 
В 1951 г. была опубликована работа Г. Куна и А. Таккера, в которой приведены необходимые и достаточные условия оптимальности 
для решения нелинейных задач. Эта работа послужила основой для 
последующих исследований в области нелинейного программирования. А. Чарнес и Г. Лемке (1954 г.) рассмотрели приближенный метод 
решения задач с выпуклыми функциями цели и линейными ограничениями. Начиная с 1955 г. опубликовано много работ, посвященных 
квадратическому программированию.  
Динамическое программирование как самостоятельная дисциплина сформировалась в пятидесятых годах нашего века, во многом благодаря работам американского математика Р. Беллман. Дальнейшее 
развитие динамическое программирование получило в трудах зарубежных ученых Х. Дрейфуса, С. Робертса, О. Ланге, Ч. Карра, Ч. Хоува и других. В настоящее время оно в основном развивается в направлении приложений для различного рода многоэтапных процессов. 
В начале 60-х годов началось внедрение в практику планирования новых методов выполнения сложных трудоемких работ с большим числом исполнителей, которые получили название «Сетевые методы планирования и управления».  

6

Существенно улучшить качество планирования и получить дополнительный экономический эффект без вовлечения в общественное 
производство дополнительных ресурсов позволяет грамотное применение современных информационных технологий. Однако, возможности, предоставляемые современными вычислительными системами, могут быть эффективно реализованы только при соблюдении ряда весьма жестких требований. Причем основным из них является наличие формализованного описания исследуемого объекта, которое 
может быть воспринято ЭВМ, то есть наличие математических моделей, полноценно описывающих данный объект. 
Таким образом, под влиянием потребностей практики возникли 
новые отрасли математических наук. Впоследствии они стали составными частями науки о принятии управленческих решений, которая 
получила название «исследование операций». 
Следует отметить, что в условиях ограниченного объема книги 
авторы не ставил задачу описать весь комплекс математических методов и моделей, используемых экономике. Выбор пал на наиболее 
важные модели, составляющие основу используемых экономикоматематических методов и необходимые для подготовки современного сотрудника тыловой службы. 
В книге рассмотрено большое количество задач и наглядных способов их решений, являющихся условными примерами экономикоматематических моделей и лишь иллюстрирующих их сущность. При 
этом надо помнить, что реальные задачи оптимального планирования 
не могут быть решены иначе, как с помощью компьютерных технологий. 

7

ГЛАВА 1. 
ЭЛЕМЕНТЫ ЛИНЕЙНОЙ АЛГЕБРЫ И АНАЛИТИЧЕСКОЙ 
ГЕОМЕТРИИ 

§1. Элементы аналитической геометрии на плоскости 

Аналитическая геометрия – раздел математики, в котором геометрические задачи решаются алгебраическими методами, что позволяет применять общие методы решения геометрических задач1. 
Основой аналитической геометрии является метод координат, 
впервые использованный в XVII веке французским математиком Рене 
Декартом (1596 – 1650), который ввел обозначение неизвестного параметра буквой, например, х.  
Метод координат исходит из рассмотрения положения точки относительно некоторых линий, образующих систему 
координат на плоскости или в пространстве. Каждой 
точке на плоскости (или в пространстве) ставится в 
соответствие упорядоченная пара (в пространстве – 
тройка) чисел, которые называют ее координатами. 
Причем это соответствие является взаимно однозначным, то есть для каждой точки плоскости существует единственная пара чисел (х; у), являющихся ее координатами, 
и, наоборот, для любой пары чисел (х0; у0) существует единственная 
точка плоскости М0 с заданными координатами (рис. 1).  

у

у
М

Такое соответствие позволяет изучать геометрические образы с 
помощью алгебраических операций над числами, которые являются 
координатами точек, характеризующих эти образы. 

1. Расстояние между двумя точками

Пусть на координатной плоскости даны две точки М1(х1; у1) и 
М2(х2; у2), выведем формулу расстояния между ними. Построим чертеж (рис. 2). 

1 При написании данного параграфа авторами были использованы книги [1, 8] из приведенного списка литературы. 

0

0 

1 

1 
х0

х

Рис. 1

8

Расстояние между точками М1 и М2 определяется длиной отрезка 
М1М2. По теореме Пифагора для прямоугольного треугольника 
М1М2N получим,  
у
у
2
1
2
NM
N +
1
2
2
1
М
М
М
=
. 
Так как М1N = |x2 – x1|, NМ2 = |у2 – у1|, а 

2
2
x
x
=
, то 

2
1
2
2
1
)
(
)
у
у
х
−
+
−
2
2
2
1
(х
М
М
=

 

. 
Итак, формула расстояния между точками М1(х1; у1) и М2(х2; у2) имеет вид:
(
)
(
)

2
1
2
2
1
2
у
у
х
−
+
−
2
1
х
М
М
=
. 

2. Деление отрезка в заданном отношении

Опр. 1. Говорят, что точка М делит направленный отрезок 
2
1М
М
в 

отношении λ, если выполняется условие: 
.
2
1
ММ
М
М
λ
=
 

Если λ > 0, то вектора 
М
М 1
и 
2
ММ  сонаправлены, а, значит, 

точка М лежит внутри отрезка М1М2 (рис. 3а). Если же λ < 0, то век
тора 
М
М 1
и 
2
ММ  противоположно направлены, а точка М лежит 
вне отрезка М1М2 (рис. 2б). 

Найдем формулу вычисления координат точки М, делящей на
правленный отрезок 
2  в отношении λ, если 
1М
М
М2(

прямых М1А1, 
МА и М2А2 сохраняется пропорциональность отрезков: 

М1(х1; у1) и 
х2; у2).  
Опустим из точек М1 и М2 перпендикуляры на числовые оси (рис. 
4). По теореме Фалеса для угла М2КМ1 и параллельных 

Рис. 3

а)

М

М

М2

б)

М

М

М2

O

N

М
2
2

М
у1

х1
х2

х

Рис. 2 

9

O

N

у
.

М

М2

А1
А2

В1

В2

х

2

1

2

1
AA
A
A
MM
M
M
=
 

М
В
Для 
данного 
расположения 
точек 
, а 
. Тогда отношение 

примет вид: 

1
1
x
x
A
A
−
=
x
x
AA
−
=
2
2

x
x
x
x
−
−
=

2

1
λ
, откуда, выразив ко
ординату х, получим   

Рис. 4 

А
К
λ
λ
+
+
=
1

2
1
х
х
х
.

Аналогично, применив теорему Фалеса для параллельных прямых М1В1, МВ и М2В2 и длин отрезков В1В и ВВ2, получим  

λ
λ

+
+
=
1

2
1
у
у
у
.

Рассуждая аналогично, можно доказать, что данные формулы 
верны и при другом расположении точек М, М1 и М2. 
Таким образом, формулы координат точки, делящей данный 
отрезок в отношении λ, имеют вид: 

λ
λ

+
+
=
1

2
1
х
х
х
,
λ
λ

+
+
=
1

2
1
у
у
у
.

В частности, если точка М делит отрезок М1М2, пополам (то есть 
в отношении λ = 1), то координаты точки М вычисляются по формулам: 

2

2
1
х
х
х
+
=
;
2

2
1
у
у
у
+
=
.

3. Понятие уравнения линии. Уравнение окружности

Опр. 2. Уравнением линии в аналитической геометрии называется 
зависимость между переменными х и у, то есть уравнение вида F(х; у) = 0 или у = f (х), которому удовлетворяют координаты любой точки этой линии и не удовлетворяют координаты точек, не лежащих на этой линии. 

10