Сопротивление материалов : циклические нагрузки и удар в металлоконструкциях

МИНИСТЕРСТВО ОБРАЗОВАНИЯ И НАУКИ РФ 

ФЕДЕРАЛЬНОЕ ГОСУДАРСТВЕННОЕ АВТОНОМНОЕ ОБРАЗОВАТЕЛЬНОЕ УЧРЕЖДЕНИЕ  
ВЫСШЕГО ПРОФЕССИОНАЛЬНОГО ОБРАЗОВАНИЯ  
«НАЦИОНАЛЬНЫЙ ИССЛЕДОВАТЕЛЬСКИЙ ТЕХНОЛОГИЧЕСКИЙ УНИВЕРСИТЕТ «МИСиС» 

 

 
 
 

 

 

 

 
 

 

 

Кафедра теоретической механики и сопротивления материалов

В.Н. Шинкин 
Ю.А. Поляков 
 

Сопротивление материалов

Циклические нагрузки и удар 
в металлоконструкциях 

Учебник 

Под редакцией профессора В.Н. Шинкина 

Допущено учебно-методическим объединением 
по образованию в области металлургии в качестве учебника 
для студентов высших учебных заведений, обучающихся 
по направлению Металлургия 

Москва  2012 

УДК 539.3 
 
Ш62 

Р е ц е н з е н т ы  
д-р техн. наук, проф. Ю.И. Бурчаков (зав. кафедрой сопротивления 
материалов Московского государственного горного университета);  
д-р техн. наук, проф. С.К. Карцов (профессор кафедры «Строительная механика» 
Московского автомобильно-дорожного государственного 
технического университета) 

Шинкин, В.Н. 
Ш62  
Сопротивление материалов : циклические нагрузки и удар в 
металлоконструкциях : учеб. / В.Н. Шинкин, Ю.А. Поляков ; 
под ред. В.Н. Шинкина. – М. : Изд. Дом МИСиС, 2012. – 172 с. 
ISBN 978-5-87623-568-8 

В учебнике рассмотрены основные вопросы расчета на прочность при 
циклически изменяющихся напряжениях и ударных нагрузках элементов металлоконструкций, изучение которых формирует у студентов базисные навыки, необходимые для выполнения расчетов деталей металлургических машин 
и оборудования. Подробно разобраны решения большого числа задач. Все 
темы изложены с учетом специфики металлургических процессов. 
Приведенные в учебнике домашние задания рекомендуется выполнять с 
применением современных средств программного обеспечения, в частности 
системы MathCAD. 
Предназначен для студентов высших учебных заведений, обучающихся 
по направлению 150100 «Металлургия». 

УДК 539.3 

ISBN 978-5-87623-568-8 
© Шинкин В.Н., 
Поляков Ю.А., 2012 

ОГЛАВЛЕНИЕ 

Предисловие..........................................................................................5 
1. Прочность при циклически изменяющихся напряжениях ...............6 
1.1. Общее понятие об усталости материалов ...................................6 
1.2. Зарождение многоцикловой усталостной трещины 
и характер ее распространения. Основные признаки 
многоциклового усталостного излома................................................9 
1.3. Цикл напряжений и его характеристики ...................................11 
1.4. Классификация циклов напряжений..........................................13 
1.5. Испытания на усталость при симметричном цикле 
напряжений в условиях чистого изгиба. Кривая усталости 
(кривая Вёлера)...................................................................................15 
1.6. Три типа кривых усталости и их аналитическое описание .....19 
1.7. Справочные данные о пределах выносливости 
и эмпирические формулы для их определения................................26 
1.8. Испытания в условиях асимметричных циклов. 
Диаграмма предельных напряжений (диаграмма Смита)...............28 
1.9. Диаграмма предельных амплитуд напряжений 
(диаграмма Хэя)..................................................................................32 
1.10. Способы схематизации диаграммы предельных 
амплитуд напряжений........................................................................36 
1.11. Основные факторы, влияющие на предел выносливости. 
Коэффициент снижения предела выносливости .............................41 
1.12. Влияние закона и частоты изменения напряжений 
на усталостную прочность.................................................................42 
1.13. Влияние концентрации напряжений на предел  
выносливости......................................................................................43 
1.14. Влияние масштабного эффекта на предел выносливости .....60 
1.15. Совместное влияние концентрации напряжений 
и масштабного фактора......................................................................62 
1.16. Влияние качества обработки поверхности на предел 
выносливости......................................................................................70 
1.17. Влияние коррозии на предел выносливости...........................73 
1.18. Влияние поверхностного упрочнения деталей 
на предел выносливости ....................................................................76 
1.19. Влияние коэффициента анизотропии на предел 
выносливости......................................................................................78 
1.20. Коэффициент запаса усталостной прочности 
при симметричном цикле напряжений.............................................78 

1.21. Коэффициент запаса усталостной прочности 
при асимметричном цикле напряжений...........................................79 
1.22. Коэффициент запаса усталостной прочности 
при двухосном напряженном состоянии..........................................83 
1.23. Примеры расчетов на прочность при циклически 
изменяющихся напряжениях.............................................................87 
Вопросы для самоконтроля по расчетам на прочность 
при циклически изменяющихся напряжениях...............................104 
2. Прочность при ударных нагрузках без учета массы упругой 
системы..................................................................................................112 
2.1. Общий метод приближенного вычисления напряжений 
при ударе ...........................................................................................112 
2.2. Центральный продольный удар по брусу постоянного 
сечения...............................................................................................117 
2.3. Центральный продольный удар по ступенчатому 
стержню.............................................................................................122 
2.4. Вертикальный удар вследствие внезапной остановки 
движения ...........................................................................................127 
2.5. Продольный внецентренный удар ...........................................129 
2.6. Продольный удар стержня об абсолютно жесткую плиту ....136 
2.7. Поперечный удар.......................................................................138 
2.8. Скручивающий удар..................................................................145 
Вопросы для самоконтроля по расчетам на прочность 
при ударных нагрузках без учета массы упругой системы..........149 
3. Учет массы упругой системы, испытывающей удар ....................150 
3.1. Понятие о приведенной массе упругой системы. 
Коэффициент приведения массы к точке удара ............................150 
3.2. Примеры вычисления коэффициента приведения 
массы к точке удара..........................................................................152 
3.3. Общий метод определения динамического коэффициента 
при ударе с учетом массы упругой системы..................................159 
Вопросы для самоконтроля по расчетам на прочность 
при ударных нагрузках с учетом массы упругой системы...........164 
4. Домашние задания............................................................................165 
4.1. Проверка элемента детали на усталостную прочность 
при переменном нагружении...........................................................165 
4.2. Расчет на прочность балки при действии ударной 
нагрузки без учета массы упругой балки.......................................167 
Библиографический список.................................................................169 
Приложения ..........................................................................................170 

Предисловие 

В современном металлургическом производстве широко применяются различные механизмы, оборудование, металлоконструкции. 
Для целого ряда их конструктивных элементов обычных расчетов на 
прочность недостаточно для обеспечения надежной и безопасной работы в условиях эксплуатации, так как могут произойти циклический 
износ или ударное разрушение при внешних воздействиях. 
В связи с этим на этапе общеинженерной подготовки в процессе 
изучения раздела «Циклические нагрузки и удар в металлоконструкциях» 
дисциплины «Сопротивление материалов», следует уделять должное 
внимание формированию у студентов металлургических специальностей навыков в осуществлении расчетов элементов металлоконструкций, металлургических машин и оборудования, связанных с анализом 
их способности сопротивляться циклическому износу и выдерживать 
ударные нагрузки. Это будет способствовать более качественному 
усвоению таких дисциплин, как «Детали машин и основы конструирования», «Теория механизмов и машин», «Теория обработки металлов давлением». 
Разбор примеров, приведенных в учебнике, ориентирует будущего 
бакалавра на выполнение конструктивных мероприятий с целью предупреждения циклического износа и ударных разрушений и помогает 
понять специфику задач этой тематики. 
Успешное усвоение пройденного материала возможно лишь при 
своевременном выполнении домашних заданий, варианты которых 
содержатся в конце данного учебника. Домашние задания рекомендуется выполнять с применением современных средств программного обеспечения, в частности системы MathCAD. 

1. ПРОЧНОСТЬ ПРИ ЦИКЛИЧЕСКИ 
ИЗМЕНЯЮЩИХСЯ НАПРЯЖЕНИЯХ 

1.1. Общее понятие об усталости материалов 

Многие детали машин и механизмов, в частности вращающиеся 
валы, зубья зубчатых колес, дорожки тел качения подшипников, приводные ремни, пружины, в процессе эксплуатации испытывают напряжения, циклически изменяющиеся во времени.  
Усталость – процесс постепенного накопления повреждений материала под действием переменных напряжений, приводящий к изменению свойств, образованию трещин, их развитию и разрушению 
(ГОСТ 23207–78 «Сопротивление усталости. Основные термины, определения и обозначения»). 
Сопротивление усталости (выносливость) – свойство материала противостоять усталости. 
Усталостное повреждение – необратимое изменение физикомеханических свойств материала объекта под действием переменных 
напряжений. 
Усталостное разрушение – разрушение материала нагружаемого 
объекта до полной потери его прочности или работоспособности 
вследствие распространения усталостной трещины. 
Различают две разновидности усталости материала. 
1) Малоцикловая усталость – усталость материала, при которой 
усталостное повреждение или разрушение происходит при упругопластическом деформировании. 
Она возникает при максимальных напряжениях, превышающих 
предел текучести материала, и сопровождается знакопеременным 
упруго-пластическим деформированием объема материала, большого 
по сравнению с размерами структурных составляющих (зерен, пор, 
включений). Число циклов до образования заметной трещины (длиной 0,5…1 мм и более) для стальных конструкций не превышает 
104 циклов и зависит в основном: 
а) от величины пластической деформации детали в каждом цикле; 
б) от способности материала сопротивляться малоцикловому разрушению. 
Явление малоцикловой усталости знакомо каждому, кто ломал 
проволоку, пластически деформируя ее в разные стороны. 

2) Многоцикловая усталость – усталость материала, при которой 
усталостное повреждение или разрушение происходит в основном 
при упругом деформировании. 
Она имеет место при напряжениях значительно ниже предела текучести (
max
т
0,6
σ
<
σ ). В этом случае в макрообъеме материал деформируется упруго (его свойства с вполне удовлетворительной точностью описываются законом Гука 
E
σ =
ε ). Однако большинство 
реальных материалов имеет сложную многокомпонентную структуру 
(зерна, поры, межзеренные прослойки, неметаллические включения в 
стали и т.д.). При упругом деформировании достаточно большого 
объема в микрообъемах (в отдельных слабых зернах, вблизи дефектов) происходит локальное знакопеременное пластическое деформирование, которое называют микропластическим. Его многократное 
повторение приводит к зарождению микроскопических трещин. Постепенное их развитие и слияние в магистральную трещину приводит 
к ослаблению сечений и затем к внезапному долому деталей. Продолжительность стадии многоцикловой усталости к моменту зарождения магистральной усталостной макротрещины для стальных конструкций превышает 105 – 106 циклов. 
Граница между малоцикловой и многоцикловой усталостью является условной. В тех случаях, когда пластическая деформация в макрообъеме отлична от нуля в каждом цикле, но мала по сравнению с 
упругой, условия зарождения трещины зависят и от упругой, и от 
пластической деформации. Это переходная зона между малоцикловой и многоцикловой усталостью. Для высокопластичных сплавов 
переходная зона смещается в сторону больших долговечностей, для 
хрупких – в сторону меньших. 
В курсе «Сопротивление материалов» традиционно рассматриваются 
только вопросы, связанные с изучением многоцикловой усталости. 
В качестве примера рассмотрим ось (рис. 1.1, а), вращающуюся c 
угловой скоростью ω. Хотя внешние силы F и являются постоянными величинами, она испытывает циклически изменяющиеся напряжения, поскольку частицы вращающейся оси (за исключением лежащих на оси симметрии) оказываются попеременно то в верхней (растянутой), то в нижней (сжатой) зоне поперечного сечения. Для рассматриваемой оси на рис. 1.1, а показана эпюра изгибающих моментов Мх под действием внешних сил F. 

a 

t 

σа 

σ 

y 

φ 

А 

в
б

D 

Mx

a 
a 
l 

Fa 

F = const 
F = const 

ω 

z 

y

y 

x 

 

Рис. 1.1 

Нормальное напряжение в точке А (рис. 1.1, б) поперечного сечения оси вагона 

 
x
z
x

M
y
I
σ =
. 

Расстояние y от точки А до нейтральной линии сечения меняется 
во времени по закону 

 
sin
2
D
y
t
=
ω , 

где ω − угловая скорость вращения оси. 

Тогда 

 
sin
2
( )

x

Fa D
t
I
t =
ω
σ
. 

Таким образом, нормальное напряжение σ в сечениях оси меняется по синусоиде (рис. 1.1, в) с амплитудой 

а
2
x

Fa D
I
σ =
. 

1.2. Зарождение многоцикловой усталостной трещины 
и характер ее распространения. Основные признаки 
многоциклового усталостного излома 

Усталостная трещина – частичное разделение материала под 
действием переменных напряжений (см. ГОСТ 23207–78). 
При многоцикловой усталости (см. п. 1.1) в результате многократного нагружения в отдельных ослабленных микрообъемах элемента 
конструкции развивается локальное знакопеременное неупругое деформирование, приводящее к появлению микротрещин. Их развитие 
и слияние приводит к появлению макротрещины, размеры которой 
постоянно увеличиваются с ростом числа нагружений: вначале медленно, затем все быстрее. 
Локальные процессы зарождения и первоначального развития 
трещины не оказывают заметного влияния на деформирование детали в целом, а ускоренное развитие трещины, как правило, непродолжительно. На дне трещины, как в остром надрезе, возникает большая 
концентрация напряжений. Материал в этом месте испытывает объемное напряженное состояние. Все это способствует дальнейшему 
росту трещины, увеличение которой в конечном итоге ослабляет сечение детали и приводит к ее внезапному хрупкому разрущению. Когда трещина достигает критической длины, происходит практически 
мгновенный долом. Часто долом происходит внезапно и становится 
причиной аварийных ситуаций. 
Разрушение при переменных нагрузках носит местный характер, 
не затрагивающий всего материала конструкции в целом. Поэтому 
при своевременном обнаружении развивающихся трещин при переменных нагрузках во многих случаях нет необходимости ставить вопрос о замене всей конструкции. Достаточно заменить поврежденные 
части и устранить причины, вызвавшие возникновение трещин. 
Усталостный излом – поверхность раздела, возникающая при 
усталостном разрушении объекта. 
Многоцикловой усталостный излом деталей имеет характерный 
вид, позволяющий отличать его от разрушений при других видах нагружений. В качестве примера рассмотрим усталостный излом вала 
ведущего колеса автомобиля (рис. 1.2). 

Рис. 1.2 

Основные признаки многоциклового усталостного излома (см. 
рис. 1.2): 
1 – очаг зарождения усталостного повреждения (нередко здесь можно заметить небольшой дефект, с которого начинается развитие трещины, – раковину, неметаллическое включение, царапину или забоину); 
2 – зона постепенного продвижения трещины, для которой характерна гладкая блестящая поверхность как результат длительного притирания поверхностей трещины; 
3 – зона ускоренного развития трещины; 
4 – зона долома (имеет зернистую поверхность, характерную для 
хрупкого разрушения). 
Долом – часть усталостного излома, возникающая в завершающей 
стадии разрушения из-за недостатка прочности сечения по трещине. 
Более половины всех разрушений технических устройств связано с 
разрушением от многоцикловой усталости (И.Я. Березин, О.Ф. Чернявский). Поэтому весьма актуальны задачи изучения поведения материалов при таком нагружении и разработки методов расчета, обес