Сопротивление материалов для металлургов

МИНИСТЕРСТВО ОБРАЗОВАНИЯ И НАУКИ РФ 

ФЕДЕРАЛЬНОЕ ГОСУДАРСТВЕННОЕ АВТОНОМНОЕ ОБРАЗОВАТЕЛЬНОЕ УЧРЕЖДЕНИЕ  
ВЫСШЕГО ПРОФЕССИОНАЛЬНОГО ОБРАЗОВАНИЯ  
«НАЦИОНАЛЬНЫЙ ИССЛЕДОВАТЕЛЬСКИЙ ТЕХНОЛОГИЧЕСКИЙ УНИВЕРСИТЕТ «МИСиС» 

 

 
 
 

 

 

 

 

 

В.Н. Шинкин 
 
 

СОПРОТИВЛЕНИЕ 
МАТЕРИАЛОВ  
     для металлургов 

Учебник 

Допущено учебно-методическим объединением  
по образованию в области металлургии в качестве учебника  
для студентов высших учебных заведений, обучающихся  
по направлению 150400 – Металлургия 

Москва  2013 

УДК 539.3/.6 
 
Ш62 

Р е ц е н з е н т  
д-р техн. наук, проф. Б.А. Романцев (зав. кафедрой технологии и оборудования 
трубного производства НИТУ «МИСиС») 

Шинкин В.Н. 
Ш62  
Сопротивление материалов для металлургов: учеб. / 
В.Н. Шинкин. – М.: Изд. Дом МИСиС, 2013. – 655 с. 
ISBN 978-5-87623-730-9 

В учебнике рассмотрены основные теоретические и практические вопросы 
сопротивления материалов металлоконструкций по следующим темам: основные положения статики и сопротивления материалов, центральное растяжение 
и сжатие, геометрические характеристики плоских сечений, кручение, прямой 
изгиб, сдвиг и смятие, напряженно-деформируемое состояние в точке, теории 
прочности, сложное сопротивление, задача Ламэ о равновесии толстостенной 
трубы, энергетические методы вычисления перемещений и метод сил вычисления перемещений в статически неопределимых системах. 
Приведены многочисленные примеры расчета на устойчивость стержневых 
элементов металлоконструкций, на прочность при циклически изменяющихся 
напряжениях и ударных нагрузках элементов металлоконструкций, изучение 
которых формирует у студентов базисные навыки, необходимые для выполнения расчетов деталей и узлов металлургических машин и оборудования. 
Все темы изложены с учетом специфики металлургических процессов. 
Например, рассмотрены основы математического моделирования процессов 
производства труб большого диаметра по технологии немецкой фирмы SMS 
MEER, процессов правки листа на многороликовых листоправильных машинах линии испанской фирмы Fagor Arrasate для производства листа и штрипса из горячекатаного стального рулона и процессов разрушения труб большого диаметра магистральных газонефтепроводов при дефектах  раскатной 
пригар, риска, несплавление сварного соединения и т.д. 
В приложении приведен сокращенный сортамент прокатной стали. 
Для студентов, обучающихся по направлению 150400 «Металлургия». 

УДК 539.3/.6 

ISBN 978-5-87623-730-9 
© В.Н. Шинкин, 2013 

ОГЛАВЛЕНИЕ 

Предисловие...........................................................................................11 
1. Основные понятия статики............................................................14 
1.1. Необходимые и достаточные условия равновесия  
системы сил.........................................................................................14 
1.2. Примеры решения задач статики ...............................................18 
1.3. Домашнее задание «Статика».....................................................24 
Вопросы для самоконтроля по статике ............................................34 
2. Основные положения сопротивления материалов....................35 
2.1. Допущения и гипотезы................................................................35 
2.2. Метод сечений .............................................................................37
2.3. Напряжения и деформации.........................................................37 
3. Геометрические характеристики плоских сечений ...................40 
3.1. Статические моменты и моменты инерции сечения ................40 
3.2. Теорема Штейнера о параллельном  переносе осей.................41 
3.3. Изменение моментов инерции  при повороте осей ..................43 
3.4. Моменты инерции простых сечений .........................................45 
3.5. Примеры расчета моментов инерции плоских сечений...........52 
3.6. Домашнее задание «Геометрические характеристики  
плоских сечений»................................................................................61 
4. Центральное растяжение и сжатие ...............................................68 
4.1. Закон Гука ....................................................................................68 
4.2. Статически неопределимые системы ........................................71 
4.3. Механические свойства материалов..........................................75 
4.4. Расчеты на прочность и жесткость при растяжении и сжатии....78 
4.5. Домашнее задание  «Центральное растяжение  
и сжатие бруса»...................................................................................95 
5. Сдвиг и смятие................................................................................102 
5.1. Сдвиг...........................................................................................102 
5.2. Смятие.........................................................................................103 
6. Кручение...........................................................................................105 
6.1. Напряжения и угловые деформации  при кручении...............105 
6.2. Полярные моменты сопротивления  простых сечений..........107 
6.3. Расчеты на прочность и жесткость  при кручении.................108 
7. Прямой изгиб...................................................................................119 
7.1. Нейтральный слой при изгибе..................................................119 
7.2. Дифференциальные зависимости при изгибе .........................121 

7.3. Нормальные напряжения при изгибе.......................................121 
7.4. Моменты сопротивления простых сечений ............................123 
7.5. Расчеты на прочность при изгибе............................................124 
7.6. Касательные напряжения при прямом изгибе ........................124 
7.7. Дифференциальное уравнение упругой линии балки  
при изгибе .........................................................................................129 
7.8. Расчет на жесткость при изгибе...............................................130 
7.9. Домашнее задание «Прямой изгиб балки» .............................146 
8. Напряженно-деформированное состояние в точке..................153 
8.1. Тензор напряжений ...................................................................153 
8.2. Главные площадки и главные напряжения.............................155 
8.3. Виды напряженного состояния................................................157 
8.4. Обобщенный закон Гука...........................................................164 
9. Теории прочности...........................................................................167 
10. Сложное сопротивление..............................................................170 
10.1. Косой изгиб..............................................................................170 
10.2. Изгиб с растяжением (сжатием).............................................172 
10.3. Внецентренное растяжение (сжатие).....................................174 
10.4. Кручение с изгибом.................................................................182 
10.5. Домашнее задание «Кручение с изгибом»............................189 
11. Энергетические методы вычисления пермещений ...............196 
11.1. Интеграл Мора.........................................................................196 
11.2. Правило Верещагина...............................................................198 
11.3. Площади и центры тяжестей простейших фигур.................201 
12. Канонические уравнения метода сил для статически 
неопределимых систем ......................................................................208 
12.1. Степень статической неопределимости системы 
и эквивалентные системы................................................................208 
12.2. Канонические уравнения метода сил для один раз  
статически неопределимой системы...............................................209 
12.3. Канонические уравнения метода сил для два раза  
статически неопределимой системы...............................................211 
12.4. Канонические уравнения метода сил для три раза  
статически неопределимой системы...............................................213 
12.5. Примеры решения статически неопределимых систем 
с помощью канонических уравнений метода сил .........................216 
13. Толстостенный цилиндр под действием внутреннего  
и внешнего давлений (задача Ламе) ...............................................222 
13.1. Уравнения равновесия ............................................................222 
13.2. Решение в напряжениях..........................................................226 

13.3. Цилиндр нагружен только внутренним давлением..............227 
13.4. Цилиндр нагружен только внешним давлением...................228 
13.5. Решение в перемещениях........................................................229 
13.6. Пластическое состояние толстостенной трубы ....................230 
13.7. Упругопластическое состояние толстостенной трубы ........231 
13.8. Примеры расчета толстостенных цилиндров........................232 
13.9. Домашнее задание «Расчет толстостенных цилиндров  
под действием внутреннего и внешнего давлений»......................243 
14. Тонкостенные осесимметричные оболочки ............................246 
14.1. Уравнение Лапласа..................................................................246 
14.2. Осевая равнодействующая внешних сил...............................248 
14.3. Примеры расчета цилиндрических тонкостенных  
сосудов...............................................................................................250 
14.4. Примеры расчета конических тонкостенных сосудов .........260 
14.5. Примеры расчета сферических тонкостенных сосудов .......269 
14.6. Примеры расчета тонкостенных сосудов, имеющих 
комбинированную геометрическую конфигурацию.....................272 
14.7. Домашние задание  «Расчет тонкостенных  
осесимметричных оболочек»...........................................................280 
15. Упругопластический изгиб бруса..............................................286 
15.1. Графоаналитический способ построения напряжений ........286 
15.2. Упругопластический изгиб бруса прямоугольного  
сечения...............................................................................................288 
16. Прочность при ударных нагрузках без учета массы  
упругой системы .................................................................................298 
16.1. Общий метод приближенного вычисления напряжений  
при ударе ...........................................................................................298 
16.2. Центральный продольный удар  по брусу постоянного 
сечения...............................................................................................302 
16.3. Центральный продольный удар  по ступенчатому  
стержню.............................................................................................306 
16.4. Вертикальный удар вследствие внезапной остановки 
движения............................................................................................310 
16.5. Продольный внецентренный удар .........................................312 
16.6. Продольный удар стержня об абсолютно жесткую плиту ..318 
16.7. Поперечный удар.....................................................................320 
16.8. Скручивающий удар................................................................324 
16.9. Домашнее задание «Расчет на прочность балки  
при ударе» .........................................................................................327 

17. Удар с учетом массы упругой системы.......................................330 
17.1. Понятие о приведенной массе упругой системы. 
Коэффициент приведения массы к точке удара ............................330 
17.2. Примеры вычисления коэффициента приведения массы  
к точке удара.....................................................................................332 
17.3. Общий метод определения динамического коэффициента  
при ударе с учетом массы упругой системы..................................336 
18. Основы теории устойчивости сжатых стержней....................341 
18.1. Общее понятие об устойчивости сжатых стержней.............341 
18.2. Формула Эйлера ......................................................................342 
18.3. Влияние способа закрепления концов стержня  
на критическую силу........................................................................344 
18.4. Условие применимости формулы Эйлера.............................345 
18.5. Формула Ясинского и условие ее применимости ................346 
18.6. Методика расчетов сжатых стержней на устойчивость.......348 
18.7. Проверочные расчеты сжатых стержней на устойчивость..351 
18.8. Определение допускаемой нагрузки .....................................352 
18.9. Проектные расчеты сжатых стержней...................................356 
18.10. Влияние нагрева на устойчивость стержня.........................360 
18.11. Расчет на устойчивость стержней с участками разной 
жесткости ..........................................................................................361 
18.12. Расчет на устойчивость стержня, нагруженного  
продольной силой, приложенной посередине ...............................363 
18.13. Расчет на устойчивость стержня, нагруженного  
продольной силой через абсолютно жесткий шатун ....................365 
18.14. Влияние малой начальной кривизны на прогиб сжатого 
стержня..............................................................................................367 
18.15. Расчет стержня под действием эксцентрично  
приложенной силы ...........................................................................369 
18.16. Домашнее задание «Проектный расчет на устойчивость 
сжатых стержней» ............................................................................371 
18.17. Домашнее задание «Определение критической силы  
сжатого стержня» .............................................................................372 
19. Устойчивость элементов стержневых систем.........................380 
19.1. Устойчивость стержней на основе расчета систем  
сходящихся сил.................................................................................380 
19.2. Устойчивость стержневых элементов статически 
определимых плоских ферм ............................................................390 
19.3. Устойчивость стержней на основе расчета произвольной 
пространственной системы сил.......................................................407 

19.4. Учет монтажных напряжений при расчете стержневых  
систем на устойчивость....................................................................411 
19.5. Влияние нагрева на устойчивость элементов стержневой 
системы..............................................................................................414 
19.6. Домашнее задание  «Расчет на устойчивость стержней 
статически определимых плоских ферм».......................................417 
19.7. Домашнее задание  «Расчет на устойчивость статически 
неопределимых стержневых систем при наличии монтажных 
напряжений» .....................................................................................425 
20. Продольно-поперечный изгиб....................................................432 
20.1. Дифференциальные уравнения при продольно- 
поперечном изгибе ...........................................................................432 
20.2. Расчеты сжатого стержня  под действием одной  
поперечной силы...............................................................................434 
20.3. Расчеты сжатого стержня  под действием системы 
поперечных сил.................................................................................438 
20.4. Расчеты сжатого стержня  под действием поперечной 
равномерно распределенной нагрузки ...........................................441 
20.5. Приближенные расчеты  при продольно-поперечном  
изгибе.................................................................................................442 
20.6. Расчеты на прочность при продольно-поперечном изгибе ...446 
20.7. Домашнее задание «Продольно-поперечный изгиб  
бруса».................................................................................................450 
21. Энергетический метод решения задач устойчивости............457 
21.1. Полная энергия упругой системы ..........................................457 
21.2. Критерий устойчивости в энергетическом методе...............459 
21.3. Метод Ритца для приближенного определения  
критической силы.............................................................................459 
21.4. Частные случаи применения метода Ритца...........................460 
21.5. Примеры определения критической силы с помощью  
метода Ритца .....................................................................................463 
21.6. Домашнее задание  «Энергетический метод решения  
задач устойчивости стержней»........................................................466 
22. Устойчивость равномерно сжатых кругового кольца  
и арки....................................................................................................469 
22.1. Устойчивость равномерно сжатого кругового кольца.........469 
22.2. Устойчивость равномерно сжатой круговой арки,  
шарнирно закрепленной по концам................................................473 
22.3. Домашнее задание  «Устойчивость круговых арок»............476

23. Прочность при циклически изменяющихся напряжениях..479 
23.1. Общее понятие об усталости материалов .............................479 
23.2. Зарождение многоцикловой усталостной трещины  
и характер ее распространения. Основные признаки 
многоциклового усталостного излома............................................482 
23.3. Цикл напряжений и его характеристики...............................484 
23.4. Классификация циклов напряжений......................................485 
23.5. Испытания на усталость при симметричном цикле 
напряжений в условиях чистого изгиба. Кривая усталости  
(кривая Вёлера).................................................................................487 
23.6. Три типа кривых усталости и их аналитическое описание...490 
23.7. Справочные данные о пределах выносливости 
и эмпирические формулы  для их определения.............................496 
23.8. Испытания в условиях асимметричных циклов.  
Диаграмма предельных напряжений (диаграмма Смита) ............498 
23.9. Диаграмма предельных амплитуд напряжений  
(диаграмма Хэя)................................................................................502 
23.10. Способы схематизации диаграммы предельных  
амплитуд напряжений......................................................................505 
24. Факторы, влияющие на предел выносливости  
при циклически изменяющихся напряжениях.............................509 
24.1. Коэффициент снижения предела выносливости ..................509 
24.2. Влияние закона и частоты изменения напряжений 
на усталостную прочность...............................................................510 
24.3. Влияние концентрации напряжений на предел  
выносливости....................................................................................511 
24.4. Влияние масштабного эффекта на предел выносливости ...526 
24.5. Совместное влияние концентрации напряжений 
и масштабного фактора....................................................................528 
24.6. Влияние качества обработки поверхности на предел 
выносливости....................................................................................535 
24.7. Влияние коррозии на предел выносливости.........................537 
24.8. Влияние поверхностного упрочнения деталей на предел 
выносливости....................................................................................540 
24.9. Влияние коэффициента анизотропии на предел  
выносливости....................................................................................542 
24.10. Коэффициент запаса усталостной прочности  
при симметричном цикле напряжений...........................................542 

24.11. Коэффициент запаса усталостной прочности  
при асимметричном цикле напряжений .........................................543 
24.12. Коэффициент запаса усталостной прочности  
при двухосном напряженном состоянии........................................546 
25. Расчет на прочность при циклически изменяющихся  
напряжениях........................................................................................550 
25.1. Примеры расчетов на прочность  при циклически 
изменяющихся напряжениях...........................................................550 
25.2. Домашнее задание  «Проверка элемента детали  
на усталостную прочность при переменном нагружении» ..........565 
26. Математические основы производства труб большого  
диаметра по технологии SMS MEER ..............................................574 
26.1.Отечественные магистральные газонефтепроводы...............574 
26.2. Формовка листовой заготовки на кромкогибочном  
прессе.................................................................................................576 
26.3. Условие возникновения гофра продольной кромки листа  
при формовке заготовки на кромкогибочном прессе....................579 
26.4. Гибка плоской пластины на прессе пошаговой формовки....582 
26.5. Гибка цилиндрической оболочки на прессе пошаговой 
формовки ...........................................................................................585 
26.6. Гибка изогнутой оболочки на прессе пошаговой формовки...589 
26.7. Критерий перегиба в обратную сторону свободной части 
листовой заготовки на трубоформовочном прессе SMS MEER ....593 
26.8. Моделирование процесса экспандирования труб  
большого диаметра по технологии SMS MEER ............................599 
26.9. Моделирование процесса гидроиспытания труб  
большого диаметра по технологии SMS MEER ............................602 
26.10. Расчет максимальных напряжений в стенке трубы  
при экспандировании с учетом остаточных напряжений  
заготовки после трубоформовочного пресса SMS MEER ............610 
27. Математические основы правки листа на многороликовой 
листоправильной машине линии Fagor Arrasate.........................616 
27.1. Виды стали для производства стальных листов ...................616 
27.2. Горячекатаный и холоднокатаный стальной лист................617 
27.3. Многороликовые листоправильные машины .......................618 
27.4. Процесс производства листа из горячекатанного рулона  
на линии поперечной резки Fagor Arrasate.....................................620 

27.5. Правка листа на пятироликовой листоправильной  
машине Fagor Arrasate......................................................................622 
27.6. Правка стального листа на четырехроликовой 
листоправильной машине................................................................629 
27.7. Гибка стального листа  на трехроликовой гибочной  
машине...............................................................................................631 
27.8. Расчет остаточных деформаций бруса при  
малоцикловых знакопеременных напряжениях ............................634 
28. Разрушение магистральных труб большого диаметра  
при дефектах........................................................................................637 
28.1. Статистика и причины аварий газонефтепроводов..............637 
28.2. Рекомендации по снижению числа отказов на 
газонефтепроводах ...........................................................................638 
28.3. Критерий разрушения труб большого диаметра при 
несплавлении сварного соединения и внутреннем давлении.......639 
28.4. Критерий разрыва труб газонефтепроводов при дефекте 
«раскатной пригар с риской» ..........................................................643 
28.5. Критерий разрыва трубы при внутреннем давлении  
и дефекте «риска» на поверхности трубы......................................648 
Библиографический список .............................................................650 
Приложение .........................................................................................652 

Посвящается двум Аннам – 
матери и дочери 

ПРЕДИСЛОВИЕ 

Настоящий учебник предназначен для студентов металлургических специальностей вузов. Теоретический материал написан достаточно сжато, что соответствует практике его изложения в аудиторных условиях. Все используемые формулы и теоремы строго математически обоснованы. Приведен сокращенный сортамент прокатной 
стали, необходимый для выполнения расчетно-графических работ, 
и обширный список учебной литературы, носящий справочный характер. Учебник должен помочь студентам в их самостоятельной работе при решении задач и подготовке к экзаменам и зачетам.  
Начало развития сопротивления материалов как науки относят 
к 1638 г. и связывают с именем Галилео Галилея, знаменитого 
итальянского ученого. Галилей был профессором математики в Падуе. Он жил в период разложения феодального строя, развития торгового капитала, международных морских сношений и зарождения 
горной и металлургической промышленности. 
Экономика того времени поставила на очередь решение ряда новых 
технических проблем. Оживление внешних торговых сношений вызвало необходимость увеличения тоннажа судов, а это повлекло за собой изменение их конструкции; одновременно стал вопрос о реконструкции и создании новых внутренних водных путей сообщения, 
включая устройство каналов и шлюзов. Эти технические задачи не 
могли быть решены простым копированием существовавших раньше 
конструкций судов и сооружений. Возникла необходимость в аналитических расчетах по оценке прочности элементов конструкции в зависимости от их размеров и величины действующих на них нагрузок. 
Значительная часть работ Галилея была посвящена решению задач о зависимости между размерами балок и стержней и теми нагрузками, которые могут выдержать эти элементы конструкции. Он 
указал, что полученные им результаты могут «принести большую 
пользу при постройке крупных судов, в особенности при укреплении 
палуб и покрытий, так как в сооружениях этого рода легкость имеет 
огромное значение». Исследования Галилея опубликованы в его книге «Discorsi e Dimostrazioni matematiche» (1638, Лейден, Голландия). 

Дальнейшее развитие сопротивления материалов шло параллельно с развитием техники строительства и машиностроения и связано 
с целым рядом работ выдающихся ученых-математиков, физиков 
и инженеров. Среди них значительное место занимают русские и советские ученые. 
Большой вклад в науку о сопротивлении материалов внес в XVIII в. 
действительный член Петербургской Академии наук Леонард Эйлер, 
решивший задачу об устойчивости сжатых стержней. 
В XIX в. мировую известность приобрели работы Д.И. Журавского 
и X.С. Головина. В связи с проектированием и постройкой ряда мостов 
на строившейся Николаевской (ныне Октябрьской) железной дороге 
между Петербургом и Москвой Журавский решил ряд важных и интересных вопросов, связанных с прочностью балок при их изгибе. Головин впервые правильно решил задачу о прочности кривых стержней. 
В мировую науку прочно вошли работы Ф.С. Ясинского по вопросам 
устойчивости элементов конструкций, вызванные к жизни изучением 
причин разрушения некоторых мостов. Профессор П.И. Собко организовал крупнейшую лабораторию по испытанию материалов в Петербургском институте инженеров путей сообщения. 
С начала XX в. роль русских ученых в науке о сопротивлении материалов стала ведущей. Профессор И.Г. Бубнов явился основоположником современной науки о прочности корабля. Академик 
А.Н. Крылов, помимо дальнейшего развития задач о расчете корабля, 
известен крупнейшими исследованиями в области динамических 
расчетов. Профессор Н.П. Пузыревский создал новую методику расчета балок на упругом основании. 
Из многочисленных трудов академика Б.Г. Галеркина достаточно 
упомянуть работы по развитию вариационных методов механики, 
общему решению пространственной задачи теории упругости и расчету плит. Многих вопросов расчета на прочность касались и работы 
С.П. Тимошенко. 
В советское время передовая роль России закрепилась еще 
в большей степени. Академик А.Н. Динник опубликовал ряд крупных работ по устойчивости элементов конструкций. Профессор 
Н.М. Герсеванов плодотворно работал в области механики грунтов − 
науки, решающей задачи прочности и устойчивости оснований 
и фундаментов сооружений и машин. 
Профессора П.Ф. Папкович и Ю.А. Шиманский стали во главе 
школы ученых, занимающихся вопросами прочности кораблей. Про

фессор Н.Н. Давиденков создал совместно со своими учениками новую теорию, объясняющую причины разрушения материалов. Большое значение имеют его труды по вопросам динамической прочности и разрушения при ударе. Усилиями наших инженеров разработана новая теория расчета железобетонных конструкций, которая более 
правильно, чем теории, принятые за границей, отражает действительный характер работы этих конструкций и при обеспеченной 
прочности дает значительную экономию размеров. Академик 
Н.И. Мусхелишвили развил современные методы теории функций 
комплексного переменного и теории сингулярных интегральных 
уравнений и применил их к решению ряда задач на прочность. Профессор В.З. Власов создал новую оригинальную теорию расчета тонкостенных оболочек и тонких стержней, имеющих широкое применение в различных конструкциях. 

1. ОСНОВНЫЕ ПОНЯТИЯ СТАТИКИ  

1.1. Необходимые и достаточные условия 
равновесия системы сил  

Сила есть мера механического взаимодействия твердых тел, в результате которого тела могут приобретать ускорения или деформироваться. Сила есть векторная величина и характеризуется модулем, точкой приложения и направлением (линией действия силы) (рис. 1.1).   

y 
O 

Твердое тело 

F 
z 

j 

k 

Линия  
действия  
силы 

Точка приложения силы 

Сила 

i 

x 
 

Рис. 1.1  

Пусть 
F = Fx i + Fy j + Fz k = (Fx, Fy, Fz), 
[F] = Н 
(ньютон), 

2
2
2

x
y
z
F
F
F
F
=
+
+
 − модуль силы; i, j, k − единичные орты, 

| i | = | j | = | k | = 1. 
Главным вектором системы сил {F1, … , Fn} называется их геометрическая сумма (рис. 1.2) 

1

,

n

O
i
i=
=∑
F
F  

FO = (FOx, FOy, FOz), Fi = (Fix, Fiy, Fiz), 

1

,

n

Ox
ix
i

F
F

=
=∑
1

,

n

Oy
iy
i

F
F

=
=∑
1

.

n

Oz
iz

i

F
F

=
=∑
 

F1 

F2 

Fn 

Полюс O 

FO 

F1 
F2 

Fn 

Твердое тело 
Силовой многоугольник 
 

Рис. 1.2  

Главный вектор не зависит от выбора полюса (точки). 
Моментом силы относительно точки называется векторное произведение радиуса-вектора точки приложения силы на вектор силы:  

( )
O

x
y
z

x
y
z

F
F
F
= ×
=
=

i
j
k

M
F
r
F
 

(
)
(
)
(
) (
)
,
,
,
z
y
x
z
y
x
Ox
Oy
Oz
yF
zF
zF
xF
xF
yF
M
M
M
=
−
+
−
+
−
=
i
j
k
  

где r = (x, y, z) − радиус-вектор точки приложения силы; 
F = (Fx, Fy, Fz) − вектор силы; MOx = yFz − zFy, MOy = zFx − xFz 
и MOz = xFy − yFx − моменты силы относительно осей x, y и z 
(рис. 1.3).   

 

y 
O 

F – сила 
z 

j 

k

i 

h

r – радиус-вектор 

x 

MO(F) 

Против хода 
часовой стрелки 

Момент силы 

h – плечо 
 

Рис. 1.3  

Момент силы MO перпендикулярен радиусу-вектору r и вектору 
силы F. Действительно, скалярные произведения 

(
)
cos
,
O
O
O
M r
•
=
=
M
r
M
r

(
)
(
)
(
)
0,
z
y
x
z
y
x
yF
zF
x
zF
xF
y
xF
yF
z
=
−
+
−
+
−
=
 

(
)
cos
,
O
O
O
M F
•
=
=
M
F
M
F

(
)
(
)
(
)
0.
z
y
x
x
z
y
y
x
z
yF
zF
F
zF
xF
F
xF
yF
F
=
−
+
−
+
−
=
 

Следовательно, 
cos (MO, r) = 0 
и 
cos (MO, F) = 0. 
Поэтому 
∠(MO, r) = 90o, ∠(MO, F) = 90o.  
Плоскостью действия момента MO(F) = r × F называется плоскость, образованная радиусом-вектором r и вектором силы F. Момент силы перпендикулярен его плоскости действия. 
Положительным направлением момента силы считается направление, откуда «поворот» силы виден происходящим против хода часовой стрелки. В механике плечом называется кратчайшее расстояние от точки до линии действия силы. По абсолютной величине момент силы относительно точки равен произведению «силы на плечо»:  

(
)
(
)
(
)
sin
sin
O
rF
,
F r
,
Fh.
=
×
=
=
=
M
r
F
r F
r F
 

Для определения направления момента силы удобно пользоваться 
«правилом правой руки» (рис. 1.4). 

 
MO(F) 

r 

F 
 

Рис. 1.4  

Главным моментом системы сил относительно выбранной точки называется геометрическая сумма моментов всех сил относительно этой точки  

(
)

1
1

.

n
n

O
O
i
i
i
i
i
=
=
=
=
×
∑
∑
M
M
F
r
F
 

Главный момент системы сил зависит от выбора полюса. Действительно, относительно произвольных точек А и В он равен 

(
)

1
1

n
n

B
Bi
i
Ai
i
i
i
=
=
=
×
=
+
×
=
∑
∑
M
r
F
BA
r
F

1
1

,

n
n

i
Ai
i
O
A
i
i
=
=
=
×
+
×
=
×
+
∑
∑
BA
F
r
F
BA
F
M
 

.
B
O
A
=
×
+
M
BA
F
M
 

Откуда следует, что если главный вектор и главный момент системы сил одновременно равны нулю относительно одной точки, то 
они равны нулю относительно любой другой точки. 
Необходимым и достаточным условием равновесия системы 
сил является равенство нулю главного вектора и главного момента 
этой системы сил:  

0
0
O
O
,
.
=
=
M
F
 
Эти два векторных равенства эквивалентны шести скалярным равенствам  

0
0
0
0
0
0
Ox
Oy
Oz
Ox
Oy
Oz
F
,
F
,
F
,
M
,
M
,
M
.
=
=
=
=
=
=
 

Парой сил называется совокупность двух сил {F, −F}, равных по 
модулю и противоположных по направлению.  
Плоскостью действия момента пары сил называется плоскость 
действия сил пары сил. 
Главный вектор пары сил равен нулю, а момент пары сил не зависит от выбора полюса. 
Действительно, 

,
.
O
B
O
A
A
=
−
=
×
+
=
F
F
F
M
BA
F
M
M
 

Основные опоры и их опорные реакции показаны на рис. 1.5. 

xA 

R 

yA 
R = yA 

xA 

yA 

R 

MA 

A 
A 

A 

Цилиндрическая 
шарнирно- 
неподвижная 
опора 

Цилиндрическая 
шарнирно- 
подвижная 
опора 

Жесткая заделка 
(защемление) 

 

Рис. 1.5  

1.2. Примеры решения задач статики  

Пример 1.1. Найти реакции опор балки (рис. 1.6).  

9 т 

2 м 

xA 

yB 
yA 

18 кН/м 

2 м 

6 кН 

5 м 
3 м 

A 

B 

 

Рис. 1.6  

Решение. Заменим действие равномерно распределенной нагрузки силой Q = 18 · 5 = 90 кН, приложенной в середине интервала действия этой 
нагрузки и направленной вертикально вниз. Из уравнений статики следует, что главный вектор и главный момент системы сил равны нулю: 

( )
0:
0 ,
i
A
i
F x
x
=
=
∑
 
( )
0:
6
9
0 ,
i
A
B
i
F y
y
Q
y
=
−
+
−
+
+
=
∑