Механика сплошных сред
Покупка
Тематика:
Механика сплошных сред
Издательство:
Издательский Дом НИТУ «МИСиС»
Автор:
Шинкин Владимир Николаевич
Год издания: 2010
Кол-во страниц: 235
Дополнительно
Вид издания:
Учебное пособие
Уровень образования:
ВО - Бакалавриат
ISBN: 978-5-87623-370-7
Артикул: 753689.01.99
Подробно рассмотрены теоретические и практические вопросы механики сплошных сред по следующим темам: основы тензорного исчисления, теории деформаций и напряжений, законы сохранения и элементы термодинамики сплошных сред, модели сплошных сред и их физические соотношения, постановка задач механики сплошных сред, двумерные задачи в полярных координатах, идеальная несжимаемая жесткопластическая среда, дислокации. Приведены многочисленные примеры и домашние задания, закрепляющиеизложенный материал. Все темы изложены с учетом специфики металлургических процессов. Предназначен для студентов высших учебных заведений, обучающихся по направлению 150100 «Металлургия».
Скопировать запись
Фрагмент текстового слоя документа размещен для индексирующих роботов
МИНИСТЕРСТВО ОБРАЗОВАНИЯ И НАУКИ РФ ФЕДЕРАЛЬНОЕ ГОСУДАРСТВЕННОЕ ОБРАЗОВАТЕЛЬНОЕ УЧРЕЖДЕНИЕ ВЫСШЕГО ПРОФЕССИОНАЛЬНОГО ОБРАЗОВАНИЯ «НАЦИОНАЛЬНЫЙ ИССЛЕДОВАТЕЛЬСКИЙ ТЕХНОЛОГИЧЕСКИЙ УНИВЕРСИТЕТ «МИСиС» № 1912 Кафедра теоретической механики и сопротивления материалов В.Н. Шинкин Механика сплошных сред Курс лекций Рекомендовано учебно-методическим объединением по образованию в области металлургии в качестве учебного пособия для студентов высших учебных заведений, обучающихся по направлению 150100 – Металлургия Москва 2010
УДК 531/534 Ш62 Р е ц е н з е н т д-р техн. наук, проф. Б.А. Романцев Шинкин В.Н. Ш62 Механика сплошных сред: Курс лекций. – М.: Изд. Дом МИСиС, 2010. – 235 с. ISBN 978-5-87623-370-7 Подробно рассмотрены теоретические и практические вопросы механики сплошных сред по следующим темам: основы тензорного исчисления, теории деформаций и напряжений, законы сохранения и элементы термодинамики сплошных сред, модели сплошных сред и их физические соотношения, постановка задач механики сплошных сред, двумерные задачи в полярных координатах, идеальная несжимаемая жесткопластическая среда, дислокации. Приведены многочисленные примеры и домашние задания, закрепляющие изложенный материал. Все темы изложены с учетом специфики металлургических процессов. Предназначен для студентов высших учебных заведений, обучающихся по направлению 150100 «Металлургия». УДК 531/534 ISBN 978-5-87623-370-7 © Шинкин В.Н., 2010
ОГЛАВЛЕНИЕ Предисловие ..........................................................................................6 1. Основы тензорного исчисления .......................................................7 1.1. Основной и взаимный базисы системы координат................7 1.2. Контрвариантные и ковариантные преобразования координат и базисных векторов....................................................14 1.3. Диадные произведения базисных векторов и тензор второго ранга...................................................................16 1.4. Ранг тензора. Фундаментальный метрический тензор ........19 1.5. Умножение тензора на скаляр. Сложение и вычитание тензоров...........................................................................................21 1.6. Операции «жонглирования» индексами................................21 1.7. Скалярное и векторное умножение тензоров. Тензор Риччи ..................................................................................23 1.8. Дифференцирование тензоров по координатам. Символы Кристоффеля..................................................................26 1.9. Градиент, дивергенция, ротор и лапласиан тензора ............32 1.10. Теоремы Остроградского–Гаусса и Стокса ........................36 2. Теория деформаций (кинематика сплошной среды)....................40 2.1. Лагранжево и эйлерово описания движения сплошной среды................................................................................................40 2.2. Тензор деформаций.................................................................44 2.3. Главные оси деформаций и главные деформации ...............52 2.4. Инварианты тензора деформаций..........................................56 2.5. Шаровой тензор деформаций и девиатор тензора деформаций....................................................................................60 2.6. Уравнения совместности деформаций ..................................62 2.7. Тензор скоростей деформаций...............................................63 3. Теория напряжений ........................................................................66 3.1. Тензор напряжений .................................................................66 3.2. Главные оси, главные площадки и главные напряжения тензора напряжений .......................................................................71 3.3. Инварианты тензора напряжений ..........................................75 3.4. Шаровой тензор напряжений и девиатор напряжений........77 4. Законы сохранения механики сплошных сред ............................80 4.1. Закон сохранения массы – уравнение неразрывности.........82 4.2. Закон сохранения количества движения – уравнение движения .........................................................................................84
4.3. Закон сохранения момента количества движения – закон парности касательных напряжений .............................................85 4.4. Уравнение теплопроводности ...............................................89 4.5. Закон сохранения полной энергии при наличии тепловых явлений...........................................................................94 5. Модели сплошных сред и их физические соотношения .............99 5.1. Физическое и механическое поведение деформируемых сред. Уравнение состояния..........................................................100 5.2. Идеальная жидкость и идеальный газ .................................104 5.3. Закон Навье–Стокса для вязкой жидкости ........................105 5.4. Обобщенный закон Гука для идеальной упругой среды...107 5.5. Идеальная жесткопластическая несжимаемая среда ........110 5.6. Критерий пластичности Мизеса для упругопластических сред .....................................................111 5.7. Теория пластического течения для упругопластической среды...................................................115 6. Постановка задач механики сплошных сред .............................120 6.1. Общие принципы постановки задач....................................120 6.2. Уравнения движения Эйлера для идеальной жидкости и газа..............................................................................................123 6.3. Уравнения движения Навье–Стокса для вязкой жидкости ...................................................................125 6.4. Уравнения движения Лямэ для идеальной упругой среды ..............................................................................127 6.5. Уравнения движения Прандтля–Рейсса для упругопластической среды .........................................................128 7. Задача Лямэ о равновесии толстостенной трубы ......................130 7.1. Двумерные осесимметричные задачи в полярных координатах ..................................................................................130 7.2. Задача Лямэ о равновесии толстостенной трубы под действием внутреннего и внешнего давления....................132 7.3. Труба под действием только внутреннего давления..........133 7.4. Труба под действием только внешнего давления ..............134 7.5. Решение задачи в перемещениях.........................................135 7.6. Длинная труба с «донышками»............................................135 7.7. Пластическое состояние толстостенной трубы .................136 7.8. Упругопластическое состояние толстостенной трубы ......137 8. Идеальная несжимаемая жесткопластическая среда ................139 8.1. Осадка параллелепипеда ......................................................139 8.2. Плоское пластическое движение. Линии скольжения.......142
8.3. Метод линий скольжения .....................................................146 8.4. Свойства линий скольжения. Теоремы Генки....................150 8.5. Граничные условия для напряжений и краевые задачи.....151 9. Дислокации ...................................................................................155 9.1. Классификация кристаллов ..................................................155 9.2. Физические типы кристаллических решеток......................157 9.3. Дефекты в кристаллах. Краевая и винтовая дислокации...158 9.4. Упругие деформации при наличии дислокации. Вектор Бюргерса........................................................................................159 9.5. Дифференциальные уравнения для дислокационной деформации в изотропной среде.................................................162 9.6. Деформация вокруг прямолинейной винтовой дислокации в изотропной среде..................................................163 9.7. Деформация вокруг прямолинейной краевой дислокации в изотропной среде..................................................164 10. Формовка листа при производстве труб большого диаметра ......166 10.1. Основные положения сопротивления материалов...........166 10.2. Графоаналитический способ построения напряжений....170 10.3. Гибка плоской пластины на прессе пошаговой формовки.......................................................................................182 10.4. Гибка цилиндрической оболочки на прессе пошаговой формовки.......................................................................................185 10.5. Гибка изогнутой оболочки на прессе пошаговой формовки.......................................................................................189 10.6. Формовка листовой заготовки на кромкогибочном прессе.............................................................................................192 10.7. Гофр продольной кромки листа при формовке на кромкогибочном прессе..........................................................195 11. Опорный конспект лекций для заочников ...............................199 12. Домашние задания ......................................................................206 12.1. Домашнее задание «Элементы тензорного исчисления» .....206 12.2. Домашнее задание «Деформированное состояние в точке сплошной среды» ............................................................220 12.3. Домашнее задание «Напряженное состояние в точке сплошной среды и оценка условия пластичности по критерию Мизеса»...................................................................227 Библиографический список .............................................................233
ПРЕДИСЛОВИЕ В металлургическом производстве широко применяются различные процессы, связанные с обработкой металлов давлением: прокатка, прессование, волочение, ковка, объемная и листовая штамповка. Для качественного и количественного описания процессов деформации металла в таких процессах необходимо использовать теорию и методы механики сплошных сред. В связи с этим уже на этапе общеинженерной подготовки следует уделять должное внимание формированию у студентов металлургических специальностей навыков в осуществлении расчетов, связанных с деформациями и напряжениями элементов металлургических машин и оборудования. В данном курсе лекций подробно рассмотрены теоретические и практические вопросы механики сплошных сред по следующим темам: основы тензорного исчисления, теории деформаций и напряжений, законы сохранения и элементы термодинамики сплошных сред, модели сплошных сред и их физические соотношения, постановка задач механики сплошных сред (идеальная жидкость и газ, вязкая жидкость, идеальная упругая среда, идеальная несжимаемая жесткопластическая среда, упругопластическая среда), двумерные задачи в полярных координатах и дислокации. Приведены многочисленные примеры и домашние задания, закрепляющие изложенный материал и способствующие качественному усвоению специальных дисциплин, связанных с обработкой металлов давлением, деталями машин, конвективным теплообменом в печах, электрометаллургией, непрерывной разливкой стали и другими литейными процессами в металлургии.
1. ОСНОВЫ ТЕНЗОРНОГО ИСЧИСЛЕНИЯ 1.1. Основной и взаимный базисы системы координат Математические объекты, инвариантные (независимые) относительно преобразования координат, называются тензорами. Примерами тензоров являются скалярные величины – плотность, температура, давление, объем, площадь поверхности, расстояние между точками. Рассмотрим декартову прямоугольную, цилиндрическую и сферическую системы координат (рис. 1.1 – декартова прямоугольная система координат (ДПСК): x1 = x, x2 = y, x3 = z; рис. 1.2 – цилиндрическая система координат (ЦСК): x1 = ρ, x2 = θ, x3 = z и рис. 1.3 – сферическая система координат (ССК): x1 = r, x2 = φ, x3 = θ). Координатной линией называется геометрическое место точек в пространстве, характеризуемое изменением только одной из координат, тогда как две другие координаты остаются неизменными. Рис. 1.1 Прямолинейными системами координат называются системы координат, координатные линии которых являются прямыми линиями (ДПСК). Криволинейными системами координат называются системы координат, координатные линии которых являются кривыми линиями (ЦСК, ССК). x x y y M z z O i j k r1 r3 r2 r
Рис. 1.2 Рис. 1.3 Пусть радиус-вектор точки М равен r xi yj zk = + + , 2 2 2 r x y z = + + . Основной базис системы координат в данной точке пространства есть совокупность трех векторов, определенных как частные производные по соответствующим координатам от радиус-вектора данной точки: r1 r2 r3 x z y θ r O M ϕ r1 r2 r3 ρ x z y θ r z O M
1 2 3 1 2 3 , , . r r r r r r x x x ∂ ∂ ∂ = = = ∂ ∂ ∂ Для ДПСК: 1 2 3 ; , , ; r xi yj zk x x x y x z = + + = = = 1 2 3 , , , r r r r i r j r k x y z ∂ ∂ ∂ = = = = = = ∂ ∂ ∂ 1 2 3 | | | | | | 1. r r r = = = Для ЦСК: 1 2 3 , , ; x r x x z = = θ = cos , sin , ; cos sin ; x r y r z z r r i r j zk = θ = θ = = θ + θ + 1 2 3 cos sin , sin cos , ; r r r r i j r r i r j r k r z ∂ ∂ ∂ = = θ + θ = = − θ + θ = = ∂ ∂θ ∂ 1 2 3 | | 1, | | , | | 1. r r r r = = = Для ССК: sin cos , sin sin , cos ; x r y r z r = ϕ θ = ϕ θ = ϕ 1 2 3 sin cos sin sin cos ; , , ; r r i r j r k x r x x = ϕ θ + ϕ θ + ϕ = = ϕ = θ 1 sin cos sin sin cos , r r i j r k r ∂ = = ϕ θ + ϕ θ + ϕ ∂ 2 cos cos cos sin sin , r r r i r j r k ∂ = = ϕ θ + ϕ θ − ϕ ∂ϕ 3 sin sin sin cos r r r i r j ∂ = = − ϕ θ + ϕ θ ∂θ ; 1 2 3 | | 1, | | , | | sin . r r r r r = = = ϕ Векторы основного базиса 1 2 3 , , r r r направлены по касательным к соответствующим координатным линиям, проведенным в данной точке пространства в направлении возрастания координат. Правило суммирования Эйнштейна по двойному индексу: если в каком-либо выражении один и тот же индекс встречается дважды (один раз внизу и один раз вверху), то предполагается, что по этому индексу производится суммирование в пределах, определяемых размерностью пространства; при этом знак суммирования опускается. Например, дифференциал радиус-вектора точки равен 3 1 2 3 1 2 3 1 2 3 1 2 3 1 d d d d d d d d d i i i i i r r r r x x x r x r x r x r x r x x x x = ∂ ∂ ∂ = + + = + + = = ∂ ∂ ∂ ∑ ,
а квадрат расстояния между двумя сколь угодно близкими точками 2 2 (d ) d d d ( d ) ( d ) ( )d d d d i j i j i j i j i j ij l l r r r x r x r r x x g x x = = ⋅ = ⋅ = ⋅ = . Метрическими коэффициентами основного базиса системы координат называются скалярные произведения векторов основного базиса: ij i j g r r = ⋅ . Так как ji j i i j ij g r r r r g = ⋅ = ⋅ = , ij ji g g = , метрические коэффициенты образуют симметричную матрицу 11 12 13 21 22 23 31 32 33 (( )) . ij g g g g g g g g g g ⎛ ⎞ ⎛ ⎞ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟ = ⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎝ ⎠ ⎝ ⎠ Соотношение 2 d d d i j ij l g x x = . называется метрикой пространства. Метрика пространства с системой координат ix есть квадратичная относительно дифференциалов координат форма, выражающая квадрат расстояния между двумя сколь угодно близкими точками. Для ДПСК: 1 2 3 11 22 33 , , ; 1; 0, ; ij r i r j r k g g g g i j = = = = = = = ≠ 1 0 0 (( )) 0 1 0 ; 0 0 1 ij g ⎛ ⎞ ⎛ ⎞ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟ = ⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎝ ⎠ ⎝ ⎠ 1 2 3 1 2 3 , , ; d d , d d , d d ; x x x y x z x x x y x z = = = = = = 2 2 2 2 d d d d . l x y z = + + Для ЦСК: 1 2 3 cos sin , sin cos , ; r i j r r i r j r k = θ + θ = − θ + θ =