Теоретическая механика для металлургов

МИНИСТЕРСТВО ОБРАЗОВАНИЯ И НАУКИ РФ 

ФЕДЕРАЛЬНОЕ ГОСУДАРСТВЕННОЕ АВТОНОМНОЕ ОБРАЗОВАТЕЛЬНОЕ УЧРЕЖДЕНИЕ  
ВЫСШЕГО ПРОФЕССИОНАЛЬНОГО ОБРАЗОВАНИЯ  
«НАЦИОНАЛЬНЫЙ ИССЛЕДОВАТЕЛЬСКИЙ ТЕХНОЛОГИЧЕСКИЙ УНИВЕРСИТЕТ «МИСиС» 

 

 
 
 

 

 

 

 
 

 

В.Н. Шинкин 

ТЕОРЕТИЧЕСКАЯ 
МЕХАНИКА  
     для металлургов 

Учебник 

Допущено учебно-методическим объединением  
по образованию в области металлургии в качестве учебника  
для студентов высших учебных заведений, обучающихся  
по направлению Металлургия 
 

Москва  2012 

УДК 531 
 
Ш62 

Р е ц е н з е н т ы :  
д-р техн. наук, проф. Ю.И. Бурчаков (зав. кафедрой сопротивления  
материалов Московского государственного горного университета); 
д-р техн. наук, проф. С.К. Карцов (профессор кафедры строительной  
механики Московского автомобильно-дорожного государственного  
технического университета) 

Шинкин, В.Н. 
Ш62  
Теоретическая механика для металлургов : учеб. / В.Н. Шинкин. – М. : Изд. Дом МИСиС, 2012. – 679 с. 
ISBN 978-5-87623-578-7 

В учебнике рассмотрены основные теоретические и практические вопросы статики металлоконструкций, кинематики металлургических механизмов, 
динамики материальной системы и аналитической механики. Подробно разобраны решения большого числа задач. Приведены многочисленные контрольные работы, домашние задания, тесты и элементы интернет-экзамена, 
закрепляющие материал. Все темы изложены с учетом специфики металлургических процессов. 
Для студентов высших учебных заведений, обучающихся по направлению 150100 «Металлургия». 
 
УДК 531 

ISBN 978-5-87623-578-7 
© Шинкин В.Н., 2012 
 

ОГЛАВЛЕНИЕ 

Предисловие..........................................................................................9 
Статика...................................................................................................12 
1. Основные понятия статики................................................................12 
1.1. Главный вектор системы сил .....................................................12 
1.2. Момент силы относительно точки и оси...................................13 
1.3. Аксиомы статики.........................................................................16 
1.4. Опоры и их реакции....................................................................18 
1.5. Теорема Вариньона .....................................................................19 
2. Основная теорема статики (теорема Пуансо) ..................................20 
2.1. Теорема Пуансо...........................................................................20 
2.2. Приведение плоской системы сил к простейшему виду .........22 
2.3. Приведение пространственной системы сил  
к простейшему виду...........................................................................23 
3. Равновесие системы сил, расположенных на плоскости ................26 
3.1. Примеры на равновесие твердого тела под действием  
плоской системы параллельных сил.................................................26 
3.2. Примеры на равновесие твердого тела под действием  
произвольной плоской системы сил.................................................30 
4. Равновесие системы твердых тел......................................................37 
4.1. Составные конструкции..............................................................37 
4.2. Примеры на определение реакций опор системы двух тел  
под действием произвольной плоской системы сил.......................37 
5. Равновесие твердых тел при наличии трения ..................................47 
5.1. Сцепление и сопротивление качению .......................................47 
5.2. Примеры на равновесие твердого тела при наличии  
сил сцепления .....................................................................................50 
5.3. Примеры на равновесие твердого тела при наличии  
трения качения....................................................................................55 
6. Равновесие системы сил, произвольно расположенных  
в пространстве ....................................................................................57 
7. Система сходящихся сил....................................................................67 
7.1. Теоремы о сходящихся силах.....................................................67 
7.2. Примеры расчета систем сходящихся сил................................68 
8. Расчет плоских ферм..........................................................................77 
8.1. Общие сведения о плоских фермах ...........................................77 
8.2. Расчет плоских ферм методом вырезания узлов......................78 
8.3. Расчет плоских ферм методом сечений (методом Риттера)....87 

9. Центр параллельных сил и центр тяжести.......................................94 
9.1. Центр параллельных сил ............................................................94 
9.2. Центр тяжести тела .....................................................................95 
9.3. Центр тяжести оболочки (поверхности) ...................................96 
9.4. Центр тяжести бруса (стержня) .................................................97 
9.5. Методы нахождения центра тяжести ........................................98 
9.6. Центры тяжести простейших фигур..........................................99 
9.7. Определение центра тяжести системы твердых тел,  
для каждого из которых известны вес и положение  
центра тяжести .................................................................................103 
9.8. Определение центра тяжести тела, составленного  
из однородных тонких стержней постоянного  
поперечного сечения........................................................................107 
9.9. Определение центра тяжести площади плоской фигуры  
(однородной тонкой плоской пластинки)......................................111 
9.10. Определение центра тяжести однородного объемного  
твердого тела ....................................................................................116 
9.11. Определение центра тяжести неоднородного объемного 
твердого тела ....................................................................................124 
10. Тест на знание реакций связей......................................................129 
11. Контрольное задание по статике плоских  
металлоконструкций ......................................................................134 
12. Контрольная работа по статике.....................................................140 
13. Домашние задания по статике.......................................................158 
13.1. Определение реакций опор и усилий в стержнях  
плоской фермы .................................................................................158 
13.2. Определение реакций опор жесткой рамы ...........................163 
13.3. Определение реакций опор системы двух тел......................168 
13.4. Определение реакций опор пространственной  
конструкции......................................................................................174 
13.5. Определение положения центра тяжести тела.....................179 
Кинематика .........................................................................................185 
14. Основные понятия кинематики.....................................................185 
14.1. Декартова прямолинейная система координат.  
Абсолютная скорость и ускорение точки ......................................185 
14.2. Цилиндрическая система координат.....................................186 
14.3. Полярная система координат .................................................187 
14.4. Сферическая система координат ...........................................187 

14.5. Естественные координатные оси. Проекции скорости  
и ускорения точки на естественные оси.........................................188 
14.6. Угловая скорость и угловое ускорение твердого тела.........189 
15. Способы задания движения точки ................................................191 
16. Сложное движение точки. Теорема Кориолиса...........................202 
16.1. Проекции вектора угловой скорости на подвижные  
оси координат ...................................................................................202 
16.2. Локальная производная вектора в подвижной системе  
координат ..........................................................................................204 
16.3. Сложное движение точки .......................................................206 
16.4. Теорема Кориолиса .................................................................207 
16.5. Примеры определения скорости и ускорения точки  
в сложном движении........................................................................208 
17. Основные движения твердого тела...............................................219 
17.1. Поступательное движение твердого тела .............................219 
17.2. Вращательное движение твердого тела.................................220 
17.3. Примеры на поступательное и вращательное движения  
твердого тела.....................................................................................221 
17.4. Примеры определения кинематических характеристик  
звеньев кулисного механизма .........................................................227 
17.5. Примеры определения угловых скоростей звеньев  
планетарного механизма..................................................................232 
17.6. Сферическое движение твердого тела...................................239 
17.7. Примеры на сферическое движение твердого тела..............241 
17.8. Плоскопараллельное движение твердого тела .....................247 
17.9. Мгновенные центры скоростей и ускорений  
при плоском движении твердого тела............................................248 
17.10. Примеры определения кинематических характеристик  
твердого тела и его точек при плоском движении........................250 
18. Тест на знание уравнений движения точки и твердого тела ......261 
19. Тест на умение определять положение МЦС плоской фигуры .....264 
20. Контрольное задание по кинематике планетарных редукторов.....272 
21. Контрольная работа по кинематике..............................................280 
22. Домашние задания по кинематике................................................297 
22.1. Определение скорости и ускорения точки по заданным  
уравнениям движения......................................................................297 
22.2. Определение скоростей и ускорений точек твердого тела  
при поступательном и вращательном движениях.........................298 

22.3. Определение абсолютной скорости и абсолютного  
ускорения точки в случае плоского переносного движения........304 
22.4. Определение кинематических характеристик твердого  
тела и его точек при плоском движении........................................309 
Динамика материальной системы и твердого тела.....................315 
23. Геометрия масс ...............................................................................315 
23.1. Момент инерции твердого тела .............................................315 
23.2. Моменты инерции простейших однородных фигур............317 
23.3. Моменты инерции тела относительно двух осей.................324 
23.4. Примеры вычисления моментов инерции тела  
относительно произвольных осей...................................................329 
24. Динамика материальной системы.................................................335 
24.1. Основные законы и принципы динамики.............................335 
24.2. Примеры интегрирования дифференциальных уравнений  
движения материальной точки.......................................................... 335 
24.3. Центр масс материальной системы .......................................346 
24.4. Количество движения материальной системы.....................347 
24.5. Примеры применения теоремы  об изменении  
количества движения.......................................................................349 
24.6. Теорема о движении центра масс материальной системы.... 357 
24.7. Примеры применения теоремы о движении центра масс ..... 358 
24.8. Момент количеств движения  материальной системы........368 
24.9. Примеры применения теоремы об изменении  
кинетического момента материальной системы ...........................373 
24.10. Примеры решения задач с использованием  
дифференциальных уравнений движения твердого тела .............381 
24.11. Кинетическая энергия материальной системы...................389 
24.12. Примеры вычисления кинетической энергии  
материальной системы.....................................................................394 
24.13. Элементарная работа силы...................................................400 
24.14. Теорема об изменении кинетической энергии  
материальной системы.....................................................................401 
24.15. Примеры применения теоремы об изменении  
кинетической энергии......................................................................402 
24.16. Закон сохранения полной механической энергии  
материальной системы.....................................................................411 
25. Принцип Даламбера .......................................................................414 
25.1. Принцип Даламбера для материальной системы.................414 
25.2. Главный вектор и главный момент сил инерции  
твердого тела ....................................................................................416 
25.3. Примеры применения принципа Даламбера ........................419 

26. Тест на определение динамических характеристик  
твердого тела...................................................................................431 
27. Контрольные работы по динамике материальной системы .......437 
27.1. Задачи на применение теорем о движении центра масс  
и об изменении количества движения к исследованию  
движения материальной системы...................................................437 
27.2. Задачи на применение теоремы об изменении  
кинетического момента к определению угловой скорости  
твердого тела.....................................................................................442 
27.3. Задачи на применение теоремы об изменении  
кинетической энергии к изучению движения материальной  
системы .............................................................................................449 
27.4. Задачи на применение принципа Даламбера  
к определению реакций опор при вращении твердого тела  
вокруг неподвижной оси .................................................................455 
28. Домашние задания по динамике материальной системы ...........462 
28.1. Теорема о движении центра масс механической системы ...... 462 
28.2. Теорема об изменении кинетического момента  
механической системы.....................................................................467 
28.3. Теорема об изменении кинетической энергии  
механической системы.....................................................................473 
28.4. Поступательное и вращательное движения твердого тела...... 478 
28.5. Принцип Даламбера и реакции опор при вращательном  
движении тела...................................................................................484 
Аналитическая механика..................................................................490 
29. Аналитическая статика ..................................................................490 
29.1. Удерживающие, стационарные и голономные связи...........490 
29.2. Виртуальные перемещения и идеальные связи....................490 
29.3. Принцип виртуальных перемещений Лагранжа...................494 
29.4. Примеры применения принципа виртуальных  
перемещений к исследованию равновесия механической  
системы .............................................................................................495 
29.5. Примеры применения принципа виртуальных  
перемещений к определению реакций опор составной  
конструкции......................................................................................504 
29.6. Обобщенные координаты  и обобщенные силы...................516 
29.7. Примеры применения условий равновесия  
в обобщенных силах ........................................................................517 
30. Общее уравнение динамики ..........................................................524 

31. Аналитическая динамика...............................................................534 
31.1. Уравнения Лагранжа второго рода........................................534 
31.2. Примеры применения уравнений Лагранжа второго рода  
к исследованию движения системы с одной степенью свободы .....536 
31.3. Примеры применения уравнений Лагранжа второго рода  
к исследованию движения системы с двумя степенями  
свободы .............................................................................................548 
31.4. Уравнения Лагранжа второго рода для консервативной  
системы .............................................................................................557 
31.5. Уравнения Гамильтона для консервативной системы.........567 
32. Тест на определение возможных перемещений механической  
системы............................................................................................576 
33. Контрольные работы по аналитической механике......................583 
33.1. Задачи на применение принципа возможных перемещений  
к определению условий равновесия механической системы.......583 
33.2. Задачи на применение общего уравнения динамики  
к исследованию движения механической системы с одной  
степенью свободы ............................................................................589 
33.3. Задачи на применение уравнения Лагранжа второго рода  
к исследованию движения механической системы с одной  
степенью свободы ............................................................................595 
34. Домашние задания по аналитической механике .........................602 
34.1. Принцип возможных перемещений и равновесие  
механической системы ....................................................................602 
34.2. Принцип возможных перемещений и реакции опор  
составной конструкции....................................................................607 
34.3. Общее уравнение динамики для механической системы  
с одной степенью свободы ..............................................................612 
34.4. Уравнения Лагранжа II рода и программное движение  
манипулятора....................................................................................618 
34.5. Уравнения Лагранжа II рода для системы с двумя  
степенями свободы...........................................................................624 
35. Элементы интернет-экзамена........................................................630 
36. Опорный конспект лекций по теоретической механике  
для студентов-заочников...............................................................647 
Библиографический список.................................................................678 
 

Предисловие 

Механика является одной из древнейших наук, возникновение и 
развитие которой обусловлено потребностями практики. Так начала 
развития механики были тесно связаны с развитием земледелия 
(поднимание воды для орошения земельных участков в Египте), с 
ростом городов, возведением крупных построек, развитием ремесел 
и мореплаванием. Уже при постройке египетских пирамид применялись простейшие механические приспособления: рычаги, блоки и 
наклонная плоскость. Однако, хотя в древние времена человечество 
обладало некоторыми эмпирическими знаниями по механике, потребовался значительный многовековой период времени для того, чтобы 
установить основные законы механики и заложить фундамент этой 
науки.  
Основоположником механики как науки является знаменитый 
древнегреческий ученый Архимед (287−212 гг. до н.э.). Он дал точное решение задачи о равновесии сил, приложенных к рычагу, создал 
учение о центре тяжести тел, открыл и сформулировал закон о гидростатическом давлении жидкости на погруженное в нее тело (закон 
Архимеда). 
На первой стадии развития механики, от древнего мира до эпохи 
XIV в., в результате изучения простейших машин создается учение о 
силах. Но быстрое и успешное развитие механики начинается лишь с 
эпохи Возрождения, когда были созданы благоприятные условия для 
развития науки и техники и заложены основы для мировой торговли 
и перехода ремесла в мануфактуру, которая послужила исходным 
пунктом для современной крупной промышленности. В этот период 
для решения практических задач требуются исследования движения 
тел и на основе накопленного за четыре столетия опыта к концу 
XVII в. создаются основы механики материальных тел.  
Блестящим представителем эпохи Возрождения является гениальный итальянский художник, физик, механик и инженер Леонардо да 
Винчи (1451−1519). В области механики он изучил движение падающего тела, движение тела по наклонной плоскости, явление трения и ввел понятие момента силы. 
Зарождение небесной механики (науки о движении небесных тел) 
связано с великим открытием Николая Коперника (1473−1543) − 
создателя гелиоцентрической системы мира, сменившей геоцентри

ческую систему Птолемея. Это открытие произвело переворот в научном мировоззрении той эпохи и освободило естествознание от 
теологии. На основании учения Коперника и астрономических наблюдений Кеплер (1571−1630) сформулировал три закона движения 
планет. 
Создание основ динамики принадлежит великим ученым − итальянскому Галилео Галилею (1564−1842) и англичанину Исааку 
Ньютону (1643−1727), открывшему всемирный закон тяготения. В 
знаменитом сочинении «Математические начала натуральной философии» (1687 г.) Ньютон в систематическом виде изложил основные 
законы классической механики.  
XVIII в. характеризовался разработкой общих принципов классической механики и важнейшими исследованиями по механике твердого тела, гидродинамике и небесной механике. Наиболее крупными 
зарубежными учеными XVIII и XIX вв. в области механики являются 
Иван Бернулли (1667−1748), Даниил Бернулли (1700−1782), Даламбер (1717−1783), Лагранж (1736−1813). В работах французских 
ученых Вариньона (1654−1722) и Пуансо (1777−1859) наряду с динамикой дальнейшее развитие получила и статика. Вариньон решил 
задачи сложения сил, приложенных в точке, и параллельных сил. Он 
получил условия равновесия этих сил, доказал теорему о моменте 
равнодействующей и предложил создание основ графостатики (построение силового многоугольника). 
Развитие науки в России связано с образованием по инициативе 
Петра I в 1725 г. в Петербурге Российской Академии наук. Большое 
влияние на развитие механики оказали труды гениального русского 
ученого, основателя Московского университета Михаила Васильевича Ломоносова (1711−1765) и знаменитого математика, астронома и физика Леонарда Эйлера (1707−1783). За 30 лет работы в Российской Академии наук Эйлер создал большое количество научных 
трудов по математике, механике твердого и упругого тела, гидромеханике и небесной механике. 
Огромное значение для развития механики имеют работы выдающихся российских ученых: М.В. Остроградского (1801−1861), 
П.Л. Чебышева 
(1821−1894), 
С.В. Ковалевской 
(1850−1891), 
А.М. Ляпунова 
(1857−1918), 
И.В. Мещерского 
(1859−1935), 
К.Э. Циолковского 
(1857−1935), 
А.Н. Крылова 
(1863−1945), 
Н.Е. Жуковского (1847−1921), С.А. Чаплыгина (1869−1942) и мно