Математическое моделирование тепловых процессов в отливках и формах

 

 
 
Электростальский политехнический институт (филиал) 
 

Э.С. Зальцман, В.В. Шемякин  

 

 

 

 

Рекомендован 
редакционно-издательским 
 советом института 

МАТЕМАТИЧЕСКОЕ МОДЕЛИРОВАНИЕ 
ТЕПЛОВЫХ ПРОЦЕССОВ В ОТЛИВКАХ 
И ФОРМАХ 

Практикум 

для студентов специальностей 1101 и 1104

МОСКВА 2001

 

УДК 669.2.001.573(076.5) 
3-25 

Зальцман Э.С., Шемякин В.В. Математическое моделирование тепловых процессов в отливках и формах: Практикум. –
М.: МИСиС, 2001. – 84 с. 

Практикум проводится по дисциплинам «Теплотехника», 
«Теория литейных процессов» и «Моделирование процессов и объектов в металлургии». В нем приведены необходимые для выполнения практических работ теоретические сведения, а также указания по 
компьютерному моделированию процесса затвердевания и охлаждения отливок типа пластин, цилиндров и шаров в однослойных и комбинированных формах и расчету термических напряжений в таких 
отливках. 
Практикум предназначен для студентов, обучающихся по 
специальностям 1101 и 1104. 
 
 
 
 
 
 

 Московский государственный 

институт стали и сплавов 
(Технологический университет),2001 
Электростальский политехнический 
институт (филиал МИСиС), 2001 

ОГЛАВЛЕНИЕ 

Введение .................................................................................................... 5 
I. Компьютерная модель тепловых процессов в отливках и формах .. 7 
1. Схемы тепловых процессов в отливках и формах ......................... 7 
1.1. Теплообмен отливки и формы .................................................. 7 
1.2. Термические напряжения в отливке ...................................... 10 
2. Описание компьютерной модели .................................................. 12 
2.1. Структура и алгоритм работы компьютерной модели ......... 12 
2.2. Описание программы моделирования ................................... 18 
2.3. Результаты тестирования компьютерной модели ................. 21 
2.4. Инструкция по использованию компьютерной модели ....... 22 
II. Выполнение заданий и особенности обработки  
результатов моделирования.............................................................. 24 
III. Естественное охлаждение отливки ................................................. 26 
Практическое занятие 1. Охлаждение плоской стенки отливки .... 26 
Практическое занятие 2. Влияние конфигурации отливки  
на ее температурный режим .......................................................... 29 
Практическое занятие 3. Охлаждение отливок со стержнями ....... 33 
Практическое занятие 4. Температурный режим литейной формы .. 37 
IV. Регулирование естественного охлаждения отливки ..................... 42 
Практическое занятие 5. Влияние температуры заливки  
на температурный режим отливки ................................................ 42 
Практическое занятие 6. Влияние подогрева формы  
на температурный режим отливки ................................................ 45 
Практическое занятие 7. Влияние материала формы  
на температурный режим отливки ................................................ 51 
V. Искусственное охлаждение отливки ................................................ 56 
Практическое занятие 8. Влияние наружных холодильников  
на температурный режим отливки ................................................ 56 
Практическое занятие 9. Принудительное охлаждение формы ..... 62 
Практическое занятие 10. Интенсификация охлаждения  
отливки в результате освобождения от формы ............................ 67 
Литература .............................................................................................. 73 
Приложения ............................................................................................ 74 
1. График вспомогательных функций ν для расчета  
термических напряжений .............................................................. 74 
2. Пример задания исходных данных для моделирования (файл in) ... 75 

3. Пример вывода на печать результатов моделирования (файл out) .. 77 
4. Физические свойства металлов и сплавов ................................... 79 
5. Теплофизические свойства формовочных смесей ...................... 80 
6. Коэффициент теплопроводности красок ...................................... 81 
7. Теплофизические свойства воздуха .............................................. 82 
8. Механические свойства металлов и сплавов ............................... 83 
 

ВВЕДЕНИЕ 

Формирование 
отливки, 
ее 
конфигурации, 
структуры, 
эксплуатационных свойств и дефектов происходит в процессе ее 
теплообмена с формой и окружающей средой. Тепловые процессы – 
затвердевание, охлаждение отливки, образование в ней термических 
напряжений и нагрев литейной формы – оказывают определяющее 
влияние на качество отливки. 
Широкие 
возможности 
для 
исследования 
теплового 
состояния отливки и формы создает математическое моделирование 
с использованием ЭВМ. 
Благодаря обширной памяти и огромному быстродействию 
современных ЭВМ, можно на стадии проектирования литейной 
технологии рассматривать многочисленные варианты теплоотвода от 
отливки и выбирать  наиболее целесообразные из них. Проведение 
вычислительных экспериментов позволяет упростить и ускорить 
разработку рациональной литейной технологии и уменьшить ее 
стоимость. 
Основной целью практических занятий является определение 
эффективности регулирования температурного режима отливки и 
формы с помощью различных технологических средств. 
В практикуме рассматриваются отливки типа пластины, 
длинного цилиндра и шара – сплошные и полые. Эти характерные 
теплотехнические конфигурации используются в тепловой теории 
литья для анализа особенностей температурных полей всего 
многообразия отливок. 
Математическое моделирование выполняется с помощью 
разработанной 
инж. 
В.В. Шемякиным 
программы 
численного 
расчета TERM. 
В 
расчетах 
затвердевания 
определяются 
толщина 
затвердевшего слоя и линейная скорость затвердевания, а в расчетах  
охлаждения – изменение температуры и скорости охлаждения в 
указанных точках отливки с течением времени. 
Особенностью методики обработки результатов работы 
является 
сопоставление 
температурных 
режимов 
отливки 
в 
рассматриваемых вариантах теплоотвода с температурным режимом 
отливки-эталона, указываемой преподавателем. 

В работе рассматриваются используемые на практике и 
теоретически возможные температурные режимы отливок при 
естественном охлаждении в песчаной форме и при искусственном 
охлаждении. 
При проведении занятий преподаватель может широко 
варьировать теплофизические свойства отливок, форм и стержней и 
параметры 
процесса 
теплообмена, 
благодаря 
чему 
создается 
возможность 
комплексного 
изучения 
тепловых 
процессов 
в 
отливках, формах и способов воздействия на эти процессы. 
Практикум способствует закреплению навыков использования 
ПЭВМ при подготовке инженеров. 

I. КОМПЬЮТЕРНАЯ МОДЕЛЬ 
ТЕПЛОВЫХ ПРОЦЕССОВ  
В ОТЛИВКАХ И ФОРМАХ 

1. Схемы тепловых процессов 
в отливках и формах 

1.1. Теплообмен отливки и формы 

В качестве основного механизма теплообмена в отливке и 
форме рассматривается процесс теплопроводности.  
Используется уравнение теплопроводности 

 
[
]
T
T
t
T
T
T
с
i
i
i
grad
)
(
div
)
(
)
(
λ
=
∂
∂
ρ
, 
(I.1) 

где Т – температура в точке в момент времени t; 
λ, 
с 
и 
ρ 
 – коэффициент 
теплопроводности, 
удельная 
теплоемкость и плотность, соответственно. 
Подстрочный индекс i обозначает следующие элементы 
отливки и формы: 1 – твердая фаза отливки; 2 – жидкая фаза 
отливки; 3 – форма или слой песчаной набивки, прилегающий к 
отливке; 4 – стержень; 5 – холодильник. 
Процесс теплообмена залитого металла и отливки с формой и 
окружающей 
средой 
рассматривается 
как 
совокупность 
последовательно протекающих этапов: нагрева формы при заливке, 
затвердевания, охлаждения отливки в форме и вне формы. 
Для учета прогрева формы и стержня перед заливкой и его 
воздействия на затвердевание и охлаждение отливки предусмотрена 
возможность задания произвольного начального распределения 
температуры формы и стержней 

 
5
;4
;3
,)
(
)
0,
(
н
=
=
i
х
Т
x
T
i
i
. 
(I.2) 

Нагрев формы и стержней расплавленным металлом при 
заливке учитывается путем задания на поверхности полости формы и 
на наружной поверхности стержней постоянной температуры 

 

b
K
b
K
Т
Т
+
⋅
=
1
зал
п
, 
(I.3) 

где Тзал – температура залитого металла; 
Кb 
= 
b2 / b3 
– 
соотношение 
коэффициентов 
тепловой 
аккумуляции жидкого металла и материала формы (стержня); 
b =
ρ
λ с
.
 
Температура Тп сохраняется неизменной на протяжении 
заливки. 
Предполагается, 
что 
процесс 
затвердевания 
отливки 
начинается 
в 
момент 
окончания 
заливки 
и 
протекает 
последовательно. При затвердвании и охлаждении отливки в 
песчаной форме предусматривается ее плотный контакт с формой. 
Учитывается образование газового  зазора между отливкой и 
металлической формой.  
На фронте затвердевания и эвтектоидного превращения 
происходит выделение скрытой теплоты. Учет тепловыделения 
осуществляется с использованием коэффициента эффективной 
теплоемкости  

 
с1эф(Т) = с1(Т) +





≥
≥
−

≥
≥
−

,
);
/(

;
);
/(

пк
пн
пк
пн
п

кр
Т
Т
Т
Т
Т
L

T
T
T
T
Т
L
S
L
S
L
 
(I.4) 

где 
Lкр, Lп   – скрытая теплота, выделяемая при затвердевании и  
эвтектоидном превращении; 
TL  и ТS  – температуры ликвидуса и солидуса; 

пн
Т
 и 
пк
Т
 – температура начала и конца эвтектоидного 
превращения.  
Предполагается, 
что 
затвердевание 
происходит 
при 
температуре Ткр = 0,5(TL + ТS), а эвтектоидное превращение при 
температуре 
Тп = 0,5(Тпн + Тпк). 
Поглощение 
теплоты 
при 
эвтектоидном превращении в процессе нагрева металлических форм, 
стержней и холодильников также учитывается с использованием (I.4) 
для соответствующих материалов. При этом Lп < 0. При охлаждении 

отливки после выбивки и нагреве формы на их наружной 
поверхности происходит конвективный и лучистый теплообмен.  
Для численного решения дифференциального уравнения 
теплопроводности 
использован 
метод 
конечных 
разностей, 
отличающийся простотой и наглядностью. Приближенное решение 
получается в заданном множестве точек-узлов, называемых сеткой. 
Процедура 
численного 
решения 
начинается 
с 
замены 
дифференциальных уравнений их разностными аналогами. 
При 
составлении 
разностного 
аналога 
исходного 
дифференциального уравнения область непрерывного изменения 
аргумента заменяется дискретной областью, а дифференциальный 
оператор – так называемым разностным оператором. Близость 
приближенного решения к точному зависит от выбора величины 
шагов сетки в пространстве и во времени. 
Так, например, при разностном решении одномерного уравнения 
теплопроводности для случая, соответствующего бесконечной пластине, 

 
2

2

х
Т
a
t
T
∂
∂
⋅
=
∂
∂
, 
(I.5) 

где 
ρ
λ
= с
а
 – коэффициент температуропроводности. 

Входящие в (I.5) производные приближенно представляются 
(аппроксимируются) производными в конечных разностях:  

 
(
)

t

T
Т

t
T
k
n
k
n
∆

−
≈
∂
∂
+
,
,1
; 
(I.6) 

 

(
)2
2

2
,1
,
2
,1
,1
,
,
,1
1

x

k
n
T
k
n
T
k
n
Т

x

k
n
T
k
n
Т

x

k
n
T
k
n
Т

x
x

T

∆

−
+
⋅
−
+
=
∆

−
−
−
∆

−
+
⋅
∆
≈
∂

∂









,(I.7) 

где ∆t и ∆х – шаги по времени и пространственной координате,  
k и n – их номера. 
При этом, зная распределение температуры в теле для k-го 
момента времени, можно найти распределение температур для 
последующего интервала времени (k + 1) и т.д. 

k
n
T
x

t
a
k
n
T
k
n
Т

x

t
а
k
n
Т
,
)1
2
(
2
,1
,1
2
1
,
2
2
−
∆

∆
−
−
+
+

∆

∆
=
+
. 
(I.8) 

В данном уравнении значения частных производных от 
температуры по времени и от температуры по координате заменены их 
приближенными значениями, а соответствующие дифференциалы – 
конечными приращениями. 
Для выполнения условий сходимости метода шаг по времени 
выбирается с учетом соотношения 

 
а
x
t
2

2
∆
≤
∆
. 
(I.9) 

Данные расчета температурного поля отливки используются 
для определения термических напряжений. 

1.2. Термические напряжения в отливке 

Термические напряжения в отливках возникают при наличии 
температурных 
перепадов 
по 
толщине 
отливки 
между 
ее 
поверхностью и центром массы. 
Температурные перепады по толщине отливки однозначно 
зависят от скорости ее охлаждения в форме. Чем больше скорость 
охлаждения, тем при прочих равных условиях больше будут и 
температурные перепады по толщине отливки. Под скоростью 
охлаждения понимается производная температуры рассматриваемой 
точки отливки по времени: 

 
t
Т
S
∂
∂
−
=
. 
(I.10) 

Имея температурную кривую охлаждения рассматриваемой 
точки отливки, можно определить скорость ее охлаждения в момент 
достижения любой заданной температуры. 
Известны следующие зависимости для расчета напряжений [8]: 

в пластине 

 
(
)









































=
σ
+
⋅
⋅
−
⋅
µ
−
⋅
⋅
β
⋅
⋅
6

2
1
2

2
3
1
6
1
1

2
v

R

x
а
S
R
Е
п
, 
(I.11) 

где 
σп – напряжение в отливке пластины; 
Е – модуль упругости; 
R – половина толщины отливки; 
β – коэффициент линейного расширения металла отливки; 
S – скорость охлаждения рассматриваемой точки отливки; 
a – коэффициент температуропроводности; 
µ – коэффициент Пуассона; 
ν – вспомогательная функция; 
х – текущая пространственная координата; 

в цилиндре 

 















 +
⋅






 −
⋅
µ
−
⋅
⋅
β
⋅
⋅
σ
=
8
1
1
16
1
)
1(

2

2

2
2

цр
v
R
r
a
S
R
E
; 
(I.12) 

 
(
)









































σ
+
⋅
⋅
−
⋅
µ
−
⋅
⋅
β
⋅
⋅
=
8
1
3
1
16

1
2

2

2
2

1
цт
v

R

r
a
S
R
E
; 
(I.13) 

 
(
)
























=
σ
+
⋅
⋅
−
⋅
µ
−
⋅
⋅
β
⋅
⋅
8
1
2
1
8
1
1

2

цо
2

2
2
v
R
r
a
S
R
E
; 
(I.14) 

где 
σцр – радиальное напряжение; 
σцт – тангенциальное напряжение;  
σцо – осевое напряжение; 
r – текущая пространственная координата; 

в шаре 

 
(
)
























=
σ
+
⋅
−
⋅
µ
−
⋅
⋅
β
⋅
⋅
10
1
1
15
1
1

2

2

2
2

шр
v
R
r
a
S
R
E
; 
(I.15) 

 
(
)
























=
σ
+
⋅
⋅
−
⋅
µ
−
⋅
⋅
β
⋅
⋅
10
1
2
1
15
1
1

2

2

2
2

шт
v
R
r
a
S
R
E
; 
(I.16) 

где 
σшр – радиальное напряжение; 
σшт – тангенциальное напряжение.  

Напряжения растяжения имеют знак плюс, а напряжения 
сжатия – знак минус. 
Значения вспомогательной функции ν даны в прил. 1. 
После расчета напряжений, возникающих в отливке при 
охлаждении, они сопоставляются с пределом прочности металла с 
учетом запаса прочности и делается вывод о возможности 
образования трещин для заданных условий формирования отливки. 
Данные 
зависимости 
в 
совокупности 
с 
расчетами 
температурнрого поля позволяют оценить термические напряжения и 
определить условия предотвращения трещинообразования. 

2. Описание компьютерной модели 

2.1. Структура и алгоритм работы компьютерной модели 

Обобщенная структура компьютерной модели представлена 
на рис. I.1.  
Совокупность исходных данных включает в себя:  
− тип задачи (пластина, цилиндр, шар);  
− геометрические размеры системы «стержень − краска − 
отливка – форма»;  
− температуру заливки и начальную температуру стержня и 
формы; 
− теплофизические 
свойства 
системы 
(данные 
о 
теплопроводности, теплоемкости, плотности материалов 
слоев системы);  
− характеристику прочности и упругости металла отливки; 
− продолжительность 
моделирования 
процесса 
и 
его 
дискретность по времени;  
− данные об управлении выводом результатов (значения 
контрольных точек по временной и пространственной 
координате, выбор полного или частичного вывода 
результатов на печать). 
Блок ввода исходных данных предназначен для считывания 
вышеперечисленных данных из файла в память компьютера. 
Некоторые часто используемые в расчетах параметры, такие, как 
коэффициент температуропроводности или коэффициент аккумуляции 
теплоты, 
необходимо 
многократно 
пересчитывать 
в 
процессе 
моделирования для их использования в различных блоках модели. Эту 
функцию выполняет блок определения расчетных коэффициентов.