Теория автоматического управления : линейные системы

МИНИСТЕРСТВО ОБРАЗОВАНИЯ И НАУКИ РФ 

ФЕДЕРАЛЬНОЕ ГОСУДАРСТВЕННОЕ АВТОНОМНОЕ ОБРАЗОВАТЕЛЬНОЕ УЧРЕЖДЕНИЕ  
ВЫСШЕГО ПРОФЕССИОНАЛЬНОГО ОБРАЗОВАНИЯ  
«НАЦИОНАЛЬНЫЙ ИССЛЕДОВАТЕЛЬСКИЙ ТЕХНОЛОГИЧЕСКИЙ УНИВЕРСИТЕТ «МИСиС» 

 

 
 
 

 

 

 

 
 

 

№ 2181 

Кафедра компьютерных информационных и управляющих 
систем автоматики 

З.Г. Салихов 
А.В. Сириченко 

Теория автоматического 
управления 

Линейные системы 

Учебное пособие 

Допущено учебно-методическим объединением по образованию 
в области металлургии в качестве учебного пособия для студентов 
высших учебных заведений, обучающихся по направлению  
Металлургия 

Москва  2012 

УДК 621.77 
 
С16 

Р е ц е н з е н т  
д-р техн. наук, проф. В.А. Косарев 

Салихов, З.Г. 
С16  
Теория автоматического управления : линейные системы  : 
учеб. пособие / З.Г. Салихов, А.В. Сириченко. – М. : Изд. Дом 
МИСиС, 2012. – 84 с. 
ISBN 978-5-87623-632-6 

Учебное пособие включает в себя разделы, содержащие теоретический 
материал и примеры решения типовых задач. В каждый раздел включены задачи для самостоятельной работы и контрольные вопросы. 
Цель пособия – ознакомить студентов с основными методами анализа 
и синтеза аналоговых линейных систем автоматического управления. 
Предназначено для студентов, обучающихся по направлению «Металлургия» по специальности 220301. 

УДК 621.77 

ISBN 978-5-87623-632-6 
© Салихов З.Г., 
Сириченко А.В., 2012 

ОГЛАВЛЕНИЕ 

Предисловие..............................................................................................4 
1. Соединение линейных звеньев. Преобразование структурных  
схем систем управления...........................................................................5 
2. Устойчивость линейных систем управления. Алгебраические  
критерии устойчивости..........................................................................28 
3. Устойчивость линейных систем управления. Частотные  
критерии устойчивости..........................................................................39 
4. Исследование устойчивости линейных систем при помощи  
метода D-разбиения................................................................................55 
5. Качество переходных процессов в линейных системах  
управления ..............................................................................................69 
Библиографический список...................................................................83 
 

ПРЕДИСЛОВИЕ 

Данное пособие помогает овладеть современными методами анализа и синтеза линейных систем автоматического управления, включающими методы преобразования структурных схем, методы оценки 
устойчивости и расчёта показателей качества систем управления. 
Пособие предназначено как для использования при проведении 
практических занятий, так и для самостоятельной работы студентов. 
Материал пособия подразделён на пять частей, в каждой из которых представлены соответствующие основные теоретические положения, приведены примеры решения типовых задач, а также содержатся задачи и вопросы для самостоятельной подготовки. 
 

1. СОЕДИНЕНИЕ ЛИНЕЙНЫХ ЗВЕНЬЕВ. 
ПРЕОБРАЗОВАНИЕ СТРУКТУРНЫХ  
СХЕМ СИСТЕМ УПРАВЛЕНИЯ 

Соединения звеньев бывают трех видов: последовательное, параллельное согласное и параллельное встречное. Рассмотрим каждый 
из видов соединения звеньев и особенности характеристик этих соединений. 

Последовательное соединение звеньев 

При последовательном соединении звеньев выходная величина 
одного звена является входной величиной другого. Если последовательно соединяются звенья i и k, то 

 
.
i
k
y
x
=
 

При последовательном соединении n звеньев (рис. 1.1) с передаточными функциями 
1
2
, 
, 
, 
n
W
W
W
…
 уравнения соединений имеют 
вид 

 
1
i
i
x
y
+ =
 

или 

 
( )
( )
1
.
i
i
X
p
Y
p
+
=
 

 

Рис. 1.1 

Так как для каждого звена 

 
( )
( )
( ),
i
i
i
Y
p
W
p X
p
=
 

то 

 
( )
( )
( )
1
.
i
i
i
X
p
W
p X
p
+
=
 

Составив такие уравнения для всех звеньев и исключив из них все 
промежуточные переменные, кроме входной величины 
( )
( )
1
X p
X
p
=
 

и выходной величины ( )
( )
n
Y p
Y
p
=
, можно получить 

 
( )
( )
( )
( )
( )
1
2
 
 
.
n
Y p
W
p W
p
W
p X p
=
⋅…
  
(1.1) 

Таким образом, передаточная функция системы последовательно 
соединенных звеньев 

 
( )
( )
( )
( )

1

,

r

i
i

Y p
W p
W
p
X p
=
=
=∏
  
(1.2) 

т.е. равна произведению передаточных функций отдельных звеньев. 
При этом модули комплексных коэффициентов перемножаются, а 
аргументы складываются. 
При последовательном соединении минимально-фазовых звеньев полученная система также будет минимально-фазовой, т.е. её передаточная 
функция не имеет ни нулей, ни полюсов в правой полуплоскости. 
Переходная и весовая функции последовательного соединения 
находятся по его передаточной функции и не могут быть получены 
простым суммированием характеристик отдельных звеньев. 
Пример 1.1. Последовательное соединение интегрирующего и 
инерционного звеньев (инерционно-интегрирующее звено). 
Если последовательно соединяются два звена с передаточными 

функциями 
( )
1

1
W
p
p
=
 и 
( )
2
1

k
W
p
pT
= +
, то передаточная функция 

соединения 

 
( )
( )
( )
(
)

1
2
.
1
k
W p
W
p W
p
p
pT
=
=
+
 

Этой системе соответствует двигатель постоянного тока с инерционной нагрузкой на валу, если входной величиной считать напряжение питания якоря, а выходной – угол поворота вала. 
Комплексный коэффициент усиления системы 

 
(
)
(
)
,
1
k
W
j
j
j T
ω = ω
+ ω
 

при 0 < ω < ∞  он описывает годограф, показанный на рис. 1.2, а. 

Рис. 1.2 

Построение этого годографа производится путем умножения соответствующих комплексных значений, найденных для каждой заданной 
частоты по годографам интегрирующего и инерционного звеньев. 
Преобразовав выражение для комплексного коэффициента усиления и выделив действительную и мнимую части, получим 

 
(
)
(
)
(
)

2
2 .

1
1

k
kT
W
j
j
T
T
ω
ω = −
−
+ ω
+ ω
 

Из этого выражения видно, что при 
0
ω →
 комплекс 
(
)
W
jω  уходит в бесконечность, перемещаясь по вертикальной прямой kT , проходящей через точку. Эта прямая является асимптотой для рассматриваемого годографа. 
Аналогично может быть построен и инверсный годограф (рис. 1.2, б). 
Переходная и весовая функции последовательного соединения 
находятся по его передаточной функции и не могут быть получены 
простым суммированием характеристик отдельных звеньев: 

 
( )
(
)
( )
1
0
1
1
1
;
1

t
T
k
h t
L
k t
T
e
t
p
pT
p

−
−
⎡
⎤
⎛
⎞
⎧
⎫
⎪
⎪
=
=
−
−
⎢
⎥
⎜
⎟
⎨
⎬
⎜
⎟
+
⎪
⎪
⎢
⎥
⎩
⎭
⎝
⎠
⎣
⎦
 

( )
( )
0
d
1
1
.
d

t
T
h
w t
k
e
t
t

−
⎛
⎞
=
=
−
⎜
⎟
⎜
⎟
⎝
⎠
 

Эти характеристики показаны на рис. 1.2, в и г. Пунктиром показаны асимптоты 
( )
(
)
ah
t
k t
T
=
−
 и 
a
w
k
=
. 
При последовательном соединении дифференцирующего и инерционного звеньев получается инерционно-дифференцирующее звено, 
а соединение форсирующего и инерционного звеньев дает инерционно-форсирующее звено. 
Пример 1.2. Последовательное соединение двух инерционных звеньев. Передаточная функция двух последовательно соединенных звеньев с 

передаточными функциями 
( )
1
1

1
1

k
W
p
pT
= +
 и 
( )
2
2

2
1
k
W
p
pT
= +
 имеет вид 

 
( )
( )
( )
(
)(
)

1 2
1
2
1
2

.
1
1
k k
W p
W
p W
p
pT
pT
=
=
+
+
 

Комплексный коэффициент усиления 

 
(
)
(
)(
)
1
2

,
1
1
k
W
j
j T
j T
ω =
+ ω
+ ω
 

где 
1 2
k
k k
=
. 
Полученные уравнения совпадают с уравнением колебательного 
звена для 
1
ζ ≥ . 
Частотные характеристики такого соединения звеньев показаны на 
рис. 1.3. Годограф комплексного коэффициента усиления (рис. 1.3, а) 
имеет такой же вид, как и для колебательного звена, однако точка пересечения его с мнимой осью лежит ближе к началу координат. 
Инверсный годограф (рис. 1.3, б) тоже имеет такой же вид, как и 
для колебательного звена. 
По передаточной функции находятся переходная и весовая функции 

 
( )
( )

1
2
1
2
0
1
2

1
1
;

t
t
T
T
T e
T e
h t
k
t
T
T

−
−
⎡
⎤
⎢
⎥
−
=
−
⎢
⎥
−
⎢
⎥
⎣
⎦

 

 
( )
( )
1
2
0
1
2

1
.

t
t
T
T
k
w t
e
e
t
T
T

−
−
⎛
⎞
⎜
⎟
=
−
⎜
⎟
−
⎝
⎠
 

Рис. 1.3 

При 
1
2
T
T
=
 или 
1
ζ =  решение получаем путём предельного уст
ремления 
2
1
T
T
→
 и раскрытия неопределённости типа 0

0 . В этом 

случае 

 
( )
( )
1
0
1
1
1
1

t
T
t
h t
k
e
t
T

−
⎡
⎤
⎛
⎞
⎢
⎥
=
−
+
⎜
⎟
⎢
⎥
⎝
⎠
⎣
⎦
 

и 

 
( )
( )
1
0
2
1

1
.

t
T
k
w t
te
t

T

−
=
 

Если 
2
0
T →
, то система вырождается в одно инерционное звено с 
постоянной времени 
1T . 
При 
2
1
0
T
T
<
<
 переходные и весовые функции лежат в промежуточной области между кривыми, полученными для 
2
0
T =
 и 
2
1
T
T
=
, 
(рис. 1.3, в, г).