Физическое и математическое моделирование строительных систем

В.Т. ЧЕМОДУРОВ
Э.В. ЛИТВИНОВА

Êðûìñêèé ôåäåðàëüíûé óíèâåðñèòåò 

èìåíè Â.È. Âåðíàäñêîãî

ФИЗИЧЕСКОЕ 

И МАТЕМАТИЧЕСКОЕ 

МОДЕЛИРОВАНИЕ 

СТРОИТЕЛЬНЫХ СИСТЕМ

Рекомендовано Межрегиональным учебно-методическим советом 

профессионального образования в качестве учебного пособия для студентов 

высших учебных заведений, обучающихся по направлению подготовки 

38.04.01 «Строительство» (квалификация (степень) «магистр») 

(протокол № 10 от 12.10.2020)

Москва
ИНФРА-М

2021

УЧЕБНОЕ ПОСОБИЕ

УДК [519.8+69](075.8)
ББК 22.18:38в6я73
 
Ч42

Р е ц е н з е н т ы:

В.В. Новиков, доктор технических наук, профессор кафедры ракет
ного вооружения надводных кораблей Черноморского высшего военно-морского училища имени имени П.С. Нахимова;

З.З. Ситшаева, кандидат физико-математических наук, доцент ка
федры математики Крымского инженерно-педагогического университета имени Февзи Якубова

ISBN 978-5-16-014993-6 (print)
ISBN 978-5-16-107490-9 (online)

© Чемодуров В.Т., Литвинова Э.В., 

2021

Чемодуров В.Т.

Ч42  
Физическое и математическое моделирование строительных си
стем : учебное пособие / В.Т. Чемодуров, Э.В. Литвинова. — Москва : 
ИНФРА-М, 2021. — 196 с. — (Высшее образование: Магистратура). — 
DOI 10.12737/1014191.

ISBN 978-5-16-014993-6 (print)
ISBN 978-5-16-107490-9 (online)
Физическое и математическое моделирование широко применяется 

в научных исследованиях. Это объясняется тем, что натурные эксперимен ты 
на реальных строительных объектах зачастую невозможно организовать 
по различным соображениям. Материал, включенный в учебное пособие, 
является обобщением опыта работы авторов в области системного анализа. 
В первом разделе рассмотрены закономерности физического моделирования функционирования объектов, основанного на теоремах подобия и размерностей. Во втором разделе — современные модели и методы выбора 
оптимальных решений: линейные, нелинейные, стохастические и статистические. В третьем разделе — экспериментальные методы оптимизации 
систем, основанные на теории планирования эксперимента.

Соответствует требованиям федеральных государственных образова
тельных стандартов высшего образования последнего поколения.

Для студентов высших учебных заведений, обучающихся по направле
нию подготовки 08.04.01 «Строительство», и аспирантов высших учебных 
заведений. Будет полезно для специалистов в области математических методов исследования сложных систем и их приложений.

УДК [519.8+69](075.8)

ББК 22.18:38в6я73

Предисловие

Материал, включенный в учебное пособие, является обобщением 
опыта работы авторов в области системного анализа. В содержание 
книги включены три раздела.
Первый раздел посвящен закономерностям физического моделирования функционирования объектов, основанных на теоремах 
подобия и размерностей. Во втором разделе изложены центральные 
идеи современных моделей и методов выбора оптимальных решений: линейного, нелинейного, стохастического и статистического. 
В третьем разделе представлены экспериментальные методы оптимизации систем, основанные на теории планирования эксперимента.
В каждом разделе учебного пособия приводится достаточное 
число примеров с целью облегчения практического усвоения материала.
Учебное пособие реализует блок общепрофессио нальных компетенций. В результате изучения материалов пособия студент 
должен:
знать
 
• основные принципы физического и математического моделирования функционирования строительных конструкций;
 
• основы теории физического моделирования и законов физического подобия;
 
• общие принципы построения математических моделей строительных систем;
 
• методы линейного, нелинейного программирования;
 
• методы стохастического и статистического программирования;
уметь
 
• осуществлять постановку исследовательской задачи и определять метод ее исследования;
 
• применять теоремы физического подобия при разработке физического эксперимента и осуществлять планирование проведения 
опытов для получения максимальной информации изучаемых 
процессов;
 
• разрабатывать математические модели строительных объектов 
и применять методы их исследования;
 
• решать задачи оптимизации в условиях неопределенности;
 
• анализировать факторы и свойства материалов на основе дисперсионного анализа;

 
• ставить и проводить эксперимен ты, осуществлять сбор и обработку их результатов, идентификацию теории и эксперимента;
владеть
 
• навыками сбора, систематизации и анализа информационных 
исходных данных для проектирования и мониторинга зданий, 
сооружений, инженерных систем;
 
• разработкой технико-экономического обоснования и принятия 
проектных решений;
 
• разработкой методов и методик для расчетного обоснования 
объекта проектирования;
 
• навыками изучения и анализа научно-технической информации, 
отечественного и зарубежного опыта по профилю деятельности;
 
• навыками математического моделирования функционирования 
строительных объектов и сооружений и программной реализации методов расчета строительных конструкций.
Учебное пособие предназначено для магистрантов и аспирантов 
высших учебных заведений, а также будет полезно для лиц, специализирующихся в области математических методов исследования 
сложных систем и их приложений.

Введение

Каждый шаг человеческой деятельности связан с принятием тех 
или иных решений. Например, конструктор принимает решение 
о параметрах будущего объекта, инженер — о производственном 
процессе, студент — о роде и характере дальнейшей деятельности 
после окончания вуза. Нередко, спустя некоторое время (к сожалению), мы убеждаемся в том, что принятые нами решения оказались неудовлетворительными с некоторых точек зрения или неоптимальными. Поэтому естественно ставить вопрос о развитии стандартных, научно обоснованных принципов выбора оптимальных 
решений. Одним из основных таких принципов является моделирование.
Для успешного решения постоянно возникающих задач строительной практики в ходе бурного развития науки и техники, 
влияющих на изменения в строительстве, выпускники академии 
должны обладать значительным объемом научных знаний и умением творчески применять эти знания на деле. В связи с этим в процессе подготовки упор делается не столько на обучение студентов 
тонкостям практики, сколько на познание принципов и основ наук, 
на которых строится быстро изменяющаяся практическая деятельность, а также методов и приемов целенаправленного использования своих знаний. Тренировка в использовании этих методов 
к решению задач, диктуемых практикой, позволяет вырабатывать 
у студентов инициативу, творческий подход, умение самостоятельно решать задачи, постоянно возникающие в процессе развития 
строительного производства.
Модель как средство научно-экспериментального исследования. Со времен Галилея (т.е. с XVII в.) необходимым базисом 
научной теории и применения ее на практике становится эксперимент. Он стал существенным фактором науки в ее современном 
виде и занимает центральное место. Важность данного метода исследования заключена в его преимуществах [25]:
 
• «при эксперименте мы намеренно заставляем происходить 
то или другое и заставляем происходить так, чтобы наблюдение делалось удобным; мы устраняем то или другое из окружающих обстоятельств, наблюдаем изменения, которые являются при этом устранении, и делаем свои заключения (словом, 
активно воздействуем на предмет)»;

• «эксперимент позволяет исследовать свойства объектов, функционирующих в экстремальных условиях, что может привести 
к обнаружению самых неожиданных и удивительных свойств 
у обыкновенных вещей и тем самым позволяет глубоко проникнуть в их сущность»;
 
• «эксперимент может быть проведен, как правило, столько раз, 
сколько нужно для получения достоверных данных».
Таким образом, под экспериментом можно понимать совокупность действий, к которым приходится обращаться, чтобы задавать 
природе интересующие нас вопросы. Не каждый эксперимент, особенно в области военно-научного исследования, можно поставить 
на натурном объекте. Однако любой эксперимент — исследовательский, проверочный или иллюстративный — может быть осуществлен на «заменителе» данной натуры — модели. Важнейшим 
достоинством экспериментирования с моделью является возможность изучения ее в более широком диапазоне условий, чем это допускает непосредственное оперирование с оригиналом.
Модели бывают разные. Моделей бывает много. Чтобы выбрать 
одну из них, нужно понять, что мы хотим от модели, какие требования мы к ней предъявляем. Согласно определению В.А. Штоффа, 
«под моделью понимается такая мысленно представляемая или материально реализованная система, которая, отображая или воспроизводя объект исследования, способна заменить его так, что 
ее изучение дает нам новую информацию об этом объекте» [43]. 
Таким образом, если модель достаточно точно описывает объект, 
то ее эксперимент на объекте может быть заменен экспериментом 
на модели. Из всего существующего многообразия моделей в дальнейшем остановимся:
 
• на физических моделях, которые сходны с оригиналом по физической природе и геометрической форме;
 
• математических моделях, которые конструируются из элемен тов 
иной физической природы, по сравнению с оригиналом, но описываются той же системой математических зависимостей, что 
и оригинал.
Физическое и математическое моделирование широко применяется в научных исследованиях. Это объясняется тем, что натурные 
эксперимен ты на реальных строительных объектах зачастую невозможно организовать по различным соображениям (экономическим, 
временным, безопасности и т.д.).
Истинность как свойство модели. Истиной называется знание, 
соответствующее объективной действительности. Видимо, определение истинности модели не должно отличаться от общего и тради

ционного определения истинности в материалистической гносеологии. Иными словами, истинность модели означает соответствие 
модели объекту, а ложность модели состоит не просто в соответствии с оригиналом, а в наличии конкретной формы этого соответствия, которая предусматривается природой, типом моделей и целями применения модели в каждом отдельном случае.
Для моделей, обладающих с натурой одной и той же физической 
природой, условия их соответствия с оригиналом разработаны 
в теории подобия. К числу таких условий относится необходимость 
сохранения геометрического, кинематического, динамического теплового и других элемен тов подобия, учитываемых в каждом конкретном случае.
Условия сходства модели и объекта в математическом моделировании, основанном на физических аналогиях, предполагающих 
при различии физической природы процессов в модели и объекте 
тождество математической формы, в которой выражаются их общие 
закономерности, являются более общими.
Необходимо при этом иметь в виду, что при построении тех 
или иных моделей всегда сознательно отвлекаются от некоторых 
сторон, свойств и даже отношений, в силу чего заведомо допускается несохранение сходства между моделью и оригиналом 
по ряду параметров, которые вообще не входят в формулирование 
условий сходства. Исходя из этого можно сказать, что истинная модель — это такая модель, структура которой в рамках выбранных 
нами условий соответствия тождественна, совпадает со структурой 
оригинала, взятой в отвлечении от других свойств отношений 
и элемен тов. Следовательно, модель, в которой отсутствует тождество, совпадение ее структуры со структурой оригинала, будет 
ложной моделью.
Приведем пример. В задачах исследования несущей способности мостовых конструкций сходство между моделью и оригиналом должно заключаться в тождестве нагрузок, полей внутренних усилий и деформаций в сходственные момен ты времени. 
Для данных условий соответствия достаточно представить модель 
мостовой конструкции в виде ее кинематической схемы, сохраняя 
при этом пропорцио нальность внешних сил, действующих на оригинал и модель. В такой постановке наша модель отражает истину. 
Если мы хотим рассмотреть вопросы крепления элемен тов моста, 
то приведенная выше модель окажется ложью, так как сама кинематическая схема является лишь условным представлением элемен тов 
крепления. Таким образом, любая модель является истиной лишь 
в рамках выбираемых условий соответствия, т.е. истиной относи

тельной. Создание абсолютно истинной модели означало бы осуществление в модели полного соответствия с оригиналом, т.е. построение второго экземпляра этого объекта.
Модель является выражением относительной истины, потому 
что [38]:
 
• «каждая модель является временной, преходящей, отражающей 
лишь исторически определенной ступени проникновения познания в объективную структуру и закономерности функционирования объекта»;
 
• «каждая модель неизбежно является односторонней, частичной 
в силу тех отвлечений и упрощений, которые при ее помощи 
реализуются»;
 
• «многие модели относятся к объекту на основе аналогии, предполагающей различие в «физической» природе элемен тов модели и объекта»;
 
• «в некоторых моделях допускается элемент отхода от действительности, элемен ты научной фантазии, а следовательно, некоторые элемен ты фиктивности».
Невозможность построения абсолютно истинной модели и необходимость ограничиваться всегда лишь относительно истинными моделями не означает, что в моделях не могут содержаться 
зерна абсолютной истины. Динамическое единство абсолютного 
и относительного в модели обнаруживается довольно ясно, если 
взглянуть на процесс развития моделей, их выдвижения, изучения, 
экспериментальной проверки, последующего уточнения или изменения и, наконец, смены одной модели другой.
Модельный эксперимент как критерий истинности теории. 
Стремясь к достижению объективной истины, человек испытывает 
необходимость в критерии, с помощью которого он мог бы отличить 
ее от заблуждения. В связи с этим модель может рассматриваться 
как оружие проверки того, действительно ли существуют такие 
связи, отношения, структуры, закономерности, которые формируются в данной теории и выполняются в модели. Поэтому если модель построена так, что в ней выполняются все требования, условия, 
теоремы проверяемой теории или гипотезы, то ее успешная работа 
есть практическое доказательство истинности теории. Успех эксперимента с моделью есть косвенное вероятностное доказательство 
теории применительно к объекту. Это, конечно, заставляет предпочесть в качестве критерия истинности теории прямой эксперимент 
модельному. Однако такие эксперимен ты, как уже указывалось 
выше, не везде и не всегда практически возможны и теоретически 
осуществимы. Поэтому в подобных условиях моделирование яв

ляется важным способом проверки, испытания и косвенного доказательства истинности соответствующих теорий и выдвигаемых 
гипотез.
В большинстве случаев проверка истинности теоретических 
расчетов новой строительной конструкции начинается с лабораторного эксперимента, который осуществляется, как правило, на моделях отдельных элемен тов будущего сооружения. Разумеется, выводы из лабораторных модельных эксперимен тов нельзя считать 
безапелляционно истинными. Готовые образцы затем проходят 
испытания в сборке, которые завершаются государственными испытаниями.
Одной из проблем современной науки является разработка 
и внедрение в практику методов исследования динамики функционирования систем. При проектировании и создании сложных 
систем, их испытаниях и эксплуатации возникают многочисленные 
задачи, требующие знания количественных и качественных закономерностей, свойственных рассматриваемым системам. Особенно 
большое значение имеют вопросы, относящиеся к общей структуре 
системы, организации взаимосвязи между ее элементами, совокупному взаимодействию элемен тов системы с внешней средой, 
централизованному управлению функционированием элемен тов 
и т.д. Надежным инструментом в изучении этих вопросов является 
метод математического моделирования, который позволяет решать 
весьма сложные задачи.
Основные понятия моделирования. Модель — «объект или описание объекта, системы для замещения (при определенных условиях 
предложениях, гипотезах) одной системы (т.е. оригинала) другой 
системы для изучения оригинала или воспроизведения его какихлибо свойств». Модель — «результат отображения одной структуры 
на другую. Отображая физическую систему (объект) на математическую систему (например, математический аппарат уравнений), 
получим физико-математическую модель системы или математическую модель физической системы» [11].
Модели бывают трех типов: познавательные, прагматические 
и инструментальные [11].
Познавательная модель — «форма организации и представления 
знаний, средство соединения новых и старых знаний. Познавательная модель, как правило, подгоняется под реальность и является теоретической моделью».
Прагматическая модель — «средство организации практических 
действий, рабочего представления целей системы для ее управ

ления. Реальность в них подгоняется под некоторую прагматическую модель».
Это, как правило, прикладные модели.
Инструментальная модель «является средством построения, исследования и (или) использования прагматических и (или) познавательных моделей».
Познавательные модели «отражают существующие, а прагматические — хоть и не существующие, но желаемые и, возможно, 
исполнимые отношения и связи.
По уровню, «глубине» моделирования модели бывают: эмпирические — на основе эмпирических фактов, зависимостей; теоретические — на основе математических описаний; смешанные, полуэмпирические — использующие эмпирические зависимости и математические описания».
Основные требования к модели [5, 6, 11]:
 
• «наглядность построения;
 
• обозримость основных его свойств и отношений;
 
• доступность ее для исследования или воспроизведения;
 
• простота исследования, воспроизведения;
 
• сохранение информации, содержавшиеся в оригинале (с точностью рассматриваемых при построении модели гипотез) и получение новой информации».
Основная проблема моделирования включает три основные задачи [11]:
1) построение модели («эта задача менее формализуема и конструктивна, в том смысле, что нет алгоритма для построения моделей»);
2) исследование модели («эта задача более формализуема, имеются методы исследования различных классов моделей»);
3) использование модели («конструктивная и конкретизируемая 
задача»).
Рассмотрим классификацию моделей функционирования систем 
по своему функцио нальному предназначению [5, 6, 16, 20, 39].
Модель называется статической, «если в ней отсутствует временной параметр. Статическая модель в каждый момент времени 
дает лишь “фотографию” системы, ее срез».
Модель является динамической, «если в ней присутствует временной параметр, т.е. она отображает систему (процессы в системе) 
во времени».
Модель — дискретная, «если она описывает поведение системы 
только в дискретные момен ты времени».