Временное и частотное преобразование сигналов в системах управления

УДК 519.717 
Ш23 

Р е ц е н з е н т 
канд. техн. наук, доц. СВ. Громов 

Шапкарина Г.Г. 

Ш23 
Временное и частотное преобразование сигналов в системах 
управления: Учеб.-мегод. пособие. - М.: МИСиС, 2005. - 76 с. 

Рассмотрены основные методы преобразования сигналов, применяющиеся при анализе и синтезе систем автоматического управления. Описаны пространственно-временные и частотно-спектральные способы представления 
сигналов. Рассмотрены вопросы классификации сигналов, действующих в 
системах управления. Приведены методы построения базисных функций. 

Соответствует государственному образовательному стандарту дисциплины «Методы преобразования в системах управления». 

Предназначено для студентов второго и третьего курсов специальности 
210200 «Автоматизация технологических процессов и производств». 

© Московский государственный институт 
стали и сплавов (Технологический 
университет) (МИСиС), 2005 

ОГЛАВЛЕНИЕ 

Введение 
4 

1. Сигнал и его характеристики 
6 

2. Разложение сигналов в ряды по элементарным функциям 
8 

3. Специальные функции 
11 

4. Разложение непрерывного сигнала по специальным функциям.... 14 
5. Классификация функций 
19 

6. Базисные функции 
22 

7. Ортогональное представление сигналов 
22 

8. Частотное представление периодических сигналов 
28 

9. Ряд Фурье и наименьшая среднеквадратическая ошибка 
41 

10. Преобразование Фурье для непериодических функций 
43 

11. Текущий и мгновенный спектры 
63 

12. Дискретный ряд Фурье и дискретное преобразование Фурье 
68 

Заключение 
74 

Библиографический список 
75 

3 

Введение 

Используемые в теории регулирования методы исследования автоматических систем базируются на ряде разделов высшей математики. Математическими моделями систем автоматического регулирования в большинстве случаев являются дифференциальные или 
разностные уравнения, поэтому знание основных разделов теории 
дифференциальных и разностных уравнений необходимо при проектировании и исследовании систем управления. 

При изучении теории дифференциальных и разностных уравнений наиболее целесообразно использовать матричную (векторную) 
форму записи этих уравнений. Матричная форма записи уравнений 
автоматических систем является весьма компактной, что имеет существенное значение при анализе многомерных систем управления. 
Компактность записи уравнений в матричной форме, а также характерные приемы матричного исчисления, связанные с решением уравнений, приводят к упрощению и наглядности самого процесса решения. Понимание основных вопросов теории дифференциальных 
уравнений, а также необходимых элементов матричного исчисления 
и линейной алгебры позволяет, кроме того, овладеть общей теорией 
устойчивости движения и разработанными на основе теории методами исследования устойчивости автоматических систем. 

В теории автоматического управления получили широкое распространение частотные методы анализа и синтеза систем. Частотные 
методы являются весьма удобным инструментом, пригодным для 
суждения об устойчивости системы, точности ее работы, качестве 
переходных процессов и т.д. Математической основой частотных 
методов является спектральное представление сигналов и связанные 
с этими представлениями частотные характеристики системы. В 
свою очередь, спектральные представления непосредственно опираются на ту часть математического анализа, в которой рассматривается теория рядов Фурье и интеграла Фурье. Таким образом, знание 
этих разделов высшей математики необходимо для восприятия частотных методов исследования систем управления. 

Частотные методы предусматривают анализ систем управления в 
комплексной плоскости, поэтому чрезвычайно важным является изучение аппарата теории функций комплексного переменного. 

Одним из важнейших математических инструментов, применяемых при исследовании систем управления, является операционное 

4 

исчисление. Использование методов операционного исчисления при 
интегрировании многих типов дифференциальных, интегродифференциальных и разностных уравнений приводит к упрощению процесса решения, и поэтому операционное исчисление нашло значительное применение в теории управления при определении процессов, происходящих в системах. 

Основная задача, возникающая при исследовании систем автоматического управления, заключается в математическом описании основных устройств системы и модели сигналов рассматриваемой системы. При всем многообразии классификации как устройств, так и 
сигналов прежде всего они (системы и сигналы) подразделяются на 
непрерывные и дискретные. 

Для устройств системы, которые описываются как непрерывными, так и дискретными уравнениями связи, основным классификационным признаком является их принадлежность к линейному или нелинейному классу математических описаний. Он принимается во 
внимание при анализе функционирования и при синтезе системы, 
начиная уже с рассмотрения статических характеристик системы. 
Если элемент системы можно линеаризовать в малых приращениях, 
то такая система может быть линеаризована, в противном случае 
система называется существенно нелинейной. 

В предлагаемом пособии рассматриваются методы преобразования, применяемые в задачах управления как для устройств систем, 
так и для сигналов. 

5 

1. Сигнал и его характеристики 

Передача, преобразование и получение информации в системах 
автоматического управления и связи неразрывно связаны с понятием 
сигнала. 

Сигнал - это материальный носитель информации в широком 
смысле слова. Один и тот же материальный объект, используемый в 
качестве сигнала, может иметь различные математические описания, 
или представления. Под представлением сигналов понимается построение такой их математической модели, которая с достаточной 
полнотой отражала бы основные свойства реальных сигналов, необходимые для решения данной задачи или данной группы задач. 

В реальных системах связи и управления сигнал передается на 
более или менее далекое расстояние чаще всего в виде электромагнитного возмущения, поэтому физической величиной, определяющей характер сигнала, обычно является напряжение (или ток), изменяющееся во времени по определенному закону, отображающему 
передаваемое сообщение. В теоретических исследованиях сигнал, 
независимо от его физической природы, заменяется математическим 
представлением в виде некоторой функции времени, описывающей 
закон изменения во времени, заложенный в реальном сигнале. 

При всем многообразии сигналов для исследования задач автоматического управления наиболее целесообразным представляется использовать следующую классификацию математического представления сигналов: детерминированные сигналы и случайные сигналы. 

Детерминированным (регулярным) называется сигнал, значения 
которого в любые моменты времени являются известными величинами, иначе говоря, регулярный сигнал соответствует известному 
сообщению. 

Выражение регулярного сигнала определенной функцией времени 
называют временным представлением сигнала. Если значения сигнала в любые моменты времени будут случайными величинами, то такой сигнал называется случайным. 

Сигналы каждой из названных групп в свою очередь могут быть 
подразделены на непрерывные и дискретные. 

Непрерывным называется сигнал, являющийся функцией непрерывно изменяющейся независимой переменной t. Сигнал должен 
быть однозначно определен для всех значений t на заданном интервале за исключением, возможно, счетного числа точек. (Определение 
непрерывного сигнала шире, чем математическое определение не
6 

прерывной функции: например, функция, изображенная на рис. 1,а, 
не является непрерывной и терпит разрыв в определенной точке, хотя и описывает согласно приведенному выше определению непрерывный сигнал на интервале 
a<t<b.) 

x(t)i 

X(t)i 

x(t)' 

г) 

о 
1 2 
3 
4 
5 
6 
7 

X(t) 
^ 

6 

4 

2 

-у 
\ \ 
^^ 

1 2 
3 
4 
5 
6 
7 

Рис. 1 

Дискретным называется сигнал, определенный только для последовательности дискретных значений независимой переменной t 
(рис. 1,б-д). Часто при отличных от указанной последовательности 

7 

значениях t сигнал равен нулю, что, однако, несущественно с точки 
зрения приведенного определения. Во многих практически интересных случаях моменты времени, в которые определяется сигнал, равноотстоят друг от друга и обозначаются h^ta + кТ, где Г - промежу­
ток времени между последовательными моментами, а к принимает 
целые значения. В этом случае сигнал зависит от дискретной независимой переменной к. 

Существует и другое определение: дискретным называется сигнал, квантованный по уровню или по времени (или по уровню и по 
времени одновременно). При квантовании по уровню все возможные 
значения сигнала в данный момент времени представляются некоторым конечным числом разрешенных уровней, отстоящих друг от 
друга на конечные интервалы. Квантование можно упрощенно трактовать как округление до ближайшего подходящего значения подобно округлению числа до ближайшего целого, т.е. квантованным по 
уровню сигналом называется сигнал, который может принимать 
только определенное число различных значений. Квантованные по 
уровню сигналы могут быть как непрерывными, так и дискретными. 
При квантовании по времени, как было указано ранее, сигнал представляется своими значениями только в некоторые фиксированные 
моменты времени. 

Однократно квантованный сигнал (т.е. квантованный только по 
уровню или только по времени) иногда рассматривают как дискретно-непрерывный, считая дискретным только сигнал, одновременно 
квантованный как по уровню, так и по времени. Однако чаще пользуются первым определением дискретного сигнала. Является привычным пространственно-временное представление сигналов: различные физические величины, представленные нами как х^ых и х^х 
(например, напряжение электрического тока, положение механических элементов, параметры течения жидкости и т.п.), изменяются во 
времени. Для величин х^ых и х^х, являющихся функциями времени t, 
введем единое обозначение x{t) или х ^f{t). 

2. Разложение сигналов в ряды 
по элементарным функциям 

Одной из основных задач теории управления является задача определения реакции устройства или системы на внешнее входное воздействие. Для определенного вида входных сигналов реакцию системы определить проще, чем при произвольном входном сигнале. 
Для линейных систем справедлив принцип суперпозиции, поэтому 

8