Trends in Applied Mechanics and Mechatronics

TRENDS
IN APPLIED 
MECHANICS 
AND MECHATRONICS

Под редакцией М.Н. Кирсанова

СБОРНИК НАУЧНО-МЕТОДИЧЕСКИХ
СТАТЕЙ

ТОМ ПЕРВЫЙ

Москва
ИНФРА-М
2021

УДК [531+681.527.7](082)
ББК 22.2:32я43
 
Т84

 
Т84  
Trends in Applied Mechanics and Mechatronics : сборник научно-методических статей. Т. 1 / под ред. М.Н. Кирсанова. — Москва : 
ИНФРА-М, 2021. — 120 с. — (Научная мысль). — DOI 10.12737/12136.

ISBN 978-5-16-011352-4 (общ.)
ISBN 978-5-16-011287-9 (т. 1, print)
ISBN 978-5-16-103463-7 (т. 1, online)
Сборник научно-методических статей освещает основные направления исследований в механике, мехатронике и робототехнике и предназначен для студентов, аспирантов, преподавателей, инженеров и научных работников, интересующихся указанными направлениями науки и техники.

УДК [531+681.527.7](082)
ББК 22.2:32я43

Р е д к о л л е г и я  с б о р н и к а:
Кирсанов М.Н. (гл. редактор), Национальный исследовательский университет «МЭИ» (Москва, Россия);
Кобрин А.И., Национальный исследовательский университет «МЭИ» 
(Москва, Россия);
Меркурьев И.В., Национальный исследовательский университет «МЭИ» 
(Москва, Россия);
Подалков В.В., Национальный исследовательский университет «МЭИ» 
(Москва, Россия);
Кадымов В.А., Московский государственный гуманитарно-экономический 
университет (Москва, Россия);
Wille R., Technische Universität Berlin (Берлин, Германия);
Gubarenko S.I., University of Toronto (Торонто, Канада)

ISBN 978-5-16-011352-4 (общ.)
ISBN 978-5-16-011287-9 (т. 1, print)
ISBN 978-5-16-103463-7 (т. 1, online)
© Коллектив авторов, 2015

ООО «Научно-издательский центр ИНФРА-М»
127214, Москва, ул. Полярная, д. 31В, стр. 1
Тел.: (495) 280-15-96, 280-33-86. Факс: (495) 280-36-29
E-mail: books@infra-m.ru        http://www.infra-m.ru

Подписано в печать 14.01.2021. 
Формат 6090/16. Бумага офсетная. Гарнитура Petersburg. 
Печать цифровая. Усл. печ. л. 7,5.
ППТ10. Заказ № 00000
ТК 431500-1238968-250715

Отпечатано в типографии ООО «Научно-издательский центр ИНФРА-М»
127214, Москва, ул. Полярная, д. 31В, стр. 1
Тел.: (495) 280-15-96, 280-33-86. Факс: (495) 280-36-29

Данная книга доступна в цветном исполнении 
в электронно-библиотечной системе Znanium.com

ФЗ 
№ 436-ФЗ
Издание не подлежит маркировке 
в соответствии с п. 1 ч. 2 ст. 1

 

 

ПРЕДИСЛОВИЕ 

 

 
Подготовка 
высококвалифицированных 
специалистов 
в 
области 
механики, 
математики, мехатроники и робототехники предполагает активное участие в научноисследовательской 
работе 
студентов 
и 
преподавателей. 
Объектами 
исследований, 

представленных в настоящем сборнике,  являются конструкции балочных пространственных 
ферм, многослойные нагруженные пластины, мобильные и манипуляционные роботы, 
чувствительные элементы микромеханических гироскопов, акселерометров и систем на их 
основе. Поставлены задачи совершенствования и оптимизации конструктивных параметров 
объектов исследования, построения новых математических моделей и инженерных методов 
расчета, позволяющих учесть особенности функционирования технических систем.  
Результаты анализа пространственных инженерных конструкций, полученные с 
использованием аналитических и индуктивных методов расчета, новые математические 
модели и  методы исследования динамики микромеханических гироскопов, мобильных и 
манипуляционных роботов могут быть использованы для проектирования новых типов 
датчиков, робототехнических и инженерных систем.  
Сборник научно-методических статей предназначен для студентов, аспирантов, 
преподавателей, инженеров  и научных работников, интересующихся вопросами  механики, 
математики, мехатроники и робототехники. 
 
 
 
 
 
 
 
 
Заведующий  кафедрой теоретической механики  

и мехатроники НИУ «МЭИ», д-р техн. наук                                      И.В. Меркурьев 
 
 

 

 

 

 

 

 

 

 

Индуктивный анализ влияния строительного подъема на жесткость 
пространственной балочной фермы 
 
                                                                                                                                 Ларичев С.А.  
НИУ “МЭИ” 
 
Расчет прогиба пространственной фермы в аналитической форме представляет 
важную теоретическую и практическую задачу. При этом следует отметить, что для 
заданного числа панелей (может быть даже и весьма большого) обычный аналитический 
расчет несложен и  сводится к получению формулы, в которую входят только размеры 
фермы. Решение же задачи для произвольного числа панелей весьма трудоемко и требует 
применения метода индукции [1-5]. При этом, все символьные преобразования (достаточно 
громоздкие) и индуктивный анализ возможны только с применением какого-либо 
специального математического пакета. В настоящей работе используется система Maple [6]. 
 
Ферма 1, базовая модель 
 
Рассмотрим пространственную статически определимую ферму, составленную из 
трех плоских ферм (рис. 1). Предполагаем, что все стержни конструкции упругие (модуль 
упругости E) одинакового сечения F, соединены идеальными шарнирами. Число панелей 2n 
(на рис. 1 n=2, четыре панели). Длина одной панели – a, ширина в основании – b, высота 
фермы – h. На ферму действует уравновешенная система вертикальных сил. В середине 
пролета приложена сила P; к углам основания приложены четыре силы  P/4, имитирующие 
опоры. 

 
Рис. 1. Ферма 1 
 
Воспользуемся методом вырезания узлов для определения усилий в стержнях. 
Зададим координаты узлов 
 

1
2
1
2
1
2
/ 2,
/ 2,
0,
(
1),
0,
,
k
k
k
k
k
k
k
k
k
x
b
x
b
x
y
y
y
a i
z
z
z
h
+
+
+
+
+
+
=
= −
=
=
=
=
−
=
=
=
 
 
где 
3
2,
1,...,2
1.
k
i
i
n
=
−
=
+
 Указываем номера узлов по концам стержней, условно 
представляя их векторами V, выбрав один конец стержня за начало, другой за конец. 
Стержни в поперечных сечениях, 
3
2,
2
1
k
i
i
n
=
−
=
+ : 
 

2
1
4
2
[ ,
2],
[
1,
2],
[ ,
1];
i
i
n
i
n
V
k k
V
k
k
V
k k
+
+
+
+
=
+
=
+
+
=
+
 

Ларичев С.А. 
 
 
продольные и диагональные, 
3
2,
2
k
i
i
n
=
−
=
: 
 

6
3
8
3
10
3

12
3
14
3
16
3

[
2,
3],
[
1,
5],
[ ,
4],

[ ,
3],
[
1,
4],
[
2,
5].

i
n
i
n
i
n

i
n
i
n
i
n

V
k
k
V
k
k
V
k k

V
k k
V
k
k
V
k
k

+
+
+
+
+
+

+
+
+
+
+
+

=
+
+
=
+
+
=
+

=
+
=
+
+
=
+
+
 

 
Система уравнений равновесия узлов запишем в векторном виде 
 

.
GS
B
=
 
 
G – матрица направляющих косинусов. Компоненты этой матрицы имеют следующий вид: 
 

,1
,1
,1
,2
,2
,2
3
2,
,
3
1,
,
3
,
,
3
2,
,
3
1,
,
3
,
,
/ ,
/ ,
/ ,
/ ,
/ ,
/ .
i
i
i
i
i
i
V
i
x i
i
V
i
y i
i
V
i
z i
i
V
i
x i
i
V
i
y i
i
V
i
z i
i
G
l
l G
l
l G
l
l G
l
l G
l
l G
l
l
−
−
−
−
=
=
=
= −
= −
= −
 

 
Проекции стержней-векторов на оси координат имеют вид: 
,1
,2
,
,
i
i
x i
V
V
l
x
x
=
−

,1
,2
,1
,2
,
,
,
i
i
i
i
y i
V
V
z i
V
V
l
y
y
l
z
z
=
−
=
−
. Длина i-го стержня: 
2
2
2
,
,
,
i
x i
y i
z i
l
l
l
l
=
+
+
; 
1
[
,...,
]
m
S
S
S
=
 — вектор 

усилий в стержнях. 
,1
,1
,1
,
,
,
[
,
,
,...,
,
,
]
x
y
z
x m
y m
z m
B
P
P
P
P
P
P
=
 — вектор внешних нагрузок, 

приложенных к узлам. 
18
3
m
n
=
+  — число стержней. 
По 
формуле 
Максвелла-Мора 
[6,7] 
определим 
прогиб 
середины 
пролета 
(вертикальное перемещение точки приложения силы P) 
 

1

m
k k k

k

S s l
EF
=
Δ =∑
, 

 
где 
,
k
k
S
s  – усилия в k-м стержне фермы от приложенной нагрузки и от единичной 
вертикальной силы. Суммирование идет по всем стержням фермы. 
Последовательно решая задачу для ферм с одной, двумя, тремя и т. д. панелями в 
половине пролета, методом индукции  получаем следующую формулу 
 
(
)

2
2
3/2
2
2
2
3/2
3
3
3

1
2
(
4
)
(
4
4
)
8
.
32

P n b
h
n b
h
a
a n
b

h EF

+
+
+
+
+
+
Δ =
 

 
Ферма 2. Строительный подъем 
 
Рассмотрим  конструкцию, отличающуюся от фермы 1 малым углом ε подъема 
нижней панели (строительный подъем) (рис. 2 и рис. 3). Строительный подъем предусмотрен 
для компенсации прогиба фермы от действия собственного веса.  
Для нахождения прогиба середины пролета проделаем аналогичные операции, но 
координаты 
узлов 
по 
оси 
z 
теперь 
будут 
заданы 
следующим 
образом: 

1
1
2
1
,
,
k
k
k
z
z
h z
h
h
+
+
=
=
=
+
 где 
1
(
1)
sin( ),
h
i
a
ε
=
−
⋅ ⋅
 при 
1..(
1),
i
n
=
+
 и 
1
(2
1
)
sin( ),
h
n
i
a
ε
=
+ −
⋅ ⋅
 
при 
(
2),...,(2
1).
i
n
n
=
+
+
  
Последовательно решая задачу с одной, двумя, тремя и т.д. панелями в половине 
пролета, получаем формулу, зависящую от n, a, b, h, P, E, F и малого угла ε. Полученные 
решения раскладываем  по малому параметру ε в ряд Тейлора, используя функцию 
mtaylor. 
 

Ларичев С.А. 

 
           Рис. 2. Ферма 2                                                        Рис 3. Ферма 2, фронтальный вид 
 
Для практических расчетов достаточно удерживать в формуле только первую степень 
ε, так как полагаем 
2
0
ε ≈
. Воспользовавшись методом индукции, получаем формулу 
 
(
)

2
2
3/2
2
2
2
3/2
3
3
3
2
2
3/2

2
2
3
(
4
)
(
4
4
)
8
(
4
)
.
32
16

P n b
h
n b
h
a
a n
b
P b
h
na
h EF
h EF

ε
+
+
+
+
+
+
+
Δ =
−
 

 
Заметим, что первое слагаемое совпадает с Δ1. Знак минус перед вторым слагаемым 
позволяет утверждать, что при увеличении подъема середины пролета прогиб при 
неизменной нагрузке уменьшается. 
 
Ферма 3, искривление в плане 
 
 
Рассмотрим еще одну конструкцию. За основу возьмем Ферму 1 (рис. 1) с боковым 
сдвигом  на угол η  (по оси x , рис.4 и рис. 5). 

       
 
        Рис. 4. Ферма 3                                                  Рис. 5. Ферма 3, вид сверху 
 
Проделаем уже известные операции расчета и индукции вплоть до определения 
прогиба середины пролета по формуле Максвелла-Мора.  Координаты узлов по оси x будут 
заданы следующим образом: 
2
1
2
2
/ 2
,
/ 2
,
,
k
k
k
x
b
h
x
b
h
x
h
+
+
=
+
= −
+
=
 где 
2
(
1) sin ,
h
i
a
η
=
−
 

при 
1,...,(
1),
i
n
=
+
 и 
2
(2
1
)
sin ,
h
n
i
a
η
=
+ −
⋅ ⋅
 при 
(
2),...,(2
1).
i
n
n
=
+
+
 

Ларичев С.А. 
 
 
Отметим, что силы, приложенные к углам основания и имитирующие опоры, не будут 
равны P/4, как в двух предыдущих примерах. Их находим, используя симметрию 
конструкции и уравнения статики:  
 

                           
1
2
1
sin
1
sin
,
.
4
2
4
2
a
a
Y
P
Y
P
b
b

η
η
⎛
⎞
⎛
⎞
=
−
=
+
⎜
⎟
⎜
⎟
⎝
⎠
⎝
⎠
 

 
Чтобы получить формулу, зависящую от n, a, b, h, P, E, F и малого угла η, 
последовательно решаем задачу, точно также как и в примере с Фермой 2. Полученные 
решения раскладываем в ряд Тейлора по малому параметру η, и находим интересующее нас 
слагаемое при η (как и в первом случае полагаем 
2
0
η ≈
). Пользуясь методом индукции, 
получаем формулу 
 
(
)

2
2
3/2
2
2
2
3/2
3
3
3
2
2
3/2
3

3
2
2
(
4
)
(
4
4
)
8
((
4
)
)(
1) .
32
8

P n b
h
n b
h
a
a n
b
Pa b
h
b
n
h EF
h bEF

η
+
+
+
+
+
+
+
−
+
Δ =
−
 

 
Как и следовало предполагать, первое слагаемое совпадает с Δ1. Так как перед вторым 
слагаемым стоит знак минус и a>0, b>0, h>0 и n>0 можно утверждать, что при сдвиге 
середины пролета прогиб при неизменной нагрузке уменьшается. 
Пусть задана длина половины пролета фермы: L
na
=
. Введем обозначение 
/
EF P
Δ = Δ
. На графике (рис. 6) зависимости величины прогиба от числа панелей n 
обнаруживается минимум. 

 
Рис. 6. График зависимости ( )
n
Δ при b=3м, h=4м, L=20м, ε=η=0,05.( Ферма 1, 2, 3) 
 
Оптимальное число панелей в половине пролета n можно найти из условия равенства 
производной прогиба по n нулю. В Maple эти операции выполняются с помощью операторов 
diff и solve. Полученный ответ необходимо округлить. В рассмотренном примере 
минимум достигается при n=5. 
 
 
 

Ларичев С.А. 
 
 
Литература 
 
1. Кирсанов М.Н., Андреевская Т.М. Анализ влияния упругих деформаций мачты 
на позиционирование антенного и радиолокационного оборудования // Инженерностроительный журнал. 2013. №5(40). С. 52–58.  
2. Кирсанов М.Н. Учет строительного подъема в аналитическом расчете 
пространственной 
балочной 
фермы 
// Известия Московского 
государственного 
технического университета МАМИ. 2014. Т. 4. № 2 (20). С. 36-40.  
3. Кирсанов М.Н. Изгиб, кручение и асимптотический анализ пространственной 
стержневой консоли // Инженерно-строительный журнал. 2014. №5(49). С. 37–43. 
4. Леонов П.Г., Кирсанов М.Н. Аналитический расчет и анализ пространственной 
стержневой конструкции в системе Maple // Труды Международной научнометодической 
конференции 
«Информатизация 
инженерного 
образования» 
ИНФОРИНО-2014 (Москва, 15—16 апреля 2014 г.).  М.: Издательство МЭИ, 2014.  С. 
239-242. 
5. Кирсанов М.Н. Особенности аналитического расчета пространственных 
стержневых систем. // Строительная механика и расчет сооружений. №5. 2011. С. 1115. 
6. Кирсанов М.Н. Maple и Maplet. Решения задач механики. СПб.: Лань, 2012. 
512с. 
7. Смирнов А.Ф., Александров А.В., Лащеников Б.Я., Шапошников Н.Н. 
Строительная механика. Стержневые системы: Учебник для вузов/ Под ред. Смирнова 
А.Ф.  М.: Стройиздат, 1984. 415 с. 
 

 

Математическое моделирование течения в разветвленной обходной 
галерее 
Тимофеева О.А. 
ГУМРФ им. адм. С.О. Макарова 
 
В статье исследуется течение в поворотной области галереи с двумя выходами 
(рис.1). На выходе потока скорости распределены неравномерно (выше у вогнутой 
стенки). Для уменьшения максимальных скоростей в [1] после лабораторных 
исследований было предложено применить гасители скоростей в виде выступов, 
расположенных на вогнутой стороне вертикальной стенки галереи. Модель разветвленной 
галереи представляет обобщение модели [2] для галереи с одним выходом. 

 
Рис. 1. План обходной разветвленной галереи с выступами 

Рассмотрим течение на выделенном участке I (рис.1), расчетная схема которого 
представлена на рис. 2. 

 
Рис. 2. Расчетная схема 

Течение в этой области состоит из трех вихревых течений: вихревое с 
завихренностью 
0
0
,
0
ω ω
−
>
 в области 
0
D , вихревое с завихренностью 
1
1
,
0
ω ω >
 в области 

1
D , вихревое с завихренностью 
2
2
,
0
ω ω >
 в области 
2
D . 
Для функции тока получаем квазилинейное уравнение Лаврентьева-Гольдштика с 
разрывной правой частью 

0
0

1
1

2
2

,

,

,

z
D

z
D

z
D

ω

ψ
ω

ω

∈
⎧
⎪
Δ
=
−
∈
⎨
⎪ −
∈
⎩

 

с граничными условиями, указанными на рис. 2; дополнительное условие: 

1
1
Q
γ
ψ
=
, 

2
2
Q
γ
ψ
=
 так как кривые 
1γ , 
2
γ  являются линиями тока. 

Значение 
1
Q  определяется в точке разветвления галереи при решении задачи для 

области, показанной на рис.3: 
0
ψ
ω
Δ
=
, на входе и выходе потока (
1
Γ ) линии тока 

I 

Тимофеева О.А. 

 

расположены ортогонально границе, т.е. 
0
n
ψ
∂
=
∂

, на нижней части границы функция тока 

равна нулю, а на верхней равна расходу жидкости 
2
Q  (
2
Γ ). 

 
Рис. 3 

Линии раздела 
1γ , 
2
γ  (рис.2) находим итеративно. Отдельные итерации представляют уже 

решение линейного уравнения Пуассона при фиксированных 
1γ , 
2
γ , форма которого 
имеет вид: 
(
)
(
)
(
)
(
)
2
2
1
1,1
2,1
2
1,2
2,2
0
1,1
1,2
3
4
/ 4
x
y
ψ
ω ψ
ψ
ω ψ
ψ
ω ψ
ψ
ψ
ψ
=
+
+
+
+
+
+
+
+
+
, 

где 
1,
1
1
ln
2
i

i
D
d
z
ψ
ζ
π
ζ
=
−
∫∫
, 
1,2
i =
 - потенциал площади, 

 
2,i
ψ
, 
1,2
i =
 - решение задачи 
2,
0
i
ψ
Δ
=
 в D  с граничными значениями: 

 

1
1

2,
1,
i
i
n
n

ψ
ψ

Γ
Γ

∂
∂
= −
∂
∂
, 

2
2
2,
1,
i
i
ψ
ψ
Γ
Γ
= −
, 

 
3
ψ  - решение задачи 
3
0
ψ
Δ
=
 в D  с граничными значениями: 

 
(
)
(
)

1
1

2
2
1,1
1,2
3
/ 4
x
y

n
n

ψ
ψ
ψ

Γ

Γ

∂ −
−
−
+
∂
=
∂
∂
, 
(
)
(
)

2
2

2
2
3
1,1
1,2
/ 4
x
y
ψ
ψ
ψ
Γ
Γ
= −
−
−
+
, 

 
4
ψ  - решение задачи 
4
0
ψ
Δ
=
 в D  с граничными значениями: 

1

4
0
n
ψ

Γ

∂
=

∂
, 

2
4
0
ψ
ψ
Γ =
. 

Численная процедура решения интегрального уравнения сводится к линейным 
системам с последующим использованием для их решения пакета LinearAlgebra системы 
компьютерной математики Maple [3,4] 

(
)
1
E
E B
A
+ − +
−
⎡
⎤
⎣
⎦

2

2
n

ψ

ψ

⎡
⎤

⎢
⎥
∂
⎢
⎥
∂
⎣
⎦

=
(
)
1
A
E
E B
−
+
−
⎡
⎤
⎣
⎦

2

2

n

ψ

ψ

∂
⎡
⎤

⎢
⎥
∂
⎢
⎥

⎣
⎦

 

относительно неизвестных 

2

2
n

ψ

ψ

⎡
⎤
⎢
⎥
∂
⎢
⎥
∂
⎣
⎦

. 

На линиях 
iγ , 
1,2
i =
 раздела вихревых течений используем условие равенства 

функции тока ψ  значению 
i
Q . На этом этапе корректируем значение 
i
ω , и происходит 

исправление линии 
iγ  на уровень 
i
Q
ψ =
. Повторяем процесс для новых 
iγ , 
1,2
i =
.