Физика твердого тела : сборник задач

МИНИСТЕРСТВО ОБРАЗОВАНИЯ И НАУКИ РФ 

ФЕДЕРАЛЬНОЕ ГОСУДАРСТВЕННОЕ АВТОНОМНОЕ ОБРАЗОВАТЕЛЬНОЕ УЧРЕЖДЕНИЕ  
ВЫСШЕГО ПРОФЕССИОНАЛЬНОГО ОБРАЗОВАНИЯ  
«НАЦИОНАЛЬНЫЙ ИССЛЕДОВАТЕЛЬСКИЙ ТЕХНОЛОГИЧЕСКИЙ УНИВЕРСИТЕТ «МИСиС» 

 

 
 
 

 

 

 

 
 

 

№ 1976 

Кафедра полупроводниковой электроники 
и физики полупроводников 
 

Физика твердого тела

Сборник задач 

 

Рекомендовано редакционно-издательским 
советом университета 

Москва 2011 

УДК 621.315 
 
Ф50 

Р е ц е н з е н т  
канд. физ.-мат. наук, доц. М.Д. Малинкович 

Авторы: Анфимов И.М., Кобелева С.П., 
Коновалов М.П., Осипов Ю.В., 
Орлова М.Н., Спицына Л.Г. 

Физика твердого тела : сб. задач / И.М. Анфимов, С.П. Ко- 
Ф50 белева, М.П. Коновалов [и др.]. – М. : Изд. Дом МИСиС, 2011. 
– 70 с. 
ISBN 978-5-87623-426-1 

Сборник содержит типовые задачи по курсу физики твердого тела. В каждом разделе задачи подобраны так, чтобы охватить все наиболее важные 
вопросы данной темы, даны подробные решения некоторых задач. 
Предназначен для студентов института новых материалов и нанотехнологий (полупроводникового профиля) и преподавателей, ведущих практические 
занятия по курсу «Электронная структура твердых тел». 
УДК 621.315 

ISBN 978-5-87623-426-1 
© Коллектив авторов, 2011 

СОДЕРЖАНИЕ 

1. Электронная теория Друде–Лоренца..................................................4 
2. Электронные состояния и движение электронов в идеальном  
и реальном кристалле.............................................................................11 
3. Статистика равновесных носителей заряда .....................................23 
4. Процессы в полупроводниках, содержащих избыточные 
концентрации n
Δ  и p
Δ . .........................................................................38 
5. Подвижность носителей заряда. Рассеяние носителей заряда  
в полупроводниках .................................................................................45 
6. Кинетические явления в полупроводниках......................................50 
6.1. Электропроводность....................................................................51 
6.2. Расчеты термоЭДС ......................................................................52 
6.3. Эффект Холла ..............................................................................55 
6.4. Магнитосопротивление (магниторезистивный эффект)..........58 
6.5. Температурные зависимости кинетических эффектов ............61 
7. Оптические явления ...........................................................................64 
Библиографический список...................................................................69 

1. ЭЛЕКТРОННАЯ ТЕОРИЯ ДРУДЕ–ЛОРЕНЦА 

Электропроводность – способность проводить электрический 
ток – количественно характеризуется величиной удельной электропроводности σ, численно выражающей плотность электрического 
тока j  в электрическом поле E  единичной напряженности: 

 
j
E

σ =
; j
E
= σ
. 
(1.1) 

Плотность электрического тока j  определяется величиной концентрации носителей заряда в единице объема n , их зарядом e  и 
скоростью направления движения 
д
υ – дрейфовой скоростью: 

 
д
j = enυ . 
(1.2)  

Дрейфовая скорость движения в электрическом поле определяется 
характеристическим параметром материала – дрейфовой подвижностью μ , численно выражающей дрейфовую скорость в электрическом поле единичной напряженности: 

 
д
=

E

μ
υ  ; 
д = E
μ
υ
. 
(1.3) 

Сравнивая формулы (1.1), (1.2) и (1.3), можно вывести формулу 
Друде для удельной электропроводности 

 
.
en
σ =
μ  
(1.4) 

В случае биполярной (смешанной ) проводимости, когда электрический ток создается как электронами, так и дырками, учитывая, что 
концентрация электронов и дырок связаны соотношением 
2
i
np
n
=
, 
получим 

 

2

2
.

i
n
p
n
p
n
p

i
n
p

n
en
ep
e n
n

n
e
p
p

⎡
⎤
σ = σ + σ =
μ +
μ =
μ
+
μ
=
⎢
⎥
⎣
⎦
⎡
⎤
=
μ
+
μ
⎢
⎥
⎣
⎦

 
(1.5) 

В собственном полупроводнике 
i
n= p= n  электропроводность  

 
(
)
(
)
1
i
n
p
i
n
p
i
p
en
en
b
σ = σ + σ =
μ
+ μ
=
μ
+
, 
(1.6) 

где b – отношение подвижности электронов и дырок; 
/
.
n
p
b = μ
μ
 

Так как 
n
p
μ
> μ , то 
1.
b >
 

В случае примесной проводимости, когда концентрация легирующей примеси определяет концентрацию основных носителей заряда (
Д
n
N
=
 либо 
А
p
N
=
), можно записать, пренебрегая вкладом 

неосновных носителей (при 
Д,А
i
N
n
>>
), для электронного и дыроч
ного полупроводника соответственно 

 
Д
n
n
eN
σ ≈ σ =
μ
; 
А
.
p
p
eN
σ ≈ σ =
μ
 
(1.7) 

Величина подвижности носителей заряда определяется процессами их рассеяния в кристалле. Электроны и дырки участвуют в хаотическом тепловом движении со средней тепловой скоростью 

T
T
=
υ
υ
, которую можно оценить по формуле 

 

0

3

T

kT
m
=
υ
, 
(1.8) 

где k – постоянная Больцмана;  

0
m – масса электрона (или дырки); 
T – абсолютная температура. 

Длина свободного пробега носителя заряда λ связана со средним 
временем свободного пробега 
0τ  соотношением 

 
(
)
д
0
0
Т
T
λ =
+
τ =
τ
υ
υ
υ
 
(1.9) 

c учетом того, что при выполнении закона Ома всегда справедливо 

д
T
<<
υ
υ . 
Длины и времена свободного пробега распределены в пределах от 
нуля до бесконечности. Вероятность 
( )
w t  того, что носитель заряда 
имеет время свободного пробега t , выражается формулой 

 
( )
0
/

0

1
t
w t
e−
τ
= τ
, где 
0
t
τ =
. 
(1.10) 

Выражая дрейфовую скорость через ускорение a  носителей заря
да в электрическом поле E

0

eE
a = m

⎛
⎞
⎜
⎟
⎝
⎠
 и время свободного пробега 

0τ , можно получить формулы теории Друде, связывающие подвижность и электропроводность со временем свободного пробега: 

 
0

0

e
m
τ
μ =
; 

2

0

0

e n
en
m

τ
σ =
μ =
. 
(1.11) 

Если рассеяние энергии, приобретаемой носителями заряда в 
электрическом поле на длине свободного пробега, происходит за одно столкновение, то время установления равновесия – время релаксации τ  в системе – равно времени свободного пробега (
0
τ = τ ), и 
величина 
0τ  в формулах (1.11) может быть заменена на время релаксации 
τ . Так как время релаксации очень мало (порядка 

11
13
10
...10
с
−
−
), то в качестве меры рассеяния приводится пропорциональная времени релаксации величина – подвижность носителей за
ряда 

0

e
m

τ
μ =
, значение которой для электронов и дырок в специально 

легированных материалах приведено в (Киреев, 1975). 
Температурная зависимость электропроводности полупроводников и металлов различна: 
( )
п T
σ
 возрастает, а 
( )
м T
σ
 – падает с тем
пературой. Подвижность μ  свободных носителей заряда в нелегиро
ванных кристаллах обычно падает с температурой (
,
0
a
СT
a
μ =
<
). 
Концентрация носителей заряда 
п
n  в полупроводниках увеличивает
ся с температурой (

a

~

E

kT
n
e

−δ
, где 
a
E  – энергия активации). В металлах – концентрация 
м
n  носителей заряда от температуры не зависит 
и по порядку величины равна числу атомов в единице объема 

22
3
28
3

м
(
10
см
10
м
)
n
−
−
≈
=
. Поскольку рост концентрации носителей 
заряда в полупроводнике с температурой происходит быстрее, чем 
падает их подвижность, то в полупроводниках 

 

a

п
0
( )

E

kT
T
e

δ
−
σ
= σ
 
(1.12) 

Задача 1.1. Показать, что если время свободного пробега носителей заряда одинаково у всех частиц и равно 
0τ , то подвижность 

0

0
2
e
m
τ
μ =
 и электропроводность 

2

0

0
2
e n

m

τ
σ =
. Если же учесть распреде
ление по временам свободного пробега по функции 
0
/

0

1
( )
t
w t
e−
τ
= τ
, 

то 
0

0

e
m
τ
μ =
 и 

2

0

0

e n

m

τ
σ =
. 

Решение 
Скорость дрейфа носителя заряда в электрическом поле в некото
рый момент времени t  равна 
0

0

( )
0
eE
t
at
t
m
=
+
=
+
υ
υ
 (в предположе
нии, что при столкновениях электрон полностью теряет энергию, 
приобретаемую от электрического поля). Так как по условию у всех 
частиц одинаковые времена свободного пробега 
0τ , то средняя скорость дрейфа 
д
υ на пути свободного пробега 

(
)
0
0
0
нач
кон
0
д
0

0

0

( )
.
2
2
2
2

eE
m
eE
t
m

+
τ
+
τ
+
=
=
=
=
=
τ
υ
υ
υ
υ
υ
υ
 

Так как 
д
E
= μ
υ
, то 
0

0
2
e
m
τ
μ =
, а 

2

0

0
2
e n
en
m

τ
σ =
μ =
. 

Если времена свободного пробега распределяются между нулем и 

бесконечностью статистически по формуле 
0
/

0

1
( )
t
w t
e−
τ
= τ
, то сред
нюю скорость следует определять по формуле 

 

0
0
0
0
0

0
0
0
0
0
0
0

1
( )
( ) ( )d
exp(
/
)d

exp(
/
)d( d )
.

eE
t
t w t
t
t
t
t
m

e
eE
t
t
t t
E
E
m
m

∞
∞

∞

=
=
−
τ
=
τ

τ
=
τ
−
τ
=
= μ
τ

∫
∫

∫

υ
υ

 

В результате получаем  

 
0

0

e
m
τ
μ =
 и 

2

0

0

e n
en
m

τ
σ =
μ =
. 

Задача 1.2. Типичное значение электропроводности металла составляет 
8
1
1
10 Ом
м
−
−
⋅
. Считая концентрацию электронов равную 

28
3
5 10
м−
⋅
, оценить время релаксации электронов по энергии. 
Решение 

Используя формулу (1.11) с учетом 
0
τ = τ , получим 

2

0

e n
m

τ
σ =
, тогда: 

 

8
31
14
13
0
2
19 2
28
10
9,1 10
7 10
с
10
с
(1,6 10
)
5 10
m
e n

−
−
−
−
σ
⋅
⋅
τ =
=
=
⋅
≈
⋅
⋅ ⋅
. 

Задача 1.3. Подвижность электронов в чистом германии при комнатной температуре составляет 
2
1
1
0,39 м
В
с
−
−
⋅
⋅
. Какова длина свободного пробега электронов в решетке германия? Сколько постоянных решетки (
5,67
d =
Å) электронов проходит без столкновений? 
Решение 
По формуле (1.9) длина свободного пробега 
0
T
λ ≈
τ
υ
. Оценивая 
тепловую скорость электрона при комнатной температуре по формуле (1.8)  

 

23

5
1

31
0

3
3 1,38 10
300
1,17 10 м с
9,1 10
T
kT
m

−
−
−
⋅
⋅
⋅
=
=
=
⋅
⋅
⋅
υ
,  

а время свободного пробега по величине подвижности (1.11) 

 

31
12
0
0
19
0,39 9,1 10
2,2 10
c

1,6 10
m
e

−
−
−
μ
⋅
⋅
τ =
=
=
⋅
⋅
, 

получаем 

 
5
12
7
0
1,18 10
2,2 10
2,6 10
м
2600
T
−
−
λ =
τ =
⋅
⋅
⋅
=
⋅
=
υ
Å. 

Без столкновений электрон пройдет путь 
26005,67
500
d
λ
=
≈
 постоянных решетки. 

Задача 1.4. Какая концентрация примеси введена в монокристалл 
кремния марки КЭФ-40? (КЭФ – кремний электронный, легированный фосфором; цифра 40 выражает его удельное сопротивление в 
Ом·см при 23 °С). 

Решение 
Используя формулу (1.7), получаем  

 
1
1

Д
(
)
п
eN
−
−
ρ = σ
=
μ
.  

Концентрация фосфора, т.е. концентрация донорной примеси  

 
20
3

Д
19
1
1
1,25 10
м
0,4 1,6 10
0,125
п
N =
=
=
ρe

−
−
⋅
μ
⋅
⋅
⋅
 

(использовано табличное значение подвижности электронов в кремнии 
2
1
1
1250 м
В
с
п =
−
−
μ
⋅
⋅
2
1
1
0,125 м
В
с
=
−
−
⋅
⋅
). 

Задача 1.5. В полупроводниках 
p
n
μ < μ
, а концентрации элек
тронов и дырок связаны соотношением 
2
i
np= n . Если несколько увеличить концентрацию дырок по сравнению с собственной, легируя 
кристалл акцепторной примесью, то вклад электронов в электропроводность уменьшится. Определить, при какой концентрации акцепторной примеси электропроводность кристалла минимальна. Вычислить значение максимального удельного сопротивления германия 
при комнатной температуре. 
Дано: 
2
1
1
0,37 м
В
с
n =
−
−
μ
⋅
⋅
; 
2
1
1
0,17 м
В
с
p
−
−
μ =
⋅
⋅
; 
19
3
2,5 10
м .
in =
−
⋅
 

Ответ: 
19
3

A
3,7 10
м
n
i
p
N
n
−
μ
=
=
⋅
μ
; 
max
0,47 Ом м.
ρ
=
⋅
 

Задача 1.6. Докажите, что при функции распределения по временам свободного пробега 
( )
0
/

0
1
t
w t
e−
τ
= ⋅τ ⋅
 среднее время свободного 

пробега 
0
t = τ , в соответствующем распределении по длинам сво
бодного пробега 
( )

/

0
1
x
w x
e−
λ
=
⋅
λ
 величина средней длины свободно
го пробега x = λ . 

Задача 1.7. Каково среднее время свободного пробега дырок в чистом кремнии при комнатной температуре, если 
2
1
1
0,048м
В
с
p
−
−
μ =
⋅
⋅
? 

Ответ: 
13
0
2,7 10
c.
−
τ =
⋅
 

Задача 1.8. Сколько постоянных решетки (
5,43
d =
Å) проходит 
электрон в чистом кремнии при комнатной температуре без столкновений с решеткой? 
Ответ: ~150 постоянных решетки. 

Задача 1.9. Определить дрейфовую скорость электронов в металле, если плотность электрического тока 
2
1000 А м
j =
−
⋅
, а концен
трация электронов 
28
3
5 10
м
n=
−
⋅
. Выполняется ли в этом случае закон Ома? Сколько постоянных решетки проходит электрон, дрейфуя 
по кристаллу, за 1 с (
5
d =
Å)? 

Ответ:

7
1

д

5
1

1,25 10
м с ;

1,18 10 м с .
T

=

=

−
−

−
⋅
⋅

⋅
⋅

υ

υ
  

Путь – 250 постоянных решетки. 

Задача 1.10. Собственный германий содержит 
28
4,5 10
⋅
 атомов на 

3
1м . При температуре 300 К из каждых 
9
2 10
⋅
 атомов один ионизован. Определить удельное сопротивление собственного германия 
(
2
1
1
0,39 м
В
с
n
−
−
μ
=
⋅
⋅
, 
2
1
1
0,19 м
В
с
p
−
−
μ =
⋅
⋅
). 

Каково станет удельное сопротивление германия, если ввести в 
кристалл 1 атом сурьмы на каждые 108  атомов германия? 

Ответ: 

1
1

2
1
4,87 10
Ом м
48,7 Ом см;

3,56 10
Ом м
3,56 Ом см;

i

n

−
−

−
−
ρ =
⋅
⋅
=
⋅

ρ = ρ =
⋅
⋅
=
⋅
 
               n-тип. 

Задача 1.11. Какова доля электрического тока, переносимого 
дырками (
)
p
n
j j + j
:  

а) в чистом германии;  
б) в чистом кремнии;  
в) в кремнии марки КЭФ с концентрацией фосфора 
20
3
10
м− ? 

Ответ: а) 33 %; б) 28 %; в) 
7
5,5 10−
⋅
%. 

Задача 1.12. Какова энергия активации проводимости в кремнии, 
если при T = 500 К электропроводность равна 5,31 Ом–1·м–1, а при  
T = 1000 К она составляет 104 Ом–1·м–1? Объясните связь энергии активации проводимости с шириной запрещенной зоны 
g
E , изменяю
щейся с температурой по закону 
( )
0
g
g
E
T
E
T
=
+ α
, 
0
1,21эВ
g
E
=
. 

Ответ: 
a
0,605 эВ
E
δ
=
, 

0

a
2

g
E
E
δ
=
. 

2. ЭЛЕКТРОННЫЕ СОСТОЯНИЯ  
И ДВИЖЕНИЕ ЭЛЕКТРОНОВ В ИДЕАЛЬНОМ 
И РЕАЛЬНОМ КРИСТАЛЛЕ 

Одноэлектронное уравнение Шредингера для электрона в идеальном кристалле имеет вид 

 
( )
( )
( )

2

( )
.
2
k
k
U r
r
E k
r
m

⎧
⎫
−
Δ +
ψ
=
ψ
⎨
⎬
⎩
⎭

ℏ
 
(2.1) 

Оператор потенциальной энергии 
( )
U r  в формуле (2.1) – периодическая функция с периодом, равным вектору трансляции кристалла n : 

 
(
)
( )
U r +n =U r ; 
(2.2) 

 
1 1
2
2
3
3
n
n a
n a
n a
=
+
+
,  
(2.3) 

где 
1
2
3
a ,a ,a – базисные векторы решетки кристалла; 

1
2
3
,
,
n n
n – целые числа, выражающие координаты атомов решетки кристалла. 

Из свойства (2.2) следует, что решение уравнения (2.1) представляет волну Блоха с периодической амплитудой 
( )
k r
φ
: 

 
( )
( )

( )
(
)

, ,

,

ik r
k
k

k
k

r
r e

r
r
n

⎛
⎞
ψ
= φ
⎜
⎟
⎜
⎟
φ
= φ
+
⎝
⎠
 
(2.4) 

удовлетворяющую условию периодичности в пространстве волновых 
векторов k  с периодом 2π :
b

( )
( )
2
k
k
 b
r
r
+ π
ψ
= ψ
, 
(2.5) 

где 
1
2
3
1
2
3
b = m b +m b +m b – вектор трансляции в обратной решетке 

кристалла, имеющей базисные векторы 
1
2
3
b ,b ,b , а координаты 
узлов обратной решетки 
1
2
3
m ,m ,m – целые числа.