Теоретическая механика : статика металлоконструкций. Кинематика

МИНИСТЕРСТВО ОБРАЗОВАНИЯ И НАУКИ РФ 

ФЕДЕРАЛЬНОЕ ГОСУДАРСТВЕННОЕ ОБРАЗОВАТЕЛЬНОЕ УЧРЕЖДЕНИЕ  
ВЫСШЕГО ПРОФЕССИОНАЛЬНОГО ОБРАЗОВАНИЯ  
«НАЦИОНАЛЬНЫЙ ИССЛЕДОВАТЕЛЬСКИЙ ТЕХНОЛОГИЧЕСКИЙ УНИВЕРСИТЕТ «МИСиС» 

 

 
 
 

 

 

 

 
 

 

№ 1937 

Кафедра теоретической механики и сопротивления материалов

В.Н. Шинкин 
М.П. Смирнова 

Теоретическая механика

Статика металлоконструкций. Кинематика 

Учебное пособие 

Под редакцией профессора В.Н. Шинкина 

Допущено учебно-методическим объединением 
по образованию в области металлургии в качестве учебного 
пособия для студентов высших учебных заведений, 
обучающихся по направлению 150100 – Металлургия 

Москва  2010 

УДК 531.01 
 
Ш 62 

Р е ц е н з е н т  
д-р техн. наук, проф. Б.А. Романцев 

Шинкин В.Н., Смирнова М.П. 
Ш 62  
Теоретическая механика: Статика металлоконструкций. Кинематика: Учеб. пособие. – М.: Изд. Дом МИСиС, 2010. – 
345 с. 
ISBN 978-5-87623-342-4 

Подробно рассмотрены теоретические и практические вопросы статики 
металлоконструкций и кинематики металлургических механизмов по следующим темам: основные понятия статики, основная теорема статики (теорема Пуансо), равновесие системы сил, расположенных на плоскости, равновесие системы твердых тел, равновесие твердых тел при наличии трения, 
равновесие системы сил, произвольно расположенных в пространстве, система сходящихся сил, расчет плоских ферм, центр параллельных сил и центр 
тяжести, основные понятия кинематики, способы задания движения точки, 
сложное движение точки, теорема Кориолиса, основные движения твердого 
тела. Приведены многочисленные контрольные работы, домашние задания и 
элементы интернет-экзамена, закрепляющие изложенный материал.  Все темы изложены с учетом специфики металлургических процессов.  
Предназначено для студентов высших учебных заведений, обучающихся 
по направлению 150100 – Металлургия. 
 

УДК 531.01 

ISBN  978-5-87623-342-4 
© Шинкин В.Н., 
Смирнова М.П., 2010 

ОГЛАВЛЕНИЕ 

 
Предисловие.......................................................................................................... 6 
Статика................................................................................................................. 9 
1. Основные понятия статики.............................................................................. 9 
1.1. Главный вектор системы сил ................................................................... 9 
1.2. Момент силы относительно точки и оси .............................................. 10 
1.3. Аксиомы статики..................................................................................... 13 
1.4. Опоры и их реакции................................................................................ 16 
1.5. Теорема Вариньона................................................................................. 17 
2. Основная теорема статики (теорема Пуансо).............................................. 18 
2.1. Теорема Пуансо....................................................................................... 18 
2.2. Приведение плоской системы сил к простейшему виду..................... 20 
2.3. Приведение пространственной системы сил к простейшему виду ... 21 
3. Равновесие системы сил, расположенных на плоскости............................ 24 
3.1. Примеры на равновесие твердого тела под действием плоской 
системы параллельных сил ........................................................................... 24 
3.2. Примеры на равновесие твердого тела под действием произвольной 
плоской системы сил....................................................................................... 28 
4. Равновесие ситемы твердых тел.................................................................... 35 
4.1. Составные конструкции ......................................................................... 35 
4.2. Примеры на определение реакций опор системы двух тел под 
действием произвольной плоской системы сил.......................................... 35 
5. Равновесие твердых тел при наличии трения.............................................. 45 
5.1. Сцепление и сопротивление качению................................................... 45 
5.2. Примеры на равновесие твердого тела при наличии сил сцепления .......48 
5.3. Примеры на равновесие твердого тела при наличии трения качения..........53 
6. Равновесие системы сил, произвольно расположенных 
в пространстве. Примеры на равновесие пространственной конструкции.. 56 
7. Система сходящихся сил ............................................................................... 66 
7.1. Теоремы о сходящихся силах ................................................................ 66 
7.2. Примеры расчета систем сходящихся сил............................................ 67 
8. Расчет плоских ферм...................................................................................... 76 
8.1. Общие сведения о плоских фермах....................................................... 76 
8.2. Расчет плоских ферм методом вырезания узлов.................................. 77 
8.3. Расчет плоских ферм методом сечений (методом Риттера) ............... 86 
9. Центр параллельных сил и центр тяжести................................................... 93 
9.1. Центр параллельных сил ........................................................................ 93 
9.2. Центр тяжести тела ................................................................................. 94 
9.3. Центр тяжести оболочки (поверхности)............................................... 95 
9.4. Центр тяжести бруса (стержня) ............................................................. 96 
9.5. Методы нахождения центра тяжести.................................................... 97 

9.6. Центры тяжести простейших фигур ......................................................98 
9.7. Определение центра тяжести системы твердых тел, 
для каждого из которых известны вес и положение центра тяжести......103 
9.8. Определение центра тяжести тела, составленного 
из однородных тонких стержней постоянного поперечного сечения.....106 
9.9. Определение центра тяжести площади плоской фигуры 
(однородной тонкой плоской пластинки)...................................................110 
9.10. Определение центра тяжести однородного объемного 
твердого тела .................................................................................................116 
9.11. Определение центра тяжести неоднородного объемного 
твердого тела .................................................................................................123 
10. Тест на знание реакций связей...................................................................125 
11. Контрольное задание по статике плоских металлоконструкций ...........130 
12. Контрольная работа по статике .................................................................138 
13. Домашние задания по статике ...................................................................168 
13.1. Определение реакций опор и усилий в стержнях плоской фермы ...... 168 
13.2. Определение реакций опор жесткой рамы........................................174 
13.3. Определение реакций опор системы двух тел..................................179 
13.4. Определение реакций опор пространственной конструкции..........184 
13.5. Определение положения центра тяжести тела .................................190 

Кинематика ......................................................................................................195 
14. Основные понятия кинематики .................................................................195 
14.1. Декартова прямолинейная система координат. 
Абсолютная скорость и ускорение точки...................................................195 
14.2. Цилиндрическая система координат..................................................196 
14.3. Полярная система координат..............................................................197 
14.4. Сферическая система координат........................................................197 
14.5. Естественные координатные оси. Проекции скорости 
и ускорения точки на естественные оси.....................................................198 
14.6. Угловая скорость и угловое ускорение твердого тела.....................199 
15. Способы задания движения точки. Примеры 
на определение скорости и ускорения точки при различных способах 
задания движения.................................................................................... 200 
16. Сложное движение точки. Теорема Кориолиса .......................................210 
16.1. Проекции вектора угловой скорости на оси подвижной 
системы координат .......................................................................................210 
16.2. Локальная производная вектора в подвижной системе координат...... 212 
16.3. Сложное движение точки....................................................................214 
16.4. Теорема Кориолиса..............................................................................215 
16.5. Примеры определения скорости и ускорения точки в сложном 
движении........................................................................................................216 
17. Основные движения твердого тела ...........................................................226 
17.1. Поступательное движение твердого тела..........................................226 

17.2. Вращательное движение твердого тела............................................ 227 
17.3. Примеры на поступательное и вращательное движения 
твердого тела................................................................................................. 228 
17.4. Примеры определения кинематических характеристик звеньев 
кулисного механизма................................................................................... 233 
17.5. Примеры определения угловых скоростей звеньев 
планетарного механизма ............................................................................. 238 
17.6. Сферическое движение твердого тела .............................................. 244 
17.7. Примеры на сферическое движение твердого тела......................... 246 
17.8. Плоскопараллельное движение твердого тела................................. 252 
17.9. Мгновенные центры скоростей и ускорений при плоском 
движении твердого тела .............................................................................. 252 
17.10. Примеры определения кинематических характеристик 
твердого тела и его точек при плоском движении.................................... 254 
18. Тест на знание уравнений движения точки и твердого тела.................. 262 
19. Тест на умение определять положение МЦС плоской фигуры............. 266 
20. Контрольное задание по кинематике планетарных редукторов............ 273 
21. Контрольная работа по кинематике.......................................................... 281 
22. Домашние задания по кинематике............................................................ 311 
22.1. Определение скорости и ускорения точки по заданным 
уравнениям движения.................................................................................. 311 
22.2. Определение скоростей и ускорений точек твердого тела при 
поступательном и вращательном движении ............................................. 312 
22.3. Определение абсолютной скорости и абсолютного ускорения 
точки в случае плоского переносного движения...................................... 319 
22.4. Определение кинематических характеристик твердого тела 
и его точек при плоском движении............................................................ 326 
23. Элементы интернет-экзамена.................................................................... 332 
Библиографический список............................................................................. 344 
 

ПРЕДИСЛОВИЕ 

Механика является одной из древнейших наук, возникновение и 
развитие которой обусловлено потребностями практики. Так, начала 
развития механики были тесно связаны с развитием земледелия 
(подъем воды для орошения земельных участков в Египте), ростом 
городов, возведением крупных построек, развитием ремесел и мореплаванием. Уже при постройке египетских пирамид применялись 
простейшие механические приспособления: рычаги, блоки и наклонная плоскость. Однако, хотя в древние времена человечество обладало некоторыми эмпирическими знаниями по механике, потребовался 
значительный период времени для того, чтобы установить основные 
законы механики и заложить фундамент этой науки.  
Основоположником механики как науки является знаменитый 
древнегреческий ученый Архимед (287−212 гг. до н.э.). Он дал точное решение задачи о равновесии сил, приложенных к рычагу, создал 
учение о центре тяжести тел, открыл и сформулировал закон о гидростатическом давлении жидкости на погруженное в нее тело (закон 
Архимеда). 
На первой стадии развития механики (от Древнего мира до 
XIV в.) в результате изучения простейших машин создается учение о 
силах. Но быстрое и успешное развитие механики начинается лишь с 
эпохи Возрождения, когда были созданы благоприятные условия для 
развития науки и техники и заложены основы для мировой торговли 
и перехода ремесла в мануфактуру, которая послужила исходным 
пунктом для современной крупной промышленности. В этот период 
для решения практических задач требуются исследования движения 
тел и на основе накопленного за четыре столетия опыта к концу 
XVII в. создаются основы механики материальных тел.  
Блестящим представителем эпохи Возрождения является гениальный итальянский художник, физик, механик и инженер Леонардо да 
Винчи (1451−1519). В области механики он изучил движение падающего тела, движение тела по наклонной плоскости, явление трения и ввел понятие момента силы. 
Зарождение небесной механики (науки о движении небесных тел) 
связано с великим открытием Николая Коперника (1473−1543) − создателя гелиоцентрической системы мира, сменившей геоцентрическую 
систему Птолемея. Это открытие произвело переворот в научном мировоззрении той эпохи и освободило естествознание от теологии. На ос

новании учения Коперника и астрономических наблюдений Кеплер 
(1571−1630) сформулировал три закона движения планет. 
Создание основ динамики принадлежит великим ученым − итальянцу Галилео Галилею (1564−1842) и англичанину Исааку Ньютону 
(1643−1727), открывшему всемирный закон тяготения. В знаменитом 
сочинении «Математические начала натуральной философии» 
(1687 г.) Ньютон в систематическом виде изложил основные законы 
классической механики.  
XVIII в. характеризовался разработкой общих принципов классической механики и важнейшими исследованиями по механике твердого тела, гидродинамике и небесной механике. Наиболее крупными 
зарубежными учеными XVIII и XIX вв. в области механики являются 
Иван Бернулли (1667−1748), Даниил Бернулли (1700−1782), Даламбер (1717−1783), Лагранж (1736−1813). В работах французских ученых Вариньона (1654−1722) и Пуансо (1777−1859) наряду с динамикой дальнейшее развитие получила и статика. Вариньон решил задачи сложения сил, приложенных в точке, и параллельных сил. Он установил условия равновесия этих сил, доказал теорему о моменте 
равнодействующей и создал основы графостатики (построение силового многоугольника). 
Развитие науки в России связано с образованием по инициативе 
Петра I в 1725 г. в Петербурге Российской Академии наук. Большое 
влияние на развитие механики оказали труды гениального русского 
ученого, основателя Московского университета Михаила Васильевича Ломоносова (1711−1765) и знаменитого математика, астронома и 
физика Леонарда Эйлера (1707−1783). За 30 лет работы в Российской 
Академии наук Эйлер создал большое количество научных трудов по 
математике, механике твердого и упругого тел, гидромеханике и небесной механике. 
Огромное значение для развития механики имеют работы выдающихся российских ученых: М.В. Остроградского (1801−1861), 
П.Л. Чебышева (1821−1894), С.В. Ковалевской (1850−1891), А.М. Ляпунова (1857−1918), И.В. Мещерского (1859−1935), К.Э. Циолковского (1857−1935), А.Н. Крылова (1863−1945), Н.Е. Жуковского 
(1847−1921), С.А. Чаплыгина (1869−1942) и многих других ученых. 
Российскими механиками выполнены фундаментальные исследования по теории полета ракет, реактивных самолетов, искусственных 
спутников Земли и космических станций. 

Теоретическая механика является научной основой важнейших отраслей современной техники. Она также является необходимой основой 
для дальнейшего изучения ряда учебных курсов: «Сопротивление материалов», «Теория механизмов и машин», «Детали машин», «Механика сплошных сред» и «Обработка металлов давлением». 

СТАТИКА 

1. ОСНОВНЫЕ ПОНЯТИЯ СТАТИКИ 

Статика – раздел теоретической механики, в котором изучаются 
методы преобразования систем сил в эквивалентные системы и условия равновесия сил, приложенных к твердому телу. 

1.1. Главный вектор системы сил 

Сила – мера механического взаимодействия твердых тел, в результате которого тела могут приобретать ускорения или деформироваться. Сила – векторная величина, характеризующаяся модулем, 
точкой приложения и направлением (линией действия силы) 
(рис. 1.1): 

 

Рис. 1.1 

(
) [ ]
,
,
,
H (ньютон),
x
y
x
x
y
z
F
F
F
F F
F
=
+
+
=
=
F
i
j
k
F
 

, ,
единичные орты,
1;
−
=
=
=
i j k
i
j
k
 

2
2
2
модуль силы.
x
y
z
F
F
F
F
=
+
+
−
 

Главным вектором системы сил {
}
1, ... ,
n
F
F
 называется их геометрическая сумма (рис. 1.2): 

y 
O 

Твердое тело 

F 

z 

j 

k

Точка приложения силы 

Сила 

i 

x 

Линия  
действия 
силы 

1
,

n

O
i
i=
= ∑
F
F  

(
)
,
,
,
O
Ox
Oy
Oz
F
F
F
=
F
 
(
)
,
,
,
i
ix
iy
iz
F
F
F
=
F
 

1
,

n

Ox
ix
i

F
F

=
= ∑
 

1
,

n

Oy
iy
i

F
F

=
= ∑
 

1
.

n

Oz
iz
i

F
F

=
= ∑
 

Главный вектор не зависит от выбора полюса (точки). 

 

Рис. 1.2 

1.2. Момент силы относительно точки и оси 

Моментом силы относительно точки называется векторное 
произведение радиус-вектора точки приложения силы на вектор силы (рис. 1.3): 
( )
O
=
×
M
F
r
F  = 

(
)
(
)
(
)
z
y
x
z
y
x

x
y
z

x
y
z
yF
zF
zF
xF
xF
yF
F
F
F
=
=
−
+
−
+
−
=
i
j
k
i
j
k
 

(
)
,
,
,
Ox
Oy
Oz
M
M
M
=
 

где 
(
)
, ,
x y z
=
r
 – радиус-вектор точки приложения силы; 

(
)
,
,
x
y
z
F F
F
=
F
 – вектор силы; 

F1 

F2 

Fn 

Полюс O 

FO 

F1 
F2 

Fn 

Твердое тело 
Силовой многоугольник