Физика и химия твердого тела : металлы и полупроводники

УДК 539.2:541.1:546 
 
А65 

Р е ц е н з е н т  
д-р физ.-мат. наук, проф. В.Т. Бублик 

Андреев Л.А., Новиков А.В., Новикова Е.А. 
А65  
Физика и химия твердого тела. Металлы и полупроводники: 
Практикум/ Под ред. Б.С. Бокштейна. – М.: МИСиС, 2005. – 
52 с. 

Настоящее пособие содержит многовариантные задачи для выполнения 
индивидуальной домашней работы по отдельным разделам электронной теории металлов и полупроводников курса «Физика и химия конденсированного 
состояния». Решение предлагаемых задач должно способствовать приобретению навыков применения основных понятий электронной теории твердого 
тела в физико-химических приложениях. Наличие теоретических разделов в 
пособии должно существенно облегчить работу над выполнением задач домашнего задания. 
Практикум предназначен для студентов специальностей 070800, 071000. 

© Московский государственный институт

стали и сплавов (Технологический  
университет) (МИСиС), 2005 

ОГЛАВЛЕНИЕ 

Предисловие..........................................................................................4 
Задача 1. Свойства газа свободных электронов. 
K
r  – пространство.................................................................................5 
Задача 2. Вклад электронного газа в молярную 
теплоемкость металла ........................................................................15 
Задача 3. Оценка теплоты растворения водорода в металле 
по Фриделю.........................................................................................23 
Задача 4. Зависимость химического потенциала электронов 
примесного полупроводника от концентрации примеси 
и температуры.....................................................................................30 
Задача 5. Энергетический спектр электрона при одномерном 
движении в поле с периодически изменяющейся потенциальной 
энергией...............................................................................................43 
Библиографический список...............................................................50 
 

Предисловие 

В курсе «Физика и химия конденсированного состояния» выделены вопросы, рассматривающие взаимосвязь между атомным и электронным строениями твердых тел и их физико-химическими свойствами. Его изучение предусмотрено программами подготовки студентов, обучающихся по направлениям: «Материаловедение и технология новых материалов», «Химическая технология материалов и изделий электронной техники», «Физико-химические методы исследования процессов и материалов», и базируется на знаниях, полученных 
ими после прохождения курсов физики и физической химии. Однако 
для рассмотрения специальных вопросов теории курса и проведения 
конкретных расчетов полученные ранее знания в области физики 
твердого тела должны быть существенно дополнены. Это касается 
зонной теории твердого тела, например примесных полупроводников. Выполнение индивидуальных домашних работ по некоторым 
важным разделам курса «Физика и химия конденсированного состояния», предлагаемых настоящим руководством, должно существенно облегчить изучение этого курса. 

Задача 1 

СВОЙСТВА ГАЗА СВОБОДНЫХ ЭЛЕКТРОНОВ. 

K
r

 – ПРОСТРАНСТВО 

Согласно модели свободных электронов, валентные электроны 
атомов металла при сближении атомов приобретают способность 
свободно перемещаться по всему объему образца; эти электроны не 
взаимодействуют между собой и с ионами кристаллической решетки 
металла и движутся в поле с постоянной потенциальной энергией; 
число свободных электронов Z, отдаваемых каждым атомом металла 
в электронный газ, принимается равным его валентности. 
Для металла А, соответствующего индивидуальному заданию студента, считая его металлом со сферической поверхностью Ферми, 
вычислите для температуры 0К следующие величины: 
– энергию Ферми EF(0), (Дж, эВ); 
– температуру Ферми TF; 
– импульс PF и скорость Ферми VF; 
– радиус KF сферы Ферми в K

r

– пространстве; 
– квантовые числа nx, ny, nz на поверхности Ферми; 
– плотность состояний 
)
(
F
E
g
 на поверхности Ферми, (Дж–1·м–3); 
– дебройлевскую длину волны λF для электронов с энергией Ферми. Сопоставьте эту величину с периодом решетки а  металла А и 
сделайте замечание о возможном влиянии периодического поля решетки на поведение таких электронов. 
Индивидуальное задание студент находит в табл. 1 или 2 согласно 
своему номеру в журнале группы. Номер таблицы указывает преподаватель. 

Указания к выполнению задачи 1 

Теоретическое введение 

Простейшая модель, используемая для описания электронных 
свойств металлов, так называемая, «модель свободных электронов», 
базируется на следующих предпосылках: 

1. При объединении изолированных атомов в кристалл их валентные электроны образуют электронный газ, а электронные конфигурации ионных остовов не изменяются. 
2. Электроны, принадлежащие электронному газу, не взаимодействуют между собой (независимы друг от друга). 
3. Потенциальная энергия электронов внутри образца постоянна и 
по принятому условию всюду равна нулю (U(x, y, z) = 0). 
Допущение о независимости движения электронов предполагает, 
что энергетический спектр для электронов электронного газа идентичен энергетическому спектру отдельного электрона, а их распределение по уровням этого спектра происходит в порядке возрастания 
энергии с учетом принципа Паули. 
Конкретная информация об энергетическом спектре рассматриваемой системы может быть получена в результате решения одноэлектронного уравнения Шредингера при U = 0: 

 
0
2
2

2

2

2

2

2
=
ψ
+
∂
ψ
∂
+
∂
ψ
∂
+
∂
ψ
∂
E
em
z
y
x
h
, 
(1) 

где E – энергия электрона, с граничными условиями, отражающими 
факт пребывания электрона внутри образца, а также исключающими 
влияние на его решение второстепенных для рассматриваемой задачи («свободные электроны») поверхностных эффектов. Например, 
неприемлемыми здесь являются обычные для задачи об электроне в 
потенциальной яме граничные условия, требующие обращения в нуль 
волновой функции 
)
(rr
ψ
 в точках rr , находящихся на гранях куба, так 
как они предполагают возникновение волн, отраженных от граней, и, 
следовательно, приводят к решению уравнения (1) в виде стоячих 
волн. К волновым функциям, лишенным этого недостатка, приводят 
так называемые циклические граничные условия Борна – Кармана. 
Рассмотрим одномерную модель металла, в которой образец представляет собой окружность длиной L. В этом образце, очевидно, отсутствует нежелательная граница и, в силу требования однозначности 
волновой функции ψ(x), где х – длина дуги, можно написать 

 
)
(
)
(
x
L
x
ψ
=
+
ψ
. 
(2) 

Обобщая граничное условие (2) на случай трех изменений, для 
куба, можно написать