Компьютерное моделирование нанотехнологий, наноматериалов и наноструктур : моделирование наносистем методами молекулярной динамики

МИНИСТЕРСТВО ОБРАЗОВАНИЯ И НАУКИ РФ 

ФЕДЕРАЛЬНОЕ ГОСУДАРСТВЕННОЕ АВТОНОМНОЕ ОБРАЗОВАТЕЛЬНОЕ УЧРЕЖДЕНИЕ  
ВЫСШЕГО ПРОФЕССИОНАЛЬНОГО ОБРАЗОВАНИЯ  
«НАЦИОНАЛЬНЫЙ ИССЛЕДОВАТЕЛЬСКИЙ ТЕХНОЛОГИЧЕСКИЙ УНИВЕРСИТЕТ «МИСиС» 

 

 
 
 

 

 

 

 
 

 

№ 2208 

Кафедра полупроводниковой электроники и физики полупроводников 

С.Ю. Юрчук 
 

Компьютерное моделирование 
нанотехнологий, наноматериалов 
и наноструктур 

Моделирование наносистем  
методами молекулярной динамики 

Курс лекций 

Рекомендовано редакционно-издательским 
советом университета 

Москва  2013 

УДК 539.219.3(075.8) 
 
Ю83 

Р е ц е н з е н т  
д-р физ.-мат. наук, проф. Ф.И. Маняхин 

Юрчук, С.Ю. 
Ю83  
Компьютерное моделирование нанотехнологий, наноматериалов и наноструктур : моделирование наносистем методами 
молекулярной динамики : курс лекций / С.Ю. Юрчук. – М. : 
Изд. Дом МИСиС, 2013. – 47 с. 
ISBN 978-5-87623-663-0 

Цель курса лекций – ознакомить студентов с методами моделирования 
процессов выращивания наноструктур. Даны основные представления о методе Монте-Карло, основанном на выборе случайных процессов. Представлены приложения метода Монте-Карло для моделирования взаимодействия 
частиц. Даны основные представления моделирования выращивания нанопленок методом молекулярной динамики, с помощью которого можно численно интегрировать классические уравнения движения и проследить траекторию движения атомов и молекул в некотором конечном временном интервале, не превышающем нано- или микросекунду. Показаны примеры результатов моделирования роста нанослоев. 
Предназначен для студентов, обучающихся в магистратуре по направлению 210100 «Электроника и наноэлектроника». 
УДК 539.219.3(075.8) 

ISBN 978-5-87623-663-0 
© С.Ю. Юрчук, 2013 

ОГЛАВЛЕНИЕ 

1. Моделирование наносистем методами Монте-Карло.......................4 
1.1. Генерация случайных чисел на отрезке [a, b)  
в соответствии с заданной функцией распределения P(x) ..............5 
1.2. Интегрирование методом Монте-Карло.....................................7 
1.3. Приложения метода Монте-Карло к наносистемам, 
состоящим из нескольких частиц ......................................................9 
1.4. Применение метода Монте-Карло к неравновесным  
задачам................................................................................................10 
1.5. Уравнение Ланжевена................................................................11 
1.6. Взаимодействующие системы...................................................14 
Выводы...............................................................................................16 
2. Моделирование наносистем методами молекулярной динамики....17 
2.1. Принципы молекулярно-динамического моделирования 
наносистем .........................................................................................17 
2.2. Интегрирование уравнения движения Ньютона .....................21 
2.3. МД моделирование систем в контакте с тепловой  
ванной-термостатом..........................................................................25 
2.4. Плазмохимическое осаждение, моделирование роста 
покрытий в условиях бомбардировки высокоскоростными 
атомами...............................................................................................30 
2.5. Потенциал межчастичного взаимодействия............................32 
2.6. Алгоритм Бимона .......................................................................35 
Библиографический список...................................................................46 
 

1. МОДЕЛИРОВАНИЕ НАНОСИСТЕМ 
МЕТОДАМИ МОНТЕ-КАРЛО 

Моделирование методами Монте-Карло можно использовать в 
нанонауке для воспроизведения различных сложных физических явлений, включая расчеты свойств, предсказания фазовых переходов, 
самосборку структур, усредненных с помощью термической обработки, распределения зарядов и др. Имеется большое многообразие 
методов моделирования Монте-Карло, применяемых в зависимости 
от рассматриваемой наносистемы и желаемых результатов вычислений. Они включают классический, квантовый и объемный методы, 
но не ограничиваются ими. 
Основу моделирования Монте-Карло составляют случайные числа. Для успешного моделирования самая важная проблема – это генерация случайных чисел. 
Случайные числа, равномерно распределенные на отрезке [0,1), 
могут быть сгенерированны с помощью следующего алгоритма: 
1. Задается начальное значение чисел g, m. 
2. Рассчитывается случайное значение Sk = (gSk–1 + i)mod(m). 
3. Для k > 0 и 0 ≤ Sk < m случайное число rk = Sk/m, где k = 1, 2, …, ∞. 
S0 называется зерном. При использовании одного и того же зерна 
может воспроизводиться одинаковый набор чисел. Символы g, i и m 
обозначают генератор (или множитель), приращение и числовую характеристику. Функция «mod» на языках С++ и Delphi возвращает 
остаток (на языке Visual Basic функция RND). Предпочтительно, чтобы S0 было большим нечетным числом. Число m целесообразно выбирать равным 2Е, где Е > 35. Большое число g уменьшает корреляции 
внутри ряда. Число i должно быть простым по отношению к числу m, 
g – 1 многократным по отношению к любому элементарному числу m. 
В этом случае период последовательности будет равен 2Е. В языках 
высокого уровня имеются встроенные функции генерации случайных чисел (Visual Basic и Delphi – «Random», для инициации генератора случайных чисел имеется функция «Randomize», которая требуется, чтобы исключить повторяемость набора случайных чисел). 

1.1. Генерация случайных чисел на отрезке [a, b) 
в соответствии с заданной функцией 
распределения P(x) 

Выборка по значимости, также известная как «смещенная выборка», может использоваться для генерации случайных чисел согласно заданной функции распределения P(x). Это возможно потому, 
что эффективность методов выборки по значимости может быть заметно увеличена соответствующим отбором точек выборки. Описываемая методика называется «выборкой по значимости». 
Назначение выборки по значимости состоит в том, чтобы заострять внимание на точках выборки, где функция распределения значительна, и избегать выборки там, где значение функции пренебрежимо мало. Необходимо внести поправку на это смещение точек выборки, взвешивая определенным образом значения выборки. Общий 
подход к выборке по значимости состоит из двух этапов. 
1. На начальном этапе проводится предварительная оценка функции P(x). Интересуемая область делится на довольно крупные ячейки, значение функции P(x) определяется по центру каждой ячейки, и 
это значение и кумулятивная сумма записываются. 
2. Следующий этап состоит в отборе стольких точек выборки, 
сколько желательно. Но применять методику отбора надо таким образом, чтобы число точек выборки в каждой ячейке было пропорционально значению функции P(x) в центре этой ячейки, определенному на начальном этапе. При этом каждой выборке задается 
вес, обратно пропорциональный значению функции в центре ячейки. 
Существует несколько способов генерации случайных чисел при 
помощи выборки по значимости. 
1. В случае заданного отрезка [a, b) для получения требуемого 
числа случайных точек N сначала разделим интервал на 
N  частей 
(это число выбирается произвольно). Далее создадим однородный 
набор точек для каждой части, при этом число генерированных точек 
будет равно 

 
( )
(
)
i

i

NP x

P x
∑
, 
(1.1) 

где xi – точка в середине каждой части. Очевидно, что генерированные точки распределяются в соответствии с Р, и их число почти N.