Инженерная графика : методика решения позиционных и метрических задач по начертательной геометрии

ФЕДЕРАЛЬНОЕ АГЕНТСТВО ПО ОБРАЗОВАНИЮ 

№ 893 
ГОСУДАРСТВЕННЫЙ ТЕХНОЛОГИЧЕСКИЙ УНИВЕРСИТЕТ 
м о с к о в с к и й ИНСТИТУТ СТАЛИ 

И СПЛАВОВ 

МИСиС 

Кафедра инженерной графики 

Инженерная графика 

Методика решения 

позиционных и метрических задач 

по начертательной геометрии 

Учебно-методическое пособие 

Рекомендовано редакционно-издательским 
советом университета 

Москва Издательство ´УЧЕБАª 2007 

УДК 744.4 
И62 

Р е ц е н з е н т 
канд. техн. наук, доц. И.В. Барышева 

Авторы: М.В. Лейкова, В.А. Маклакова, И.М. Фролов, Ю.П. Чумаков 

Инженерная графика. Методика решения позиционных и метрических задач по 
И62 начертательной геометрии: Учеб.-метод. пособие / М.В. Лейкова, В.А. Маклакова, 
И.М. Фролов, Ю.П. Чумаков. – М.: МИСиС, 2007. – 64 с. 

Пособие содержит краткое изложение теории, подробный разбор решения типовых задач по начертательной геометрии, согласно учебной программе, и обеспечивает подготовку студентов к практическим занятиям и контрольным мероприятиям. Задачи систематизированы и подобраны в порядке возрастающей сложности. 

Решение последующих задач логически вытекает из предыдущих и обеспечивает глубокое изучение 
курса. 

Пособие соответствует государственным образовательным программам по инженерной графике и 
начертательной геометрии. 

Предназначено для студентов всех специальностей, изучающих курс инженерной графики. 

© Московский государственный институт 
стали и сплавов (технологический 
университет) (МИСиС), 2007 

ОГЛАВЛЕНИЕ 

ВВЕДЕНИЕ 
4 

1. ОРТОГОНАЛЬНОЕ ПРОЕЦИРОВАНИЕ 
5 

1.1. Проецирование точек и прямых 
5 

1.2. Определение длины отрезка прямой общего положения и углов наклона его к 
плоскостям проекций 
7 

1.3. Взаимное расположение прямых в пространстве 
11 

1.4. Проецирование плоских углов 
11 

1.5. Плоскость 
17 

2. ПОВЕРХНОСТИ. ТОЧКА НА ПОВЕРХНОСТИ 
21 

3. ПЕРЕСЕЧЕНИЕ ПОВЕРХНОСТИ ПЛОСКОСТЬЮ 
29 

3.1. Взаимное пересечение плоскостей 
29 

3.2. Сечение поверхности призмы плоскостью 
31 

3.3. Сечение поверхности пирамиды плоскостью 
34 

3.4. Сечение цилиндрической поверхности плоскостью 
36 

3.5. Сечение конической поверхности плоскостью 
39 

3.6. Сечение сферы плоскостью 
42 

3.7. Сечение поверхности тора плоскостью 
44 

4. ПЕРЕСЕЧЕНИЕ ПРЯМОЙ С ПОВЕРХНОСТЬЮ 
45 

5. ПЕРЕСЕЧЕНИЕ ПОВЕРХНОСТЕЙ 
49 

5.1. Пересечение многогранников 
49 

5.2. Пересечение гранной и кривой поверхностей 
49 

5.3. Взаимное пересечение поверхностей вращения 
52 

5.4. Способ вспомогательных секущих плоскостей 
52 

5.5. Способ вспомогательных секущих сфер 
52 

5.6. Частные случаи пересечения поверхностей вращения 
56 

6. АКСОНОМЕТРИЧЕСКИЕ ПРОЕКЦИИ 
58 

6.1. Аксонометрия точки 
58 

6.2. Аксонометрия плоских фигур 
58 

6.3. Аксонометрия окружностей, пapaллeльныx плоскостям проекций 
58 

БИБЛИОГРАФИЧЕСКИЙ СПИСОК 
64 

3 

ВВЕДЕНИЕ 

Курс инженерной графики, изучаемый наряду с другими общеобразовательными, общетехническими и специальными дисциплинами, призван подготовить будущего инженера к 
практической деятельности. Курс дает студентам общую графическую подготовку, необходимую для выполнения и чтения чертежей и других конструкторских документов. Компетенции 
в составлении и чтении чертежей необходимы студентам в процессе обучения для успешного 
овладевания специальными дисциплинами. Программой курса предусмотрены изучение теоретических основ образования чертежа, важнейших положений государственных стандартов Единой системы конструкторской документации (ЕСКД) и выполнение индивидуальных 
графических заданий. В ходе выполнения индивидуальных графических заданий не только 
приобретаются определенные компетенции, но и развивается пространственное мышление 
– качество, необходимое для практической деятельности инженера. В пособии дается краткое изложение теории и приводятся указания по рациональному решению графических задач. Методические указания знакомят студентов с методами решения позиционных и метрических задач по начертательной геометрии. На основании многолетнего опыта проведения 
занятий по инженерной графике со студентами авторы рекомендуют следующий порядок работы над курсом: 

• изучить теорию соответствующего раздела по учебнику, конспекту лекций; 
• прочитать краткое изложение основных положений теории в соответствующем разделе 
данного пособия; 

• придерживаясь текста, проделать все построения по примерам, приведенным в пособии; 
• приступить к самостоятельному решению задач. 
Пособие предназначено для студентов всех специальностей, изучающих курс инженерной 
графики. 

4 

1. ОРТОГОНАЛЬНОЕ ПРОЕЦИРОВАНИЕ 

1.1. Проецирование точек и прямых 

Любая точка, лежащая в горизонтальной плоскости проекций, имеет свою фронтальную проекцию на оси проекций ОХ, а свою профильную проекцию на оси проекций ОY (рис. 1, т. А). 

Любая точка, лежащая во фронтальной плоскости проекций, имеет свою горизонтальную 
проекцию на оси проекций ОХ, а свою профильную проекцию на оси ОZ (рис. 1, т. В). 

Любая точка, лежащая в профильной плоскости проекций, имеет свою горизонтальную 
проекцию на оси проекций ОY, а свою фронтальную проекцию на оси ОZ (рис. 1, т. С). 

Абсцисса – расстояние X (рис. 2) от горизонтальной проекции точки до оси проекций 
ОY (А1АY) или от фронтальной проекции точки до оси проекций ОZ (A2AZ), равное расстоянию от самой точки до профильной плоскости проекций. 

Ордината – расстояние Y (рис. 2) от горизонтальной проекции точки до оси проекций 
ОХ (А1АX) или от профильной проекции точки до оси проекций ОZ (А3АZ), равное расстоянию 
от самой точки до фронтальной плоскости проекций. 

Аппликата – расстояние Z (рис. 2) от фронтальной проекции точки до оси проекций 
ОX (А2АX) или профильной проекции точки до оси проекций ОY (А3АY), равное расстоянию 
от самой точки до горизонтальной плоскости проекций. 

Если прямая параллельна горизонтальной плоскости проекций, то фронтальная проекция 
прямой параллельна оси проекций ОХ, а ее горизонтальная проекция образует с осью проекций некоторый угол β. 

Если прямая параллельна фронтальной плоскости проекций, то горизонтальная проекция 
прямой параллельна оси проекций ОХ, а фронтальная ее проекция образует с осью проекций 
некоторый угол α. 

Если прямая параллельна оси проекций ОХ, то обе проекции прямой (горизонтальная и 
фронтальная) параллельны оси проекций. 

Если прямая расположена в плоскости, перпендикулярной оси проекций ОХ (профильная 
прямая), то горизонтальная и фронтальная проекции прямой лежат на общем перпендикуляре к оси проекций ОХ, а профильная ее проекция образует с осью проекций ОZ некоторый 
угол. 

Если прямая перпендикулярна горизонтальной плоскости проекций (горизонтально-проецирующая прямая), то горизонтальная проекция прямой – точка, а фронтальная ее проекция – прямая, перпендикулярная оси проекций ОХ. 

Если прямая перпендикулярна фронтальной плоскости проекций (фронтально-проецирующая прямая), то фронтальная проекция прямой – точка, а горизонтальная ее проекция – 
прямая, перпендикулярная оси проекций ОХ. 

Пример 1 
Построить чертеж точки А, удаленной от горизонтальной плоскости проекций на 25 мм, а 
от фронтальной плоскости проекций на 23 мм (рис. 3). 

Решение. На оси проекций задаем произвольную точку АХ (рис. 3). Через АХ проводим 
перпендикулярно оси проекций прямую линию (линию связи). Обе проекции (A1,А2) искомой точки А будут лежать на линии связи. Чтобы выдержать на комплексном чертеже заданное расстояние от точки до плоскостей проекций П1 и П2, необходимо на линии связи 
отложить вниз от точки АХ отрезок длиной 23 мм и зафиксировать горизонтальную проекцию точки (А1), а затем отложить вверх отрезок длиной 25 мм и зафиксировать фронтальную проекцию точки (A2). 

5 

Y 

Рис. 

' 
Ax 

< 

Ai 

5^2 

5 

AY 

^^ 
с 

0 

Y 

) А з 

Ay 
Y 
X 

Рис. 2 
Puc.3 

6 

Пример 2 
Заданы фронтальная проекция отрезка АВ (А2В2) и горизонтальная проекция точки В (B1). 
Построить горизонтальную проекцию отрезка АВ, зная, что точка А находится от плоскости 
проекций П2 на 20 мм дальше, чем точка В (рис. 4). 

Решение. Из фронтальной проекции точки А (А2) проводим линию связи. На линии связи 
от оси проекций (АХ) откладываем отрезок, равный (BХВ1 + 20 мм). Соединив (A1) и (B1) прямой, получим искомую проекцию (А1В1) отрезка АВ. 

Пример 3 
Проверить, принадлежат ли точки А, В, С, D прямой m (рис. 5)? 
Решение. Проекции точки A (A1,А2) лежат на одноименных проекциях прямой (m1m2), следовательно, точка А лежит на прямой. Проекции точки В (В1,В2) находятся на разноименных 
проекциях прямой (m1m2), следовательно, точка В не принадлежит прямой m. Также не принадлежат прямой m точки С и D. 

Пример 4 
Принадлежит ли точка С отрезку АВ (рис. 6)? 
Решение. Так как проходящая через отрезок АВ прямая является профильной, необходимо дополнительно проверить взаимное положение профильной проекции точки и профильной проекции 
отрезка. Построив профильные проекции отрезка и точки, видим, что профильная проекция точки 
не лежит на профильной проекции отрезка. Следовательно, точка С на отрезке АВ не лежит. 

1.2. Определение длины отрезка прямой общего положения 
и углов наклона его к плоскостям проекций 

Отрезок прямой, расположенный в пространстве параллельно какой-либо плоскости проекций, проецируется на эту плоскость в натуральную величину (т.е. без искажения). 

Если отрезок параллелен горизонтальной плоскости проекций, то угол между горизонтальной проекцией этого отрезка и осью проекций ОХ равен углу наклона этого отрезка к 
фронтальной плоскости проекций. 

Если отрезок параллелен фронтальной плоскости проекций, то угол между фронтальной 
проекцией этого отрезка и осью проекций ОХ равен углу наклона самого отрезка к горизонтальной плоскости проекций. 

Рассмотрим два способа определения длины отрезка прямой общего положения. 
Способ прямоугольного треугольника. Зная проекции отрезка прямой, его длину можно 
определить по гипотенузе прямоугольного треугольника. В этом прямоугольном треугольнике одним из катетов является одна из проекций данного отрезка, а другим – разность расстояний от концов отрезка до этой плоскости проекций. 

В треугольнике, построенном на горизонтальной плоскости проекций, угол между катетом (горизонтальной проекцией отрезка) и гипотенузой (действительной величиной отрезка) равен углу наклона самого отрезка к горизонтальной плоскости проекций. Угол наклона 
к П1 обозначим буквой α. 

В треугольнике, построенном на фронтальной плоскости проекций, угол между катетом 
(фронтальной проекцией отрезка) и гипотенузой (его действительной величиной) равен углу 
наклона самого отрезка к фронтальной плоскости проекций. Угол наклона к П2 обозначим β. 

Способ перемены плоскостей проекций. Сущность этого способа состоит в том, что одна 
из основных плоскостей проекций П1 или П2 заменяется на дополнительную плоскость проекций П4 или П5, параллельную отрезку прямой. При этом дополнительная плоскость проекций располагается перпендикулярно незаменяемой основной плоскости проекций. Таким 
образом, отрезок прямой общего положения в системе плоскостей проекций П1,П4 или П4,П5 
будет занимать положение отрезка прямой уровня. 

7