Метрология : технические измерения и приборы

№ 1439

ФЕДЕРАЛЬНОЕ АГЕНТСТВО ПО ОБРАЗОВАНИЮ

Кафедра металлургии стали и ферросплавов

С.В. Коминов

Метрология

Технические измерения и приборы

Практикум

Рекомендовано редакционноиздательским
советом университета

Москва   Издательский Дом МИСиС
2009

УДК 681.5 
 
К63 

Р е ц е н з е н т  
канд. техн. наук, доц. Г.Г. Шапкарина 

Коминов С.В. 
К63  
Метрология: Технические измерения и приборы. – М.: Изд. 
Дом МИСиС, 2009. – 113 с. 
ISBN 878-5-87623-242-7 

В практикуме изложены методы и примеры выполнения практических 
инженерных расчетов. Рассматриваются математическая обработка результатов прямых, косвенных, совместных и совокупных измерений; выявление 
систематических погрешностей в результатах измерений, расчет измерительных схем автоматических электронных уравновешенных мостов и автоматических потенциометров, сужающих устройств для измерения расхода; использование газового анализа для контроля в конвертерном производстве, 
присвоение класса точности средствам измерений, оценка действительной 
температуры объектов по пирометрической температуре. 
Предназначен для студентов специальностей 220301 «Автоматизация 
технологических процессов и производств» и 150101 «Металлургия черных 
металлов». 

УДК 681.5 

ISBN 878-5-87623-242-7 
© Государственный технологический 

университет «Московский институт
стали и сплавов» (МИСиС), 2009 

ОГЛАВЛЕНИЕ 

1. Математическая обработка результатов прямых измерений ...........5 
1.1. Теоретическое введение................................................................5 
1.2. Задачи по обработке результатов прямых измерений................8 
2. Математическая обработка результатов косвенных измерений ....13 
2.1. Теоретическое введение..............................................................13 
2.2. Задачи по обработке результатов косвенных измерений ........17 
3. Математическая обработка результатов совокупных 
и совместных измерений........................................................................23 
3.1. Теоретическое введение..............................................................23 
3.2. Задачи по обработке результатов совместных измерений ......33 
4. Способы обнаружения и устранения систематических 
погрешностей в результатах измерений...............................................39 
4.1. Теоретическое введение..............................................................39 
4.2. Задачи по обнаружению и устранению систематических 
погрешностей......................................................................................46 
5. Расчет измерительной схемы автоматического 
электронного уравновешенного моста .................................................53 
5.1. Теоретическое введение..............................................................53 
5.2. Последовательность расчета измерительной схемы 
автоматического электронного уравновешенного моста................55 
5.3. Пример расчета............................................................................57 
5.4. Задача по расчету измерительной схемы автоматического 
электронного уравновешенного моста .............................................58 
6. Расчет измерительной схемы автоматического электронного 
потенциометра ........................................................................................60 
6.1. Теоретическое введение..............................................................60 
6.2. Последовательность расчета измерительной схемы................63 
6.3. Пример расчета............................................................................66 
6.4. Задача по расчету измерительной схемы 
автоматического электронного потенциометра...............................67 
7. Расчет сужающих устройств для измерения расхода .....................69 
7.1. Теоретическое введение..............................................................69 
7.2. Последовательность расчета сужающих устройств.................69 
7.3. Пример расчета............................................................................74 
7.4. Задачи по расчету сужающих устройств для измерения 
расхода.................................................................................................76 
8. Применение газового анализа в конвертерном производстве........77 

8.1. Теоретическое введение..............................................................77 
8.2. Последовательность расчета ......................................................79 
8.3. Задача по применению газового анализа 
для технологических расчетов ..........................................................81 
9. Класс точности средства измерений.................................................83 
9.1. Теоретическое введение..............................................................83 
9.2. Примеры расчета .........................................................................85 
9.3. Задачи по использованию класса точности 
в технических расчетах......................................................................86 
10. Методы оценки технологически допустимых 
пределов погрешности измерений........................................................91 
10.1. Теоретическое введение............................................................91 
10.2. Задачи по оценке технологически допустимых 
пределов погрешностей измерений ..................................................93 
11. Оценка погрешности реохорда автоматического моста ...............96 
11.1. Теоретическое введение............................................................96 
11.2. Задачи по оценке погрешности реохорда 
автоматического моста.......................................................................97 
12. Оценка действительной температуры объекта по 
пирометрической температуре............................................................100 
12.1. Оценка действительной температуры объекта 
по яркостной и методической погрешностям измерения.............100 
12.2. Оценка действительной температуры объекта 
по радиационной и методической погрешностям измерения ......101 
Библиографический список.................................................................104 
Приложения ..........................................................................................105 
 

1. МАТЕМАТИЧЕСКАЯ ОБРАБОТКА 
РЕЗУЛЬТАТОВ ПРЯМЫХ ИЗМЕРЕНИЙ 

1.1. Теоретическое введение 

Предположим, что выполнены прямые измерения (т.е. такие, при 
которых искомые значения величин находят непосредственно из 
опытных данных) параметра x: 

 
x1; x2; ...; xn, 

где n – число измерений. 

Из результатов измерений исключены систематические погрешности. Предполагается, что результаты измерений подчиняются нормальному закону распределения. 

Последовательность математической 
обработки результатов прямых измерений 
1. Оцениваются все результаты измерений, выявляются результаты, содержащие грубые погрешности и промахи, они исключаются 
(отбрасываются) из дальнейшего рассмотрения. 
2. Определяется оценка истинного значения измеряемой величины – среднее арифметическое результатов измерений: 

 
1
.

n

i

i

x

x
n

=
= ∑
 

3.  
а) при известной теоретической дисперсии 
2
x
σ  вычисляется среднее квадратическое отклонение среднего значения: 

 

2

,
x
x
x
n
n

σ
σ
σ =
=
 

где σх – среднее квадратическое отклонение от среднего значения. 

б) при неизвестной теоретической дисперсии вычисляются: 
• оценка дисперсии от среднего арифметического: 

(
)

2

2

1
1
2
;
1

n
n

i
i
i
i
x

n
x
x
S
n n

=
=

⎛
⎞
− ⎜
⎟
⎝
⎠
=
−
∑
∑
 

• оценка среднего квадратического отклонения от среднего значения: 

 
2 ;
x
x
S
S
=
 

• оценка среднего квадратического отклонения среднего значения: 

 

2

.
x
x
x

S
S
S
n
n

=
=
 

4. Определяется доверительная погрешность δP при определенном 
значении доверительной вероятности Р (обычно в технических измерениях Р = 0,95): 
при известной теоретической дисперсии 
P
x Pt
δ = σ
; 
при неизвестной теоретической дисперсии 
P
x P
S t
δ =
, 
где tP – табличное значение критерия Стьюдента при доверительной 
вероятности Р и числе степеней свободы ч.с.с. = (n – 1) (прил. 1). 

5. Итог измерений – интервальная оценка результатов прямых измерений записывается в виде: 

 
P
Q
x
=
± δ ; P =...; n =... . 

Словесная интерпретация записи: 
Доверительный интервал (
) (
)
...
P
P
x
x
− δ
+ δ
 с доверительной вероятностью Р накрывает истинное значение измеряемой величины. 
Геометрическая интерпретация представлена на рис. 1.1. 

(1 – Р)/2 
(1 – Р)/2 
Р 

(
)
P
x − σ
(
)
P
x + σ
х 
 

Рис. 1.1. Геометрическая интерпретация итога измерений 

В среднем в 100 % всех выборок между полученными границами 
доверительного интервала заключено истинное значение параметра: 
максимум в 100(1 – Р) процентах всех выборок истинное значение параметра не накрывается этим интервалом. В среднем 100(1 – Р) / 2 процентов всех выборок имеют истинное значение параметра справа и 
100(1 – Р) / 2 процентов – слева от доверительного интервала. 
Примечание. В некоторых случаях при обработке результатов прямых измерений может быть задана не теоретическая дисперсия, а доверительная погрешность δP 
или длина доверительного интервала ΔP = 2δP. Тогда при оценивании результатов 
измерений (п. 1) необходимо включать в дальнейшую обработку результаты, попадающие в доверительный интервал ΔP, а пункты, связанные с вычислением δP, исключаются. В случае выпадения большого числа результатов за пределы интервала 
ΔP следует проводить дополнительные измерения. 

Пример обработки результатов прямых 
измерений при известной дисперсии 
Выполнены измерения содержания углерода в пробе чугуна. Получены следующие результаты: 4,35; 4,53; 4,42; 4,37 %. По ГОСТ 22536.1–
77 в интервале 2,5…5,0 % допускаемые расхождения в результатах 
параллельных определений ΔP = 0,10 %. Вычислить оценку истинного значения содержания углерода в пробе чугуна. 

Решение 
1. Расположим результаты измерений в порядке возрастания: 

 
4,35 4,37 4,42 4,53 

 
0,07 < 0,10 

В интервал 4,35…4,42 попадают три результата из четырех. Результат 4,53 как содержащий грубую погрешность или промах, может быть отброшен из дальнейшего анализа. 
2. Среднее арифметическое результатов измерений: 

 
∑х = 4,35 + 4,37 + 4,42 = 13,14, 

 
x  = 13,14 / 3 = 4,38. 

3, 4, 5. Поскольку доверительная погрешность известна, можно 
сразу записать интервальную оценку. 

 
δP = ΔP / 2 = 0,10 / 2 = 0,05; 

 
[С] = 4,38 ± 0,05 %; Р = 0,95; n = 3. 

Доверительный интервал 4,33…4,43 % с доверительной вероятностью Р = 0,95 накрывает истинное значение измеряемого параметра. 

Пример обработки результатов прямых 
измерений при неизвестной дисперсии 
Выполнено титрование и получены следующие результаты [2]: 
76,48 77,20 76,45 76,48 76,43 79,50 ,76,25 76,48 76,60 см 3. 
Определить интервальную оценку истинного значения результата 
титрования. 

Решение 
1. Оценивание результатов титрования показывает, что результат 
79,50, вероятнее всего, содержит грубую погрешность или промах и поэтому из дальнейшего рассмотрения должен быть исключен, т.е. n = 8. 
2. Вычисляются: 

 
∑х = 612,37; 
 
∑х2 = 46875,1810; 
 
x  = 612,37 / 8 = 76,546... ≈ 76,55 см 3. 

3. 
(
)
(
)

2
2
8 46875,1810
612,37
0,0791;
8
8 1
x
S
⋅
−
=
=
⋅
−
 

0,0791
0,281
x
S =
=
 см3; 

0,281
0,099

8
x
S =
=
 см3. 

4. Выбираем доверительную вероятность Р = 0,95; ч.с.с. = 8 – 1 = 7. 
Определяем по таблицам критерий Стьюдента t0,95 = 2,365. 
Тогда δP = 0,099⋅2,365 = 0,235 ≈ 0,24 см 3. 
5. Итог вычислений – интервальная оценка: 

 
Q = 76,55 ± 0,24 см3; Р = 0,95; n = 8. 

Доверительный интервал 76,31…76,79 см3 накрывает с доверительной вероятностью Р = 0,95 истинное значение искомого параметра. 

1.2. Задачи по обработке результатов 
прямых измерений 

Задача 1.1. Выполнены прямые измерения параметров и полученные результаты приведены в табл. 1.1. 

Таблица 1.1 

№ варианта 
Параметр 
Результаты измерений, % или °С 
Доверительная 
погрешность или 
доверительный 
интервал 

1 
2 
3 
4 

1.1.1 
[C]Ч 
4,28 4,35 4,33 4,42 4,29 4,31 4,26 
δР = ±0,05 

1.1.2 
[Si]Ч 
0,95 1,01 1,07 1,05 1,03 1,02 
ΔР = 0,07 

1.1.3 
[Mn]Ч 
0,65 0,68 0,66 0,71 0,67 0,65 
ΔР = 0,03 

1.1.4 
[P]Ч 
0,565 0,569 0,557 0,595 0,578 0,582 
δР = ±0,002 

1.1.5 
[S]Ч 
0,058 0,062 0,056 0,060 0,063 0,070 0,064 
ΔР = 0,008 

1.1.6 
[N]Ч 
0,0078 0,0082 0,0076 0,0075 0,0072 0,0095 
ΔР = 0,0010 

1.1.7 
tЧ 
1360 1360 1350 1355 1370 1355 1365 
δР = ±9 

1.1.8 
[C]Ч 
4,08 4,10 4,01 4,11 4,12 4,20 4,09 
ΔР = 0,10 

1.1.9 
[Mn]Ч 
0,25 0,25 0,27 0,26 0,30 0,27 
δР = ±0,010 

1.1.10 
[Si]Ч 
0,78 0,82 0,81 0,79 0,80 0,87 
δР = ±0,02 

1.1.11 
[P]Ч 
0,278 0,288 0,292 0,280 0,310 0,290 
ΔР = 0,020 

1.1.12 
[S]Ч 
0,048 0,042 0,043 0,045 0,052 0,044 
δР = ±0,003 

1.1.13 
[N]Ч 
0,0055 0,0058 0,0051 0,0070 0,0054 0,0060 
δР = ±0,0005 

1.1.14 
tЧ 
1280 1295 1290 1260 1285 1290 
ΔР = 18 

1.1.15 
[C]СТ 
0,22 0,25 0,24 0,29 0,22 0,23 
ΔР = 0,030 

1.1.16 
[Mn]СТ 
0,15 0,14 0,18 0,14 0,15 0,15 
ΔР = 0,010 

1.1.17 
[Si]СТ 
0,29 0,30 0,29 0,35 0,32 0,31 
δР = ±0,015 

1.1.18 
[P]СТ 
0,024 0,026 0,030 0,024 0,021 0,023 
ΔР = 0,004 

1.1.19 
[S]СТ 
0,025 0,022 0,023 0,021 0,025 0,023 
ΔР = 0,004 

1.1.20 
[O]СТ 
0,030 0,032 0,045 0,033 0,031 0,034 
δР = ±0,004 

1.1.21 
[N]СТ 
0,0045 0,0040 0,0038 0,0042 0,0044 0,0039 
δР = ±0,0004 

1.1.22 
tСТ 
1620 1630 1625 1630 1630 1640 
δР = ±5 

1.1.23 
[Gr]СТ 
5,65 5,62 5,67 5,70 5,69 5,81 
δР = ±0,050 

1.1.24 
[Ni]СТ 
1,52 1,59 1,55 1,57 1,43 1,55 
ΔР = 0,08 

1.1.25 
[Al]СТ 
0,065 0,075 0,067 0,079 0,069 0,076 
ΔР = 0,015 

1.1.26 
[Ti]СТ 
0,75 0,72 0,78 0,74 0,85 0,75 
δР = ±0,030 

1.1.27 
[V]СТ 
1,58 1,53 1,55 1,59 1,60 1,59 
ΔР = 0,07 

1.1.28 
[W]СТ 
4,81 4,95 4,65 4,90 4,89 4,88 
ΔР = 0,15 

1.1.29 
[Mo]СТ 
3,22 3,31 3,35 3,33 3,34 3,36 
δР = ±0,04 

1.1.30 
[Nb]СТ 
1,00 1,07 1,04 1,20 1,05 1,06 
δР = ±0,06 

1.1.31 
[C] Ч 
4,23 4,33 4,37 4,24 4,27 4,23 4,25 
δР = +0,05 

1.1.32 
[Si] Ч 
0,85 0,92 0,97 0,93 0,92 0,95 
ΔР = 0,07 

1.1.33 
[Mn] Ч 
0,56 0,59 0,58 0,62 0,59 0,56 
ΔР = 0,03 

1.1.34 
[P] Ч 
0,505 0,509 0,497 0,518 0,522 
δР = +0,02 

1.1.35 
[S] Ч 
0,054 0,058 0,052 0,056 0,059 0,066 0,060 
ΔР = 0,008 

1.1.36 
[C] СТ 
0,25 0,28 0,27 0,32 0,25 0,26 0,25 
ΔР = 0,030 

1.1.37 
[Si] СТ 
0,35 0,36 0,35 0,40 0,37 0,37 0,38 
δР = +0,015 

1.1.38 
[Mn] СТ 
0,17 0,16 0,20 0,17 0,16 0,17 
ΔР = 0,010 

Окончание табл. 1.1 

№ варианта 
Параметр 
Результаты измерений, % или °С 
Доверительная 
погрешность или 
доверительный 
интервал 

1.1.39 
[P] СТ 
0,022 0,024 0,028 0,022 0,019 0,021 
ΔР = 0,004 

1.1.40 
[S] СТ 
0,028 0,025 0,026 0,024 0,028 0,028 0,026 
ΔР = 0,004 

1.1.41 
[C] Ч 
4,16 4,18 4,09 4,20 4,19 4,29 4,18 
ΔР = 0,10 

1.1.42 
[Si] Ч 
0,63 0,67 0,66 0,64 0,65 0,62 0,72 
δР = +0,02 

1.1.43 
[Mn] Ч 
0,36 0,36 0,38 0,37 0,41 0,38 
δР = +0,010 

1.1.44 
[P] Ч 
0,258 0,268 0,272 0,260 0,290 0,270 0,265 
ΔР = 0,020 

1.1.45 
[S] Ч 
0,044 0,038 0,039 0,041 0,048 0,040 0,041 
δР = +0,003 

1.1.46 
[C] Ч 
4,27 4,37 4,41 4,28 4,31 4,27 4,29 
δР = +0,05 

1.1.47 
[Si] Ч 
0,79 0,86 0,91 0,87 0,86 0,89 0,90 
ΔР = 0,07 

1.1.48 
[Mn] Ч 
0,59 0,62 0, 65 0,62 0,59 0,60 
ΔР = 0,03 

1.1.49 
[P] Ч 
0,515 0,519 0,507 0,528 0,532 
δР = +0,02 

1.1.50 
[S] Ч 
0,059 0,063 0,057 0,061 0,064 0,061 0,060 
ΔР = 0,008 

Определить интервальные оценки результатов прямых измерений 
и дать словесную интерпретацию записи интервальной оценки. 

Задача 1.2. После окончания разливки стали отобран слиток для 
определения массы. Выполнено несколько повторных взвешиваний и 
полученные результаты приведены в табл. 1.2. 

Таблица 1.2 

№ варианта 
Результаты измерений, т 

1.2.1 
13,1 13,4 13,2 13,4 13,5 13,1 14,0 13,3 13,3 

1.2.2 
15,8 15,7 15,8 16,0 16,0 17,0 15,9 15,8 16,0 

1.2.3 
6,75 6,70 6,69 6,73 6,71 6,89 6,74 6,73 6,72 6,75 

1.2.4 
17,1 16,9 17,0 17,3 17,2 17,0 16,7 16,9 16,8 

1.2.5 
9,80 9,85 9,75 9,78 9,88 9,80 9,81 9,82 9,95 9,82 

1.2.6 
12,2 12,5 12,4 12,3 12,3 12,4 12,5 12,3 12,2 

1.2.7 
8,70 8,75 8,68 8,74 8,72 8,91 8,76 8,73 8,71 8,76 

1.2.8 
7,75 7,69 7,68 7,71 7,72 7,73 7,72 7,75 

1.2.9 
10,30 10,35 10,25 10.28 10,28 10,30 10,31 10,32 10,45 10,32 

1.2.10 
17,5 17,3 17,4 17,6 17,4 17,1 17,3 17,2 

1.2.11 
13,3 13,5 13,4 13,8 13,6 13,6 13,4 13,5 

Определить интервальные оценки результатов измерений и дать 
их словесную интерпретацию. 

Задача 1.3. После откачки газа из вакуумной камеры выполнены 
измерения давления и полученные результаты приведены в табл. 1.3.