Теоретическая механика : динамика металлоконструкций

МИНИСТЕРСТВО ОБРАЗОВАНИЯ И НАУКИ РФ 

ФЕДЕРАЛЬНОЕ ГОСУДАРСТВЕННОЕ АВТОНОМНОЕ ОБРАЗОВАТЕЛЬНОЕ УЧРЕЖДЕНИЕ  
ВЫСШЕГО ПРОФЕССИОНАЛЬНОГО ОБРАЗОВАНИЯ  
«НАЦИОНАЛЬНЫЙ ИССЛЕДОВАТЕЛЬСКИЙ ТЕХНОЛОГИЧЕСКИЙ УНИВЕРСИТЕТ «МИСиС» 

 

 
 
 

 

 

 

 
 

 

 

Кафедра теоретической механики и сопротивления материалов

В.Н. Шинкин 
М.П. Смирнова 
 

Теоретическая механика

Динамика металлоконструкций 

Учебник 

Под редакцией профессора В.Н. Шинкина 

Допущено учебно-методическим объединением по образованию 
в области металлургии в качестве учебника для студентов 
высших учебных заведений, обучающихся по направлению 
Металлургия 

Москва  2011 

УДК 531.8 
 
Ш62 

Р е ц е н з е н т ы :  
д-р техн. наук, проф. Ю.И. Бурчаков (зав. кафедрой сопротивления 
материалов Московского государственного горного университета); 
д-р техн. наук, проф. О.О. Егорычев (зав. кафедрой теоретической механики 
Московского государственного строительного университета) 

Шинкин, В.Н. 
Ш62  
Теоретическая механика : динамика металлоконструкций : 
учеб. / В.Н. Шинкин, М.П. Смирнова; под ред. В.Н. Шинкина.  – 
М. : Изд. Дом МИСиС, 2011. – 374 с. 
ISBN 978-5-87623-496-4 

Рассмотрены основные теоретические и практические вопросы динамики 
материальной системы и аналитической механики по следующим темам: 
геометрия масс, динамика материальной системы и твердого тела (центр 
масс, количество движения, момент количества движения, кинетическая 
энергия, работа силы, закон сохранения механической энергии), принцип Даламбера, аналитическая статика, принцип виртуальных перемещений Лагранжа, общее уравнение динамики, аналитическая динамика, уравнения Лагранжа второго рода и уравнения Гамильтона. Подробно разобраны решения 
большого числа задач. Приведены многочисленные контрольные работы, 
домашние задания, тесты, закрепляющие изложенный материал. Все темы 
изложены с учетом специфики металлургических процессов. 
Для студентов, обучающихся по направлению 150100 «Металлургия». 

УДК 531.8 

ISBN 978-5-87623-496-4 
© В.Н. Шинкин, 
М.П. Смирнова, 2011 

ОГЛАВЛЕНИЕ 

Предисловие..............................................................................................6 
1. Краткий курс статики и кинематики...................................................9 
1.1. Краткий курс статики....................................................................9 
1.2. Краткий курс кинематики...........................................................18 
ДИНАМИКА МАТЕРИАЛЬНОЙ СИСТЕМЫ 
И ТВЕРДОГО ТЕЛА ..............................................................................26 
2. Геометрия масс ...................................................................................26 
2.1. Момент инерции твердого тела..................................................26 
2.2. Моменты инерции простейших однородных фигур ................28 
2.3. Моменты инерции тела относительно двух осей .....................34 
2.4. Примеры вычисления моментов инерции тела 
относительно произвольных осей.....................................................39 
3. Динамика материальной системы.....................................................45 
3.1. Основные законы и принципы динамики .................................45 
3.2. Примеры интегрирования дифференциальных уравнений 
движения материальной точки..........................................................45 
3.3. Центр масс материальной системы............................................55 
3.4. Количество движения материальной системы .........................57 
3.5. Примеры применения теоремы об изменении 
количества движения .........................................................................58 
3.6. Теорема о движении центра масс материальной системы ......66 
3.7. Примеры применения теоремы о движении центра масс........67 
3.8. Момент количеств движения материальной системы .............76 
3.9. Примеры применения теоремы об изменении 
кинетического момента материальной системы..............................81 
3.10. Примеры решения задач с использованием 
дифференциальных уравнений движения твердого тела................89 
3.11. Кинетическая энергия материальной системы .......................97 
3.12. Примеры вычисления кинетической энергии 
материальной системы.....................................................................101 
3.13. Элементарная работа силы .....................................................107 
3.14. Теорема об изменении кинетической энергии 
материальной системы.....................................................................108 
3.15. Примеры применения теоремы об изменении 
кинетической энергии ......................................................................109 
3.16. Закон сохранения полной механической 
энергии материальной системы ......................................................118 

4. Принцип Даламбера .........................................................................120 
4.1. Принцип Даламбера для материальной системы ...................120 
4.2. Главный вектор и главный момент сил инерции твердого 
тела.....................................................................................................122 
4.3. Примеры применения принципа Даламбера...........................124 
Вопросы для самоконтроля по динамике материальной 
системы и твердого тела ......................................................................132 
5. Тест на определение динамических характеристик 
твердого тела.........................................................................................136 
6. Контрольные работы по динамике материальной системы .........143 
6.1. Задачи на применение теорем о движении центра 
масс и об изменении количества движения к исследованию 
движения материальной системы ...................................................143 
6.2. Задачи на применение теоремы об изменении 
кинетического момента к определению угловой 
скорости твердого тела ....................................................................149 
6.3. Задачи на применение теоремы об изменении кинетической 
энергии к изучению движения материальной системы................157 
6.4. Задачи на применение принципа Даламбера к 
определению реакций опор при вращении твердого тела 
вокруг неподвижной оси..................................................................165 
7. Домашние задания по динамике материальной системы.............174 
7.1. Теорема о движении центра масс механической системы ....174 
7.2. Теорема об изменении кинетического момента твердого 
тела.....................................................................................................179 
7.3. Теорема об изменении кинетической энергии 
механической системы.....................................................................185 
7.4. Поступательное и вращательное движения твердого тела....190 
7.5. Принцип Даламбера и реакции опор при вращательном 
движении тела...................................................................................196 
АНАЛИТИЧЕСКАЯ МЕХАНИКА.....................................................202 
8. Аналитическая статика ....................................................................202 
8.1. Удерживающие, стационарные и голономные связи.............202 
8.2. Виртуальные перемещения и идеальные связи ......................202 
8.3. Принцип виртуальных перемещений Лагранжа.....................205 
8.4. Примеры применения принципа виртуальных перемещений 
к исследованию равновесия механической системы ....................207 
8.5. Примеры применения принципа виртуальных перемещений 
к определению реакций опор составной конструкции .................215 
8.6. Обобщенные координаты и обобщенные силы......................226 

8.7. Примеры применения условий равновесия 
в обобщенных силах.........................................................................227 
9. Общее уравнение динамики ............................................................234 
10. Аналитическая динамика...............................................................244 
10.1. Уравнения Лагранжа второго рода ........................................244 
10.2. Примеры применения уравнений Лагранжа второго рода 
к исследованию движения системы с одной степенью свободы .....245 
10.3. Примеры применения уравнений Лагранжа второго 
рода к исследованию движения системы с двумя 
степенями свободы...........................................................................258 
10.4. Уравнения Лагранжа второго рода для консервативной 
системы..............................................................................................267 
10.5. Уравнения Гамильтона для консервативной системы.........276 
Вопросы для самоконтроля по аналитической механике.................283 
11. Тест на определение возможных перемещений 
механической системы.........................................................................285 
12. Контрольные работы по аналитической механике......................292 
12.1. Задачи на применение принципа возможных 
перемещений к определению условий равновесия 
механической системы.....................................................................292 
12.2. Задачи на применение общего уравнения динамики 
к исследованию движения механической системы 
с одной степенью свободы...............................................................300 
12.3. Задачи на применение уравнения Лагранжа второго 
рода к исследованию движения механической системы 
с одной степенью свободы...............................................................308 
13. Домашние задания по аналитической механике .........................316 
13.1. Принцип возможных перемещений и равновесие 
механической системы.....................................................................316 
13.2. Принцип возможных перемещений и реакции 
опор составной конструкции...........................................................321 
13.3. Общее уравнение динамики для механической 
системы с одной степенью свободы ...............................................326 
13.4. Уравнения Лагранжа II рода и программное 
движение манипулятора ..................................................................332 
13.5. Уравнения Лагранжа II рода для системы с двумя 
степенями свободы...........................................................................337 
14. Опорный конспект лекций по теоретической механике 
для студентов-заочников .....................................................................344 
Библиографический список.................................................................373 

ПРЕДИСЛОВИЕ 

Механика является одной из древнейших наук, возникновение и 
развитие которой обусловлено потребностями практики. Так начала 
развития механики были тесно связаны с развитием земледелия (поднимание воды для орошения земельных участков в Египте), с ростом 
городов, возведением крупных построек, развитием ремесел и мореплаванием. Уже при постройке египетских пирамид применялись простейшие механические приспособления: рычаги, блоки и наклонная 
плоскость. Однако, хотя в древние времена человечество обладало некоторыми эмпирическими знаниями по механике, потребовался значительный многовековой период времени для того, чтобы установить 
основные законы механики и заложить фундамент этой науки.  
Основоположником механики как науки является знаменитый 
древнегреческий ученый Архимед (287−212 гг. до н.э.). Он дал точное решение задачи о равновесии сил, приложенных к рычагу, создал 
учение о центре тяжести тел, открыл и сформулировал закон о гидростатическом давлении жидкости на погруженное в нее тело (закон 
Архимеда). 
На первой стадии развития механики, от древнего мира до эпохи 
XIV в., в результате изучения простейших машин создается учение о 
силах. Но быстрое и успешное развитие механики начинается лишь с 
эпохи Возрождения, когда были созданы благоприятные условия для 
развития науки и техники и заложены основы для мировой торговли 
и перехода ремесла в мануфактуру, которая послужила исходным 
пунктом для современной крупной промышленности. В этот период 
для решения практических задач требуются исследования движения 
тел и на основе накопленного за четыре столетия опыта к концу XVII 
в. создаются основы механики материальных тел.  
Блестящим представителем эпохи Возрождения является гениальный итальянский художник, физик, механик и инженер Леонардо да 
Винчи (1451−1519). В области механики он изучил движение падающего тела, движение тела по наклонной плоскости, явление трения и ввел понятие момента силы. 
Зарождение небесной механики (науки о движении небесных тел) 
связано с великим открытием Николая Коперника (1473−1543) − 
создателя гелиоцентрической системы мира, сменившей геоцентрическую систему Птолемея. Это открытие произвело переворот в научном мировоззрении той эпохи и освободило естествознание от 

теологии. На основании учения Коперника и астрономических наблюдений Иоганн Кеплер (1571−1630) сформулировал три закона 
движения планет. 
Создание основ динамики принадлежит великим ученым − итальянскому Галилео Галилею (1564−1842) и англичанину Исааку Ньютону 
(1643−1727), открывшему всемирный закон тяготения. В знаменитом 
сочинении «Математические начала натуральной философии» (1687 г.) 
Ньютон в систематическом виде изложил основные законы классической механики.  
XVIII в. характеризовался разработкой общих принципов классической механики и важнейшими исследованиями по механике твердого 
тела, гидродинамике и небесной механике. Наиболее крупными зарубежными учеными XVIII и XIX вв. в области механики являются Иван 
Бернулли (1667−1748), Даниил Бернулли (1700−1782), Жан Лерон 
Даламбер (1717−1783), Жозеф Луи Лагранж (1736−1813). В работах 
французских ученых Пьера Вариньона (1654−1722) и Луи Пуансо 
(1777−1859) наряду с динамикой дальнейшее развитие получила и статика. Вариньон решил задачи сложения сил, приложенных в точке, и 
параллельных сил. Он получил условия равновесия этих сил, доказал 
теорему о моменте равнодействующей и предложил создание основ 
графостатики (построение силового многоугольника). 
Развитие науки в России связано с образованием по инициативе 
Петра I в 1725 г. в Петербурге Российской Академии наук. Большое 
влияние на развитие механики оказали труды гениального русского 
ученого, основателя Московского университета Михаила Васильевича Ломоносова (1711−1765) и знаменитого математика, астронома и физика Леонарда Эйлера (1707−1783). За 30 лет работы в Российской Академии наук Эйлер создал большое количество научных 
трудов по математике, механике твердого и упругого тела, гидромеханике и небесной механике. 
Огромное значение для развития механики имеют работы выдающихся российских ученых: М.В. Остроградского (1801−1861), П.Л. Чебышева (1821−1894), С.В. Ковалевской (1850−1891), А.М. Ляпунова 
(1857−1918), И.В. Мещерского (1859−1935), А.Н. Крылова (1863−1945), 
Н.Е. Жуковского (1847−1921), С.А. Чаплыгина (1869−1942) и многих 
других ученых. Российскими механиками выполнены фундаментальные исследования по теории полета ракет, реактивных самолетов, искусственных спутников Земли и космических станций. 

Теоретическая механика является научной основой важнейших 
отраслей современной техники. Она также необходима для дальнейшего изучения ряда учебных курсов: «Сопротивление материалов», 
«Теория механизмов и машин», «Детали машин», «Механика сплошных сред» и «Обработка металлов давлением». 

1. КРАТКИЙ КУРС СТАТИКИ И КИНЕМАТИКИ 

1.1. Краткий курс статики 

Сила есть мера механического взаимодействия твердых тел, в результате которого тела могут приобретать ускорения или деформироваться. Сила есть векторная величина и характеризуется модулем, точкой приложения и направлением (линией действия силы) (рис. 1.1). 

y 
O 

Твердое тело 

F 
z 

j 

k

Линия 
действия 
силы 

Точка приложения силы 

Сила 

i 

x 
 

Рис. 1.1 

Пусть F = Fxi + Fyj + Fzk = (Fx, Fy, Fz) [F] = H (ньютон) 

2
2
2

x
y
z
F
F
F
F
=
+
+
− модуль силы, i, j, k – единичные орты, 

1.
=
=
=
i
j
k
 
Абсолютно твердым телом называется тело, расстояния между 
точками которого не изменяются по времени. Силу можно переносить вдоль ее линии действия, не нарушая кинематического состояния абсолютно твердого тела.  
Главным вектором системы сил {F1, …, Fn} называется их геометрическая сумма (рис. 1.2): 

 

1
,

n

O
i
i=
=∑
F
F
 

 
(
)
,
,
,
O
Ox
Oy
Oz
F
F
F
=
F
 
(
)
,
,
,
i
ix
iy
iz
F
F
F
=
F
 

1

,

n

Ox
ix
i

F
F

=
=∑
 

1

,

n

Oy
iy
i

F
F

=
=∑
 

1

.

n

Oz
iz
i

F
F

=
=∑
 

F1 
F2 

F1 

F2 

Fn 

Полюс O 

FO 
Fn 

Твердое тело 
Силовой многоугольник  

Рис. 1.2 

Моментом силы относительно точки называется векторное произведение радиуса-вектора точки приложения силы на вектор силы: 

 
( )
O

x
y
z

x
y
z

F
F
F
= ×
=
=

i
j
k

M
F
r
F
 

 
(
)
(
)
(
) (
)
,
,
,
z
y
x
z
y
x
Ox
Oy
Oz
yF
zF
zF
xF
xF
yF
M
M
M
=
−
+
−
+
−
=
i
j
k
  

где 
(
)
, ,
x y z
=
r
 – радиус-вектор точки приложения силы; F = (Fx, Fy, Fz) – 

вектор силы; 
,
,
Ox
z
y
Oy
x
z
Oz
y
x
M
yF
zF
M
zF
xF
M
xF
yF
=
−
=
−
=
−
 – мо
менты силы относительно осей x, y и z (рис. 1.3).  

Момент силы MО перпендикулярен к радиусу-вектору r и вектору 
силы F. 
Положительным направлением момента силы считается направление, откуда поворот силы виден происходящим против хода часовой стрелки. В механике плечом называется кратчайшее расстояние 
от точки до линии действия силы. По абсолютной величине момент 
силы относительно точки равен произведению силы на плечо: 

 
(
)
(
)
sin
,
sin
,
O
rF
F r
Fh.
=
×
=
=
⎡
⎤ =
⎣
⎦
M
r
F
r F
r F