Школьные олимпиады СПбГУ. Медицина 2020

САНКТ-ПЕТЕРБУРГСКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ УНИВЕРСИТЕТ

ШКОЛЬНЫЕ ОЛИМПИАДЫ СПбГУ 2019

МАТЕМАТИКА

Учебно-методическое пособие

ИЗДАТЕЛЬСТВО САНКТ-ПЕТЕРБУРГСКОГО УНИВЕРСИТЕТА

УДК 51
ББК 22.1
Ш673

С о с т а в и т е л и: М. В. Гончарова, А. Л. Громов,
А. В. Дементьев, Т. О. Евдокимова, К. П. Кохась,
К. Ю. Лавров, К. А. Сухов, А. И. Храбров

Ш673
Школьные олимпиады СПбГУ 2019. Математика: учеб.-метод. пособие. — СПб.: Изд-во С.-Петерб.
ун-та, 2019. — 146 с.

ISBN 978-5-288-05949-0

В пособии представлены примеры заданий отборочного и заключительного этапов Олимпиады школьников СПбГУ по математике за 2018/19 учебный год. Все задачи сопровождаются подробными решениями; также даются общие методические
указания с разбором типичных ошибок участников.
Издание предназначено для подготовки к участию в Олимпиадах школьников СПбГУ.

УДК 51
ББК 22.1

ISBN 978-5-288-05949-0

c⃝
Санкт-Петербургский
государственный
университет, 2019

СОДЕРЖАНИЕ

Предисловие . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
5

История Олимпиады школьников СПбГУ
по математике. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
7

Порядок проведения Олимпиады .. . . . . . . . . . . . . . . . . .
9

Отборочный этап . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
11
Условия задач . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
11
6–9 классы . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
11
10–11 классы . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
13
Ответы и решения . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
15
6–9 классы . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
15
10–11 классы . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
21

Заключительный этап . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
29
Условия задач . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
29
6–7 классы . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
29
8–9 классы . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
36
10–11 классы . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
40
Ответы и решения . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
50
6–7 классы . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
50
8–9 классы . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
64
10–11 классы . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
80

Общие методические указания
и типичные ошибки участников. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
136

Литература, рекомендуемая для подготовки
к Олимпиаде . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
143

ПРЕДИСЛОВИЕ

Олимпиада
по
математике
для
школьников,
которую
Санкт-Петербургский государственный университет ежегодно
проводит вот уже почти 30 лет, дает возможность участникам
проверить и оценить свои знания и силы. Задания Олимпиады, хотя и являются нестандартными, основаны на школьной
программе, поэтому их интересно решать учащимся с разным
уровнем подготовки — каждый год в Олимпиаде принимают
участие тысячи ребят из разных регионов.
В настоящий сборник вошли задачи отборочного и заключительного этапов Олимпиады школьников СПбГУ по математике за 2018/19 учебный год. В разделы с условиями и решениями заданий отборочного этапа включены отдельные, наиболее интересные, по мнению составителей, задачи этого этапа.
Они разбиты на группы в соответствии со сложностью (10, 20,
30 или 40 баллов). Для того, чтобы понять, что представляет из себя вариант отборочного этапа, нужно выбрать по одной какой-нибудь задаче из каждой группы. В разделах, которые посвящены заключительному этапу, приведен полный
набор вариантов заданий этого этапа. Все задачи, представленные в сборнике, сопровождаются ответами и подробными
решениями; для некоторых задач приводятся два способа решения. Кроме того, даются общие методические указания и
разбор типичных ошибок, которые были сделаны участниками
при решении заданий Олимпиады.
Олимпиада школьников СПбГУ по математике вот уже который год подряд получает первый — самый высокий — уровень в перечне олимпиад школьников, который утверждается
Министерством науки и высшего образования РФ. Это дает
возможность победителям и призерам заключительного этапа

5

Олимпиады претендовать на те или иные льготы при поступлении в высшие учебные заведения.
Данное издание предназначено как для учащихся, так и для
преподавателей, которым оно будет полезным при подготовке
к участию в олимпиадах школьников по математике.

6

ИСТОРИЯ ОЛИМПИАДЫ ШКОЛЬНИКОВ СПбГУ
ПО МАТЕМАТИКЕ

На протяжении всего времени своего существования СанктПетербургский (Ленинградский) государственный университет
традиционно уделял большое внимание привлечению в Университет способной молодежи. Особую роль в этом играла работа со школьниками. По инициативе профессора Г. М. Фихтенгольца при ЛГУ был создан первый школьный математический кружок. В 1934 году Ленинградский университет провел первую в стране математическую олимпиаду, оргкомитет
которой возглавили такие крупные ученые, как Б. Н. Делоне,
Г. М. Фихтенгольц, В. А. Тартаковский, В. И. Смирнов.
Первая олимпиада по математике Ленинградского государственного университета для учащихся выпускных классов
состоялась весной 1990 года. В ней приняли участие около
200 учащихся, в основном из ведущих физико-математических
школ города. В определенной степени эта олимпиада была и
профориентационным мероприятием, но основная ее цель была
в другом. Дело в том, что с конца 1970-х годов городская олимпиада школьников по математике стала по сути дела спортивным соревнованием. Для успешного выступления на ней была
необходима специальная тренировка в решении задач по тематике, слабо связанной с материалом, который изучается в
школе (даже в физико-математической). Задачи же олимпиады выпускников были не «олимпиадными» и не школьными,
а «почти школьными», поэтому эта олимпиада начала привлекать учащихся обычных школ — ведь в ней интересно было
участвовать всем тем, кто хорошо знал и понимал школьную
математику, а также умел логически рассуждать. Со временем
олимпиада завоевала авторитет среди школьников, и успешное

7

выступление на ней стало приравниваться к высшему баллу на
вступительном экзамене по математике в Университет.
С 1998 года олимпиада получила статус региональной и
стала проводиться не только в Санкт-Петербурге, но и в других городах России. С 2004 года олимпиада получила название
«Олимпиада Санкт-Петербургского государственного университета по математике», а с 2009 года — «Олимпиада школьников Санкт-Петербургского государственного университета по
математике». Активно участвовать в олимпиаде стали ученики не только выпускных, но и средних классов (с 6 по 10).
С 2011 года отборочный этап Олимпиады проводится как в
очной, так и в заочной форме — через Интернет. Тем самым обеспечивается широкая география Олимпиады: например, в 2018/19 учебном году в отборочном этапе приняли участие более 8000 школьников практически из всех субъектов
Российской Федерации, а также из девяти государств ближнего и дальнего зарубежья; более 900 из них участвовало в
заключительном этапе. Победителями и призерами заключительного этапа Олимпиады стали ребята из 30 субъектов РФ,
а также из Белоруссии и Таджикистана.
В Методическую комиссию, составляющую задания для
Олимпиады, входят профессиональные математики. Поэтому
среди задач регулярно встречаются такие, которые появились
в процессе научных исследований, а не были придуманы специально для Олимпиады. С 1991 по 2001 год председателем
Жюри Олимпиады был доцент (ныне — профессор) О. А. Иванов, а с 2002 года — профессор Ю. В. Чурин. Организацией
Олимпиады долгие годы руководил член-корреспондент РАН,
профессор Г. А. Леонов.

Сайт Олимпиады школьников СПбГУ:

https://olympiada.spbu.ru/

Интернет-страница Олимпиады по математике:
https://olympiada.spbu.ru/index.php/olimpiadashkolnikov/matematika

8

ПОРЯДОК ПРОВЕДЕНИЯ ОЛИМПИАДЫ

В настоящее время Олимпиада проводится в два этапа — отборочный и заключительный. Отборочный этап проходит в октябре — январе в заочной форме через Интернет; при этом каждый участник может выбрать удобное для себя время, чтобы
приступить к выполнению заданий Олимпиады. Победители и
призеры отборочного этапа допускаются к участию в заключительном этапе, который проводится в очной форме в СанктПетербурге и ряде регионов в феврале — марте. Также в заключительном этапе могут участвовать без прохождения отборочного этапа победители и призеры заключительного этапа
Олимпиады прошлого года в том случае, если они еще продолжают обучение в школе. Окончательные итоги Олимпиады
подводятся в начале апреля.
Вариант отборочного этапа состоит из четырех задач разного типа и уровня сложности; при этом задание для каждого
участника формируется автоматически системой проведения
Олимпиады через Интернет. Для учащихся 6–9 и 10–11 классов используются различные наборы задач. На решение варианта отводится 60 минут. Входящие в него задачи расположены
в порядке возрастания сложности и оцениваются в 10, 20, 30
и 40 баллов соответственно. Первая задача является тестовой,
в ней нужно выбрать правильные варианты ответа из предложенных; во второй требуется дать свой ответ без решения.
В третьей и четвертой задачах участник должен привести полные решения. Перед тем, как приступить к выполнению заданий отборочного этапа, участники имеют возможность для тренировки прорешать демонстрационные варианты, которые составлены из заданий отборочного этапа Олимпиады прошлых
лет.

9

Вариант заключительного этапа состоит из шести задач
различной тематики, каждая из которых оценивается одинаковым количеством баллов. Распределение заданий этого этапа
по классам следующее: 6–7, 8–9 и 10–11 классы. На решение
варианта отводится 230 минут.
Как в отборочном этапе, так и в заключительном допускается только однократное участие. Подробнее о порядке проведения Олимпиады см. в Регламенте Олимпиады школьников
СПбГУ на официальном сайте.

10