Инженерная компьютерная графика : методика решения проекционных задач с применением 3D-моделирования

МИНИСТЕРСТВО ОБРАЗОВАНИЯ И НАУКИ РФ 

ФЕДЕРАЛЬНОЕ ГОСУДАРСТВЕННОЕ АВТОНОМНОЕ ОБРАЗОВАТЕЛЬНОЕ УЧРЕЖДЕНИЕ  
ВЫСШЕГО ОБРАЗОВАНИЯ  
«НАЦИОНАЛЬНЫЙ ИССЛЕДОВАТЕЛЬСКИЙ ТЕХНОЛОГИЧЕСКИЙ УНИВЕРСИТЕТ «МИСиС» 

 

 
 
 

 

 

 

 
 

 

№ 2403 

Кафедра инженерной графики и дизайна

М.В. Лейкова 
И.В. Бычкова 
 

Инженерная компьютерная 
графика 

Методика решения проекционных 
задач с применением 3D-моделирования 

Учебное пособие 

Рекомендовано редакционно-издательским 
советом университета 

Москва  2016 

УДК 514 
 
Л42 

Р е ц е н з е н т  
д-р техн. наук, проф. Н.А. Чиченёв 

Лейкова М.В. 
Л42  
Инженерная компьютерная графика : методика решения 
проекционных задач с применением 3D-моделирования : учеб. 
пособие / М.В. Лейкова, И.В. Бычкова. – М. : Изд. Дом МИСиС, 
2016. – 92 с. 
ISBN 978-5-87623-983-9 

Пособие содержит краткое изложение теории, подробный разбор решения типовых задач по начертательной геометрии и обеспечивает подготовку 
студентов к практическим занятиям и контрольным мероприятиям. Задачи 
систематизированы и подобраны в порядке возрастающей сложности. Приведены последовательность действий и приемы моделирования отдельных 
задач с помощью графического пакета КОМПАС, а также построения на основе полученных 3D-моделей соответствующих чертежей. Учебное пособие 
содержит тесты в виде чертежей и вопросов к ним с различными вариантами 
ответов, один из которых является правильным. Варианты ответов составлены таким образом, что способствует правильной последовательности чтения 
чертежа. Даны ответы и критерии оценки знаний по ним. 
Пособие соответствует программе курса  инженерной компьютерной 
графики НИТУ «МИСиС». 
Предназначено для студентов всех специальностей, изучающих  курс инженерной компьютерной графики. 

УДК 514 

 
 
ISBN 978-5-87623-983-9 

 М.В. Лейкова,  
И.В. Бычкова, 2016 
 НИТУ «МИСиС», 2016 

ОГЛАВЛЕНИЕ 

Предисловие .......................................................................................... 5 
1. Ортогональное проецирование. Точка. Прямая. Плоскость ......... 6 
1.1. Проецирование точек и прямых ............................................... 6 
1.2. Определение длины отрезка прямой общего положения 
и углов наклона его к плоскостям проекций ................................. 10 
1.3. Взаимное расположение прямых в пространстве ................... 14 
1.4. Плоскость ................................................................................... 17 
2. Поверхности. Точка на поверхности .............................................. 22 
3. Пересечение поверхности плоскостью ........................................... 32 
3.1. Взаимное пересечение плоскостей .......................................... 32 
3.2. Сечение поверхности призмы плоскостью ............................. 35 
3.3. Сечение поверхности пирамиды плоскостью ......................... 38 
3.4. Сечение цилиндрической поверхности плоскостью .............. 42 
3.5. Сечение конической поверхности плоскостью ...................... 46 
3.6. Сечение сферы плоскостью ...................................................... 49 
3.7. Сечение поверхности тора плоскостью ................................... 51 
4. Пересечение поверхностей .............................................................. 54 
4.1. Пересечение многогранников .................................................. 54 
4.2. Пересечение гранной и кривой поверхностей ........................ 55 
4.3. Взаимное пересечение поверхностей вращения ..................... 57 
4.4. Способ вспомогательных секущих плоскостей ...................... 57 
4.5. Способ вспомогательных секущих сфер ................................. 59 
4.6. Частные случаи пересечения поверхностей вращения .......... 66 
5. Аксонометрические проекции ......................................................... 68 
5.1. Аксонометрия точки .................................................................. 68 
5.2. Аксонометрия плоских фигур .................................................. 69 
5.3. Аксонометрия окружностей, параллельных 
плоскостям проекций ....................................................................... 70 
Тесты ...................................................................................................... 74 
1. Точка, прямая ................................................................................ 74 
2. Точка, прямая, плоскость ............................................................. 76 
3. Точки и линии на поверхностях .................................................. 78 
4. Пересечение поверхностей плоскостями частного 
положения ......................................................................................... 80 
5. Аксонометрические проекции ..................................................... 82 
6. Способ секущих плоскостей ........................................................ 84 
7. Способ секущих концентрических сфер .................................... 86 

8. Виды, разрезы, сечения ................................................................ 88 
Ответы на тесты ................................................................................ 90 
Критерии оценок ............................................................................... 90 
Библиографический список ................................................................. 91 
 

ПРЕДИСЛОВИЕ 

Курс инженерной компьютерной графики, изучаемый наряду с 
другими общеобразовательными, общетехническими и специальными дисциплинами, призван подготовить будущего бакалавра к практической деятельности. Курс дает студентам общую графическую 
подготовку, необходимую для выполнения и чтения чертежей и других конструкторских документов, основанных на компьютерном 3Dмоделировании.  
Компетенции в составлении и чтении чертежей необходимы студентам в процессе обучения для успешного овладевания базовыми и 
специальными дисциплинами. Программой курса предусмотрены 
изучение теоретических основ образования чертежа, важнейших положений государственных стандартов Единой системы конструкторской документации (ЕСКД) и выполнение индивидуальных графических заданий. В ходе выполнения индивидуальных графических заданий не только приобретаются определенные компетенции, но и 
развивается пространственное мышление. 
Данное пособие посвящено первой части курса – основам образования чертежа, правилам выполнения изображений на основе методов начертательной геометрии и приемам моделирования с помощью 
графического пакета КОМПАС. В пособии дается краткое изложение 
теории и приводятся методические указания по рациональному решению проекционных задач. Особенностью изложения материала 
является одновременное задание геометрических образов на комплексном и аксонометрическом чертежах с применением компьютерного 3D-моделирования. 

1. ОРТОГОНАЛЬНОЕ ПРОЕЦИРОВАНИЕ. 
ТОЧКА. ПРЯМАЯ. ПЛОСКОСТЬ 

1.1. Проецирование точек и прямых 

Любая точка, лежащая в горизонтальной плоскости проекций, имеет свою фронтальную проекцию на оси проекций ОХ, а свою профильную проекцию на оси проекций OY (рис. 1.1, точки А1, А2, А3). 

 

Рис. 1.1 

Любая точка, лежащая во фронтальной плоскости проекций, имеет свою горизонтальную проекцию на оси проекций ОХ, а свою профильную проекцию на оси OZ (рис. 1.1, точки В1, В2, В3). 
Любая точка, лежащая в профильной плоскости проекций, имеет 
свою горизонтальную проекцию на оси проекций OY, а свою фронтальную проекцию на оси OZ (рис. 1.1, точки С1, С2, С3). 
Абсцисса – расстояние X (рис. 1.2) от горизонтальной проекции 
точки до оси проекций ОY (А1Аy) или от фронтальной проекции точки до оси проекций OZ (A2AZ), равное расстоянию от самой точки до 
профильной плоскости проекций. 
Ордината – расстояние Y (см. рис. 1.2) от горизонтальной проекции точки до оси проекций ОХ (А1АX) или от профильной проекции 
точки до оси проекций OZ (A3AZ), равное расстоянию от самой точки 
до фронтальной плоскости проекций. 

О

Рис. 1.2 

Аппликата – расстояние Z (см. рис. 1.2) от фронтальной проекции 
точки до оси проекций ОХ (А2АX) или профильной проекции точки до 
оси проекций ОY (А3АY), равное расстоянию от самой точки до горизонтальной плоскости проекций. 
Если прямая параллельна горизонтальной плоскости проекций, то 
фронтальная проекция прямой параллельна оси проекций ОХ, а ее горизонтальная проекция образует с осью проекций некоторый угол β. 
Если прямая параллельна фронтальной плоскости проекций, то горизонтальная проекция прямой параллельна оси проекций ОХ, а фронтальная ее проекция образует с осью проекций некоторый угол α. 
Если прямая параллельна оси проекций ОХ, то обе проекции прямой (горизонтальная и фронтальная) параллельны оси проекций. 
Если прямая расположена в плоскости, перпендикулярной оси 
проекций ОХ (профильная прямая), то горизонтальная и фронтальная 
проекции прямой лежат на общем перпендикуляре к оси проекций 
ОХ, а профильная ее проекция образует с осью проекций OZ некоторый угол. 
Если прямая перпендикулярна горизонтальной плоскости проекций (горизонтально-проецирующая прямая), то горизонтальная проекция прямой – точка, а фронтальная ее проекция – прямая, перпендикулярная оси проекций ОХ. 
Если прямая перпендикулярна фронтальной плоскости проекций 
(фронтально-проецирующая прямая), то фронтальная проекция пря

мой – точка, а горизонтальная ее проекция - прямая, перпендикулярная оси проекций ОХ. 

Пример 1 
Построить чертеж точки А, удаленной от горизонтальной плоскости 
проекций на 25 мм, а от фронтальной плоскости проекций на 23 мм 
(рис. 1.3). 

 

Рис. 1.3 

Решение. На оси проекций задаем произвольную точку АХ (см. 
рис. 1.3). Через Ах проводим перпендикулярно оси проекций прямую 
линию (линию связи). Обе проекции (А1, А2) искомой точки А будут 
лежать на линии связи. Чтобы выдержать на комплексном чертеже 
заданное расстояние от точки до плоскостей проекций П1, и П2, 
необходимо на линии связи отложить вниз от точки АХ отрезок длиной 23 мм и зафиксировать горизонтальную проекцию точки (А1), а 
затем отложить вверх отрезок длиной 25 мм и зафиксировать фронтальную проекцию точки (А2). 

Пример 2 
Заданы фронтальная проекция отрезка АВ (А2В2) и горизонтальная 
проекция точки В (В1). Построить горизонтальную проекцию отрезка 
АВ, зная, что точка А находится от плоскости проекций П2 на 20 мм 
дальше, чем точка В (рис. 1.4). 
Решение. Из фронтальной проекции точки А (А2) проводим линию связи. На линии связи от оси проекций (АХ) откладываем отрезок, равный (ВХВ1 + 20 мм). Соединив (А1) и (В1) прямой, получим 
искомую проекцию (А1В1) отрезка АВ. 

Рис. 1.4 

Пример 3 
Проверить, принадлежат ли точки А, В, С, D прямой т (рис. 1.5). 

 

Рис. 1.5 

Решение. Проекции точки А (А1, А2) лежат на одноименных проекциях прямой (m1m2) следовательно, точка А лежит на прямой. Проекции точки В (В1, В2) находятся на разноименных проекциях прямой 
(m1m2), следовательно, точка В не принадлежит прямой т. Также не 
принадлежат прямой т точки С и D. 

Пример 4 
Проверить, принадлежит ли точка С отрезку АВ (рис. 1.6). 
Решение. Так как проходящая через отрезок АВ прямая является 
профильной, необходимо дополнительно проверить взаимное поло

жение профильной проекции точки и профильной проекции отрезка. 
Построив профильные проекции отрезка и точки, видим, что профильная проекция точки не лежит на профильной проекции отрезка. 
Следовательно, точка С на отрезке АВ не лежит. 

 

Рис. 1.6 

1.2. Определение длины отрезка прямой общего 
положения и углов наклона его к плоскостям проекций 

Отрезок прямой, расположенный в пространстве параллельно какой-либо плоскости проекций, проецируется на эту плоскость в 
натуральную величину (т.е. без искажения). 
Если отрезок параллелен горизонтальной плоскости проекций, то угол 
между горизонтальной проекцией этого отрезка и осью проекций ОХ равен углу наклона этого отрезка к фронтальной плоскости проекций. 
Если отрезок параллелен фронтальной плоскости проекций, то угол 
между фронтальной проекцией этого отрезка и осью проекций ОХ равен 
углу наклона самого отрезка к горизонтальной плоскости проекций. 
Рассмотрим два способа определения длины отрезка прямой общего положения. 
Способ прямоугольного треугольника. Зная проекции отрезка 
прямой, его длину можно определить по гипотенузе прямоугольного 
треугольника. В этом прямоугольном треугольнике одним из катетов 

является одна из проекций данного отрезка, а другим – разность расстояний от концов отрезка до этой плоскости проекций. 
В треугольнике, построенном на горизонтальной плоскости проекций, угол между катетом (горизонтальной проекцией отрезка) и гипотенузой (действительной величиной отрезка) равен углу наклона самого 
отрезка к горизонтальной плоскости проекций. Угол наклона к П1 обозначим α. 
В треугольнике, построенном на фронтальной плоскости проекций, 
угол между катетом (фронтальной проекцией отрезка) и гипотенузой 
(его действительной величиной) равен углу наклона самого отрезка к 
фронтальной плоскости проекций. Угол наклона к П2 обозначим β. 
Способ перемены плоскостей проекций. Сущность этого способа состоит в том, что одна из основных плоскостей проекций П1 или 
П2 заменяется на дополнительную плоскость проекций П4 или П5, 
параллельную отрезку прямой. При этом дополнительная плоскость 
проекций располагается перпендикулярно незаменяемой основной 
плоскости проекций. Таким образом, отрезок прямой общего положения в системе плоскостей проекций П1, П4 или П4, П5 будет занимать положение отрезка прямой уровня. 

Пример 5 
Провести через точку С прямую b, параллельную горизонтальной 
плоскости проекций и составляющую с фронтальной плоскостью 
проекций угол, равный 45° (рис. 1.7). 

 

Рис. 1.7 

Решение. Так как искомая прямая b параллельна горизонтальной 
плоскости проекций, то ее фронтальная проекция должна быть параллельна оси проекций. Для того чтобы прямая составляла с фронтальной плоскостью проекций угол 45°, необходимо, чтобы ее горизонтальная проекция составляла с осью проекций угол 45°. Проводим через (С2) фронтальную проекцию прямой (b2), параллельно оси 
проекций, а через (С1) горизонтальную проекцию прямой (b1) под 
углом 45° к оси проекций. 

Пример 6 
Определить длину отрезка АВ и угол наклона β этого отрезка к 
фронтальной плоскости проекций (рис. 1.8). 

 

Рис. 1.8 

Решение. Так как нужно определить угол β, строим на плоскости П2 
прямоугольный треугольник. За один катет принимаем фронтальную 
проекцию отрезка (А2В2), а за другой катет – отрезок, длина которого 
∆Y = (В1ВХ – А1АХ). Гипотенуза этого прямоугольного треугольника дает 
нам натуральную величину отрезка АВ. Угол β является углом наклона 
этого отрезка к фронтальной плоскости проекций. 

Пример 7 
Построить фронтальную проекцию отрезка АВ, если угол наклона 
его к горизонтальной плоскости проекций α равен 30° (рис. 1.9, а). 
Решение. Нам известен угол α, следовательно, нужно заменить 
плоскость проекций П2 на дополнительную плоскость проекций П4 
(рис. 1.9, б). Плоскость П4 должна быть параллельна отрезку АВ и