Организация эксперимента : симплексное планирование

МИНИСТЕРСТВО ОБРАЗОВАНИЯ И НАУКИ РФ 

ФЕДЕРАЛЬНОЕ ГОСУДАРСТВЕННОЕ ОБРАЗОВАТЕЛЬНОЕ УЧРЕЖДЕНИЕ  
ВЫСШЕГО ПРОФЕССИОНАЛЬНОГО ОБРАЗОВАНИЯ  
«НАЦИОНАЛЬНЫЙ ИССЛЕДОВАТЕЛЬСКИЙ ТЕХНОЛОГИЧЕСКИЙ УНИВЕРСИТЕТ «МИСиС» 

 

 
 
 

 

 

 

 
 

 

№ 1987 

Кафедра порошковых материалов и функциональных покрытий

В.Ю. Лопатин 
В.Н. Шуменко 
 

Организация эксперимента

Симплексное планирование 

Учебное пособие 

Рекомендовано редакционно-издательским 
советом университета 

Москва  2010 

УДК 519.2:621.762 
 
Л77 

Р е ц е н з е н т  
д-р техн. наук, проф. В.А. Соколов 

Лопатин, В.Ю. 
Л77  
Организация эксперимента : Симплексное планирование : 
учеб. пособие / В.Ю. Лопатин, В.Н. Шуменко. – М. : Изд. Дом 
МИСиС, 2010. – 46 с. 
ISBN 978-5-87623-404-9 

В учебном пособии рассмотрены различные варианты симплексного планирования, которые используют для изучения влияния состава смеси и для 
нахождения области экстремума. 
Соответствует программе курса «Организация эксперимента». 
Предназначено для обучения бакалавров и магистров по направлению 
150400. 
 

УДК 519.2:621.762 

ISBN 978-5-87623-404-9 
© Лопатин В.Ю., 
Шуменко В.Н., 2010 

ОГЛАВЛЕНИЕ 

Введение....................................................................................................4 
1. Симплексная система координат ........................................................4 
2. Уравнения регрессии для симплексных планов ................................5 
3. Симплекс-решетчатые планы..............................................................8 
4. Симплекс-центроидные планы..........................................................18 
5. D-оптимальные планы........................................................................19 
6. Поиск экстремума на симплексе.......................................................21 
Библиографический список...................................................................38 
Приложение 1..........................................................................................39 
Приложение 2..........................................................................................40 
Приложение 3..........................................................................................41 
 

ВВЕДЕНИЕ 

Возможность аналитического описания зависимостей свойств 
различных материалов от их состава имеет ряд преимуществ перед 
обычно принятыми геометрическими способами представления данных. Прежде всего, отпадает необходимость в пространственном 
представлении сложных поверхностей (особенно при большом количестве компонентов), так как необходимые свойства можно определять расчетным методом. Вместе с тем всегда существует возможность визуализации зависимостей по аналитическим выражениям, 
что обеспечивается современными пакетами программных средств. 

1. СИМПЛЕКСНАЯ СИСТЕМА КООРДИНАТ 

В общем случае симплексом называют простейшую выпуклую 
геометрическую форму, образованную множеством q точек в (q – 1)мерном пространстве и обладающую минимальным количеством 
вершин. Симплекс считается правильным (регулярным), если расстояния между всеми его вершинами одинаковые. Таким образом, 
точка – это нульмерный симплекс, отрезок прямой – одномерный 
симплекс, равносторонний треугольник – правильный двумерный 
симплекс, любой другой треугольник – неправильный двумерный 
симплекс, тетраэдр – правильный трехмерный симплекс и т.д. 
Н.С. Курнаков в одной из своих работ показал [1], что (q – 1)мерный правильный симплекс задает состав системы, состоящей из 
q компонентов (q-мерной системы). Действительно, составы двухкомпонентных сплавов или других материалов определяют с помощью отрезка (одномерного симплекса), трехкомпонентных – с помощью треугольника (двумерного правильного симплекса, четырехкомпонентных – соответственно с помощью тетраэдра (трехмерного 
правильного симплекса). В вершинах симплекса обычно располагают 
чистые компоненты, при этом стороны треугольников и ребра тетраэдров задают составы двухкомпонентных подсистем, стороны тетраэдров – трехкомпонентных подсистем. Следует иметь в виду, что, 
начиная с пятикомпонентных систем, по очевидным причинам визуализация симплексов существенно затрудняется. 
Определение состава материала в любой точке симплекса можно 
проиллюстрировать на примере двумерного правильного симплекса 
(рис. 1). Линии, ограничивающие треугольник, представляют составы соответствующих двухкомпонентных систем. Так, от точки А до 

точки В содержание компонента А последовательно уменьшается, а 
содержание компонента В увеличивается таким образом, что сумма 
этих двух величин составляет единицу или 100 %. В любой точке 
стороны АВ содержание компонента С равно нулю. Аналогичная ситуация для двух других сторон. 

B

A
C
20
40
60
80

C

20

40

60

80

B

20

40

60

80

A

 

Рис. 1. Двухмерный правильный комплекс 

На линии, параллельной стороне АВ, содержание компонента С 
будет одинаковым и тем большим, чем дальше она находится от стороны АВ и ближе к точке , где содержание С максимально.  
Чтобы определить содержание компонента С в точке, отмеченной 
на рис. 1 звездочкой, нужно провести через нее прямую, параллельную стороне АВ. Эта прямая пересечет две другие стороны треугольника в точках с 80 % А, 20 % С и 80 % В, 20 % С соответственно. Отсюда ясно, что в рассматриваемой точке содержание компонента С 
будет 20 %. Аналогично можно найти содержание остальных компонентов. 

2. УРАВНЕНИЯ РЕГРЕССИИ 
ДЛЯ СИМПЛЕКСНЫХ ПЛАНОВ  

Как и в случае полных факторных экспериментов (ПФЭ), дробных факторных экспериментов (ДФЭ), планов второго и более высокого порядка, после проведения опытов строят регрессионные модели, которые обычно представляются как разложение неизвестных 
функции отклика ϕ(x1, x2,…xk) в ряд Тейлора, в тригонометрические 
ряды, в ряды по системам ортогональных полиномов и т.д. Если ис