Прикладной функциональный анализ

Москва  2019

МИНИС ТЕРС ТВО НАУКИ И ВЫСШ ЕГО О Б РА З О ВА Н И Я РФ

ФЕДЕРАЛЬНОЕ ГОСУДАРСТВЕННОЕ АВТОНОМНОЕ ОБРАЗОВАТЕЛЬНОЕ УЧРЕЖДЕНИЕ
ВЫСШЕГО ОБРАЗОВАНИЯ
«НАЦИОНАЛЬНЫЙ ИССЛЕДОВАТЕЛЬСКИЙ ТЕХНОЛОГИЧЕСКИЙ УНИВЕРСИТЕТ «МИСиС»

ИНСТИТУТ ИНФОРМАЦИОННЫХ ТЕХНОЛОГИЙ  
И АВТОМАТИЗИРОВАННЫХ СИСТЕМ УПРАВЛЕНИЯ

Кафедра автоматизации

А.В. Шаронов
А.О. Маркарян

ПРИКЛАДНОЙ ФУНКЦИОНАЛЬНЫЙ 
АНАЛИЗ

Практикум

Рекомендовано редакционно-издательским 
советом университета

№ 3619

УДК  004.056.53 
Ш25

Р е ц е н з е н т 
канд. техн. наук, доц. Ю.Б. Склеймин (МАИ)

Шаронов А.В.
Ш25  
Прикладной функциональный анализ : практикум / 
А.В. Шаронов, А.О. Маркарян. – М. : Изд. Дом НИТУ 
«МИСиС», 2019. – 40 с.

В практикуме рассмотрены отдельные разделы прикладного 
функционального анализа. Показаны особенности применения методов функционального анализа для решения задач автоматизации и 
управления в технических системах. По каждому практическому занятию даны основные теоретические сведения, приведены примеры 
с развернутым решением, предложены задания для самостоятельной 
работы.
Практикум предназначен для обучающихся в магистратуре по направлениям подготовки 15.04.04 «Автоматизация технологических 
процессов и производств» и 27.04.04 «Управление в технических системах». Материалы могут быть полезны аспирантам, осуществляющим научно-исследовательскую деятельность в области динамических систем.

УДК 004.056.53

© А.В. Шаронов,  
А.О. Маркарян, 2019
© НИТУ «МИСиС», 2019

Cодержание

Введение ........................................................................... 4
Тема № 1. Метрические пространства ................................... 5
Тема № 2. Линейные нормированные пространства .............. 14
Тема № 3. Аппроксимация в метрическом пространстве ........ 18
Тема № 4. Отображение линейных пространств входов систем 
на линейные пространства их выходов ................................ 20
Тема № 5. Отображение геометрических фигур  
на плоскости ................................................................... 24
Тема № 6. Ограниченность линейных операторов, заданных 
на векторных пространствах входов. Норма линейного  
оператора ........................................................................ 27
Тема № 7. Построение линейных операторов по заданной 
структурной схеме ........................................................... 32
Библиографический список ............................................... 39

ВВЕДЕНИЕ

Методы функционального анализа широко используются для 
решения задач автоматического управления. Применение этих 
методов обусловлено независимостью от ряда гипотез, выдвигаемых в классической теории автоматического управления: гипотезы о неизменности свойств управляемого объекта во времени, 
гипотезы о нелинейности объекта и гипотезы о независимости 
свойств объекта от его расположения в пространстве. 
Методы функционального анализа дают возможность исследовать свойства операторов систем, заданных на конкретных 
пространствах, образуемых множеством входных воздействий, и 
позволяют решать задачи, для которых классические методы неприменимы, например, задачи, возникающие в нестационарных 
и нелинейных системах.
Предлагаемый практикум структурирован по темам, изучаемым магистрами в рамках дисциплины «Прикладной функциональный анализ». По каждому практическому занятию даны 
краткие теоретические сведения, приведены примеры типовых 
задач с подробным решением, а также предложены задания для 
самостоятельного решения.
Практикум является дополнением учебного пособия А.В. Шаронова «Методы функционального анализа в теории систем автоматического управления».

Тема № 1 

МЕТРИЧЕСКИЕ ПРОСТРАНСТВА

Задачи идентификации и диагностики объектов управления 
предполагают необходимость сравнения, по крайней мере, двух 
элементов. Например, принятие решения об исправности объекта осуществляется на основании сравнения результатов наблюдений за входом и выходом с эталонными. Возможность такого 
сравнения обусловлена введением метрики, т.е. определением 
способа вычисления расстояния между элементами в выбранных метрических пространствах.
Определение 1.1. Метрическим пространством называется 
пара (X, ρ), состоящая из некоторого множества (пространства) 
элементов (точек) X и расстояния – однозначной, неотрицательной, действительной функции ρ(x,y), определенной для ∀ x, 
y ∈ X, и подчиненной следующим трем аксиомам:
1) ρ(x,y) ≥ 0, причем ρ(x,y) = 0 тогда и только тогда, когда 
x = y;
2) ρ(x,y) = ρ(y,x) (аксиома симметрии);
3) ρ(x,z) ≤  ρ(x,y) + ρ(y,z) (аксиома треугольника).
Метрическое пространство обозначается, как правило,
R = (X, ρ) или X.

Примеры метрических пространств
1. Пространство изолированных точек:

 

=

= 
≠


0, если 
,
( , ) 
0, если 
.

x
y
x y
x
y  
(1.1)

2. Пространство действительных чисел R1 с расстоянием

 
ρ(x, y) = |x – y|. 
(1.2)

3. Множество упорядоченных групп из n действительных чисел образует:
3.1. n-мерное арифметическое евклидово пространство Rn, где

 

(
)
(
)

=
ρ
=
−
∑
2

1
.

n

k
k
k
x, y
y
x
 
(1.3)