Теоретическая механика : cтатика и кинематика

№ 814

ФЕДЕРАЛЬНОЕ АГЕНТСТВО ПО ОБРАЗОВАНИЮ

Кафедра теоретической механики и сопротивления
материалов

В.Н. Шинкин

Теоретическая механика

Статика и кинематика

Курс лекций

Рекомендовано редакционноиздательским
советом университета

Москва  Издательство ´УЧЕБАª
2008

УДК 531 
 
Ш62 

Р е ц е н з е н т  
д-р техн. наук, проф. Б.А. Романцев 

Шинкин В.Н. 
Ш62  
Теоретическая механика. Статика и кинематика: Курс лекций. – М.: МИСиС, 2008. – 85 с. 

В курсе лекций рассмотрены основные теоретические и практические вопросы статики и кинематики точки и твердого тела при различных формах 
движения. 
Курс лекций предназначен для студентов, обучающихся по специальности 150100 «Металлургия». 

© Государственный технологический  
университет «Московский институт 
стали и сплавов» (МИСиС), 2008 

ОГЛАВЛЕНИЕ 

Введение....................................................................................................5 
Статика ......................................................................................................7 
1. Основные понятия статики..................................................................7 
1.1. Главный вектор системы сил........................................................7 
1.2. Момент силы относительно точки и оси.....................................8 
1.3. Теорема Пуансо. Условия равновесия системы сил.................11 
1.4. Аксиомы статики.........................................................................12 
1.5. Опоры и их реакции ....................................................................14 
2. Система сходящихся сил ...................................................................21 
3. Теория пар...........................................................................................23 
3.1. Сложение параллельных сил......................................................23 
3.2. Теорема Вариньона .....................................................................25 
3.3. Сложение пар сил, лежащих в параллельных плоскостях.......26 
3.4. Сложение пар сил, лежащих в пересекающихся 
плоскостях...........................................................................................28 
4. Основная теорема статики (теорема Пуансо) ..................................30 
4.1. Теорема Пуансо ...........................................................................30 
4.2. Приведение к простейшему виду плоской системы сил..........31 
4.3. Приведение к простейшему виду пространственной 
системы сил.........................................................................................32 
5. Центр параллельных сил и центр тяжести.......................................35 
5.1. Центр параллельных сил.............................................................35 
5.2. Центр тяжести тела......................................................................36 
5.3. Центр тяжести оболочки (поверхности)....................................37 
5.4. Центр тяжести бруса (стержня)..................................................38 
5.5. Методы нахождения центра тяжести.........................................39 
5.6. Центры тяжести простейших фигур ..........................................39 
Вопросы для самоконтроля по статике ................................................44 
Кинематика..............................................................................................48 
6. Основные понятия кинематики.........................................................48 
6.1. 
Декартова 
прямолинейная 
система 
координат. 
Абсолютная скорость и ускорение точки.........................................48 
6.2. Цилиндрическая система координат .........................................49 
6.3. Полярная система координат......................................................50 
6.4. Сферическая система координат. Угловая скорость  
и ускорение твердого тела .................................................................50 
7. Сложное движение точки. Теорема Кориолиса...............................52 

7.1. Угловая скорость при вращательном движении тела ..............52 
7.2. Локальная производная вектора в подвижной системе 
координат ............................................................................................54 
7.3. Сложное движение точки ...........................................................56 
7.4. Теорема Кориолиса .....................................................................57 
8. Простейшие движения твердого тела...............................................62 
8.1. Поступательное движение твердого тела..................................62 
8.2. Вращательное движение твердого тела.....................................63 
8.3. Сферическое движение твердого тела.......................................64 
8.4. Плоскопараллельное движение твердого тела..........................66 
8.5. Мгновенные центры скоростей и ускорений при плоском 
движении твердого тела.....................................................................67 
Вопросы для самоконтроля по кинематике .........................................70 
9. Краткий курс статики и кинематики ................................................73 
9.1. Краткий курс статики..................................................................73 
9.2. Краткий курс кинематики...........................................................77 
9.3. Вопросы и ответы по статике и кинематике.............................81 
Библиографический список...................................................................84 
 

ВВЕДЕНИЕ 

Механика является одной из древнейших наук, возникновение и 
развитие которой обусловлено потребностями практики. Так, начало 
развития механики было тесно связано с развитием земледелия (поднимание воды для орошения земельных участков в Египте), с ростом 
городов, возведением крупных построек, развитием ремесел и мореплаванием. Уже при постройке египетских пирамид применялись 
простейшие механические приспособления: рычаги, блоки и наклонная плоскость. Однако, хотя в древние времена человечество обладало некоторыми эмпирическими знаниями по механике, потребовался 
значительный многовековой период времени для того, чтобы установить основные законы механики и заложить фундамент этой науки. 
Основоположником механики как науки является знаменитый 
древнегреческий ученый Архимед (287−212 гг. до н.э.). Он дал точное решение задачи о равновесии сил, приложенных к рычагу, создал 
учение о центре тяжести тел, открыл и сформулировал закон о гидростатическом давлении жидкости на погруженное в нее тело (закон 
Архимеда). 
На первой стадии развития механики, от древнего мира до XIV в., 
в результате изучения простейших машин создается учение о силах. 
Но быстрое и успешное развитие механики начинается лишь с эпохи 
Возрождения, когда были созданы благоприятные условия для развития науки и техники и заложены основы для мировой торговли и 
перехода ремесла в мануфактуру, которая послужила исходным 
пунктом для современной крупной промышленности. В этот период 
для решения практических задач требуются исследования движения 
тел и на основе накопленного за четыре столетия опыта к концу XVII в. 
создаются основы механики материальных тел. 
Блестящим представителем эпохи Возрождения является гениальный итальянский художник, физик, механик и инженер Леонардо да 
Винчи (1451−1519). В области механики он изучил движение падающего тела, движение тела по наклонной плоскости, явление трения и ввел понятие момента силы. 
Зарождение небесной механики (науки о движении небесных тел) связано с великим открытием Николая Коперника (1473−1543) − создателя 
гелиоцентрической системы мира, сменившей геоцентрическую систему 
Птолемея. Это открытие произвело переворот в научном мировоззрении 
той эпохи и освободило естествознание от теологии. На основании учения Коперника и астрономических наблюдений Кеплер (1571−1630) 
сформулировал три закона движения планет. 

Создание основ динамики принадлежит великим ученым − итальянцу Галилео Галилею (1564−1842) и англичанину Исааку Ньютону (1643−1727), открывшему всемирный закон тяготения. В знаменитом сочинении «Математические начала натуральной философии» 
(1687 г.) Ньютон в систематическом виде изложил основные законы 
классической механики. 
XVIII в. характеризовался разработкой общих принципов классической механики и важнейшими исследованиями по механике твердого тела, гидродинамике и небесной механике. Наиболее крупными 
зарубежными учеными XVIII и XIX вв. в области механики являются 
Иван Бернулли (1667−1748), Даниил Бернулли (1700−1782), Д'Аламбер 
(1717−1783), Лагранж (1736−1813). В работах французских ученых 
Вариньона (1654−1722) и Пуансо (1777−1859) наряду с динамикой 
дальнейшее развитие получила и статика. Вариньон решил задачи 
сложения сил, приложенных в точке, и параллельных сил. Он получил условия равновесия этих сил, доказал теорему о моменте равнодействующей и предложил создание основ графостатики (построение 
силового многоугольника). 
Развитие науки в России связано с образованием по инициативе 
Петра I в 1725 г. в Петербурге Российской академии наук. Большое 
влияние на развитие механики оказали труды гениального русского 
ученого, основателя Московского университета Михаила Васильевича Ломоносова (1711−1765) и знаменитого математика, астронома и физика Леонарда Эйлера (1707−1783). За 30 лет работы в Российской Академии наук Эйлер создал большое количество научных 
трудов по математике, механике твердого и упругого тела, гидромеханике и небесной механике. 
Огромное значение для развития механики имеют работы выдающихся российских ученых: М.В. Остроградского (1801−1861), 
П.Л. Чебышева (1821−1894), С.В. Ковалевской (1850−1891), 
А.М. Ляпунова (1857−1918), И.В. Мещерского (1859−1935), К.Э. Циолковского (1857−1935), А.Н. Крылова (1863−1945), Н.Е. Жуковского (1847−1921), С.А. Чаплыгина (1869−1942) и многих других ученых. Российскими механиками выполнены фундаментальные исследования по теории полета ракет, реактивных самолетов, искусственных спутников Земли и космических станций. 
Теоретическая механика является научной основой важнейших отраслей современной техники. Она также является необходимой основой 
для дальнейшего изучения ряда учебных курсов: «Сопротивление материалов», «Теория механизмов и машин», «Детали машин», «Механика 
сплошных сред» и «Обработка металлов давлением». 

СТАТИКА 

Статика – раздел теоретической механики, в котором изучаются 
методы преобразования систем сил в эквивалентные системы и условия равновесия сил, приложенных к твердому телу. 

1. ОСНОВНЫЕ ПОНЯТИЯ СТАТИКИ 

1.1. Главный вектор системы сил 

Сила есть мера механического взаимодействия твердых тел, в результате которого тела могут приобретать ускорения или деформироваться. Сила есть векторная величина и характеризуется модулем, 
точкой приложения и направлением (линией действия силы) (рис. 1.1): 

 
Рис. 1.1 

 
(
)
[ ]
,
,
,
H (Ньютон),
x
y
x
x
y
z
F
F
F
F F F
=
+
+
=
=
F
i
j
k
F
 

 
,
силы
 
модуль
2
2
2
−
+
+
=
z
y
x
F
F
F
F
 

 
.1
,
орты
единичные
,
,
=
=
=
−
k
j
i
k
j
i
 

Главным вектором системы сил {
}
n
F
F ,...,
1
 называется их геометрическая сумма (рис. 1.2): 

y 
O 

Твердое тело 

F 
z 

j 

k
x

Линия 
действия 
силы 

Точка приложения силы 

Сила 

i 

x 

,

1∑
=
=

n

i
i
O
F
F
 

 
(
)
,
,
,
O
Ox
Oy
Oz
F
F
F
=
F
 
(
)
,
,
,
i
ix
iy
iz
F
F
F
=
F
 

 
∑
=
=

n

i
ix
Ox
F
F

1
,  
∑
=
=

n

i
iy
Oy
F
F

1
,  
∑
=
=

n

i
iz
Oz
F
F

1
. 

Главный вектор не зависит от выбора полюса (точки). 
 

 
Рис. 1.2 

1.2. Момент силы относительно точки и оси 

Моментом силы относительно точки называется векторное произведение радиус-вектора точки приложения силы на вектор силы: 

 
( )
F
r
F
M
×
=
O
 =  

(
)
(
)
(
)=
−
+
−
+
−
=
=
x
y
z
x
y
z

z
y
x

yF
xF
xF
zF
zF
yF
F
F
F
z
y
x
k
j
i

k
j
i

 
=(
)
,
,
,
Ox
Oy
Oz
M
M
M
 

где 
(
)
, ,
x y z
=
−
r
 радиус-вектор точки приложения силы, 
(
)
,
,
x
y
z
F F F
=
−
F
 вектор силы, 

F1 

F2 

Fn 

Полюс O 

FO 

F1 
F2 

Fn 

Твердое тело 
Силовой многоугольник 

−
−
=
−
=
−
=
x
y
Oz
z
x
Oy
y
z
Ox
yF
xF
M
xF
zF
M
zF
yF
M
,
,
 
моменты силы относительно осей x, y и z (рис. 1.3). 

 
Рис. 1.3 

Момент силы MO перпендикулярен радиус-вектору r и вектору 
силы F. 
Действительно, скалярные произведения 

 
(
)
cos
,
O
O
O
M r
•
=
=
M
r
M
r
 

 
(
)
(
)
(
)
0,
z
y
x
z
y
x
yF
zF
x
zF
xF
y
xF
yF
z
=
−
+
−
+
−
=
 

 
(
)
cos
,
O
O
O
M F
•
=
=
M
F
M
F
 

 
(
)
(
)
(
)
0.
z
y
x
x
z
y
y
x
z
yF
zF
F
zF
xF
F
xF
yF
F
=
−
+
−
+
−
=
 

Следовательно, 
(
)
,0
,
cos
=
r
M O
 
(
)
.0
,
cos
=
F
M O
 
Положительным направлением момента силы считается направление, откуда поворот силы виден происходящим против хода часовой стрелки. В механике плечом называется кратчайшее расстояние 
от точки до линии действия силы. По абсолютной величине момент 
силы относительно точки равен произведению «силы на плечо»: 

 
(
)
(
)
(
)
.
,
sin
,
sin
Fh
r
F
rF
O
=
=
=
×
=
F
r
F
r
F
r
M
 

Для определения направления момента силы удобно пользоваться 
«правилом правой руки» (рис. 1.4). 

y 
O 

F – сила 
z 

j 

k

i 

h 

r – радиус-вектор 

x 

MO(F) 

Против хода часовой стрелки 

Момент силы 

h − плечо