Теоретическая механика : кинематика

МИНИС ТЕРС ТВО НАУКИ И ВЫСШ ЕГО О Б РА З О ВА Н И Я РФ

ФЕДЕРАЛЬНОЕ ГОСУДАРСТВЕННОЕ АВТОНОМНОЕ ОБРАЗОВАТЕЛЬНОЕ УЧРЕЖДЕНИЕ 
ВЫСШЕГО ОБРАЗОВАНИЯ 
«НАЦИОНАЛЬНЫЙ ИССЛЕДОВАТЕЛЬСКИЙ ТЕХНОЛОГИЧЕСКИЙ УНИВЕРСИТЕТ «МИСиС»

ИНСТИТУТ ЭКОТЕХНОЛОГИЙ И ИНЖИНИРИНГА 
 
Кафедра инжиниринга технологического оборудования

Москва 2019

№ 3391

Б. В. Воронин
Е. Е. Балахнина

ТЕОРЕТИЧЕСКАЯ МЕХАНИКА

КИНЕМАТИКА

Сборник заданий

Рекомендовано редакционно-издательским  
советом университета

УДК 531.01 
 
В75

Р е ц е н з е н т 
д-р техн. наук, проф. Н. И. Абрамкин

Воронин Б. В.
В75  
Теоретическая механика : кинематика : сб. заданий / Б. В. Воронин, Е. Е. Балахнина. – М. : Изд. Дом НИТУ «МИСиС», 
2019. – 60 с.
ISBN 978-5-906953-99-5

В сборнике заданий приведены основы теории и алгоритмы решения задач по разделу кинематика. В каждом варианте рассмотрены примеры решения задач с подробными методическими пояснениями. К каждой задаче сформулированы вопросы для проверки усвоения материала.
Предназначен для студентов, обучающихся в бакалавриате по направлениям подготовки 15.03.02 «Технологические машины и оборудование» 
и 15.03.03 «Прикладная механика».

УДК 531.01

© Б. В. Воронин,  
Е. Е. Балахнина, 2019
ISBN 978-5-906953-99-5
© НИТУ «МИСиС», 2019

СОДЕРЖАНИЕ

Предисловие ..............................................................................................4
Задание К1. Определение уравнений движения, скорости  
и ускорения точки по заданным проекциям ее скорости ......................5
Контрольные вопросы и задания ......................................................... 20
Задание К2. Определение скорости и ускорения точки  
твердого тела при его поступательном или вращательном  
движении ..................................................................................................21
Контрольные вопросы и задания ......................................................... 31
Задание К3. Определение скоростей и ускорений точек  
твердого тела при его плоском движении ............................................33
Контрольные вопросы и задания ......................................................... 46
Задание К4. Определение параметров сложного движения точки .....48
Контрольные вопросы и задания ......................................................... 58
Библиографический список ...................................................................59

ПРЕДИСЛОВИЕ

Сборник заданий содержит необходимое количество информации 
для самостоятельной работы студентов по разделу кинематика теоретической механики.
Каждое задание сопровождается краткими методическими указаниями по его решению, примерами выполнения и контрольными вопросами для проверки усвоения материала.
Курсовое домашнее задание следует выполнять на листах формата А4, используя одну сторону листа и оставляя поля для замечаний 
рецензента. В начале работы необходимо привести полный текст задания, исходные данные и рисунок (чертеж) заданного механизма, 
который следует выполнить аккуратно с соблюдением стандартного 
масштаба и прочих требований ЕСКД и с учетом конкретных линейных и угловых параметров исследуемого механизма. Каждый рисунок 
должен иметь подрисуночную надпись.
Каждое задание должно быть решено методом, рекомендованным 
в методических указаниях. Если выбор метода решения предоставлен 
студенту, необходимо указать на целесообразность или хотя бы некоторые преимущества применяемого метода.
В начале решения следует поместить расчетную схему исследуемых механизмов. Решение должно сопровождаться краткими пояснениями и указаниями на используемые теоремы, принципы, законы, 
преобразования, программы персональных компьютеров и т. п. Математические зависимости следует сначала записать и по возможности решить в общем виде, а затем подставить численные значения 
с сохранением одинаковой последовательности величин в формуле 
и числовом решении. Необходимо указать размерность полученных 
результатов.
Все отмеченные преподавателем ошибки и погрешности должны 
быть исправлены до защиты. Если исправленная работа направляется 
на повторную рецензию, то новое решение нужно представить вместе 
с незачетным.
Авторы выражают благодарность В. С. Перевалову, Р. В. Сагаловой, Г. А. Доброборскому, А. Л. Колосову, В. М. Рачеку, А. М. Бусыгину и другим за составление первого варианта заданий по этому разделу.

Задание К1

ОПРЕДЕЛЕНИЕ УРАВНЕНИЙ ДВИЖЕНИЯ, 
СКОРОСТИ И УСКОРЕНИЯ ТОЧКИ 
ПО ЗАДАННЫМ ПРОЕКЦИЯМ ЕЕ 
СКОРОСТИ

По заданным проекциям скорости точки М и начальным координатам этой точки определить уравнения ее движения, установить вид 
траектории и для момента времени t = h, с, найти положение точки 
на траектории, полные скорость и ускорение, а также касательное 
и нормальное ускорения и радиус кривизны траектории точки. Встречающиеся в задании виды траекторий и их уравнения в декартовых 
координатах указаны в табл. К1-1.

Таблица К1-1

Вид траектории
Уравнение
Астероид
х2 / 3 + у2 / 3 = А2 / 3

Гипербола
ху = А
Кардиоид
(х2 + у2)(х2 + у2 – 2Ах) = А2х2

Окружность
(х – А)2 + (у – В)2 = R2

Парабола
у = Ах2 + Вх + С или х = Ау2 + В1у + C1
Прямая линия
у = Ах + В
Роза четырехлепестковая
(х2 + у2)1,5 = 2Аху
Строфоид Мили
(А – х)у2 = (А + х)х2

Циклоид
х = Aarccos(А – у) / А ± √y(2A – y)
Циссоид Диоклеса
у2 = х3 / (А – х)
Эллипс
(х – А)2 / С2 + (у – В)2 / D2 = 1

Примечание. А, А1, В, В1, С, С1, D, E, R – некоторые постоянные величины.

Исходные данные для расчета приведены в табл. К1-2 и К1-3.

Таблица К1-2

Номер  
варианта
Проекции скорости, м / c
vx
vy
К1-1
–(π / 40) sin2φ cosφ
–(π / 20) sin2φ cosφ
К1-2
0,012π sin2(φ / 2)
0,006π sinφ
К1-3
–(π / 150) cosφ
(π / 75) sinφ
К1-4
0,01π sin2φ
0,02π sin2φ
К1-5
–0,01π sinφ
–(π / 200) sin2φ
К1-6
–0,05π sinφ
0,05π cosφ
К1-7
(7π / 300) sinφ cosφ
(7π / 600) sin2φ

Номер  
варианта
Проекции скорости, м / c
vx
vy
К1-8
–0,03π sinφ
–0,02π cosφ
К1-9
0,04
0,04 / (2 + t)2

К1-10
(π / 200) cosφ
0,01π sin2φ
К1-11
(π / 40) cosφ
(π / 40) sinφ
К1-12
0,01π sinφ
–(π / 150) cosφ
К1-13
0,16е–4t
–0,12е–4t

К1-14
0,01
0,01 (2t + 1)
К1-15
–0,015 – 0,06t
–0,03 – 0,12t
К1-16
–0,03π sinφ cos2φ
0,03π sin2φ cosφ
К1-17
0,04π (1 – cosφ)
0,04π sinφ
К1-18
(π / 80) sinφ
–(π / 80) cosφ
К1-19
0,02t (1 + t)2
–0,02
К1-20
0,08t
0,03
К1-21
–0,01π cosφ
0,01π sinφ
К1-22
0,01π sin2(φ / 2)
0,005π sinφ
К1-23
0,0075 + 0,03t
0,015 + 0,06t
К1-24
–0,02π sin2φ cosφ
0,02π sin2φ sinφ
К1-25
0,0125π sinφ
–0,0075π cosφ
К1-26
0,02π sin2φ
0,01π (1 – 2cos2φ + tg2φ)
К1-27
0,012π (3cos2φ – 1) cosφ
0,012π (3cos2φ + 1)sinφ
К1-28
–0,045π sinφ cos2φ
0,045π sin2φ cosφ
К1-29
0,01π sin2φ
0,01π (2sin2φ + tg2φ)
К1-30
–(3π / 40) (sinφ + sin2φ)
(3π / 40) (cosφ + cos2φ)

Таблица К1-3

Номер 
варианта
Угол φ, 
рад
Начальные координаты, м
Время 
t1, с
x0
y0
К1-1
πt / 3
0,05
0
0,75
К1-2
πt / 4
0
0
1
К1-3
πt / 3
–0,03
–0,04
1
К1-4
πt / 8
0,02
–0,07
1
К1-5
πt / 6
–0,03
0
1
К1-6
πt / 2
0,025
0,025
0,5
К1-7
πt / 6
–0,07
–0,05
2
К1-8
πt / 3
0,14
0,04
5
К1-9
–
0,08
–0,02
2
К1-10
πt / 6
0
–0,01
1
К1-11
πt / 2
–0,03
–0,025
4 / 3

Окончание табл. К1-2