Нелинейные задачи строительной механики. Методы оптимального проектирования конструкций

Б.А. ТУХФАТУЛЛИН
НЕЛИНЕЙНЫЕ ЗАДАЧИ 
СТРОИТЕЛЬНОЙ МЕХАНИКИ
МЕТОДЫ ОПТИМАЛЬНОГО 
ПРОЕКТИРОВАНИЯ КОНСТРУКЦИЙ
УЧЕБНОЕ ПОСОБИЕ
Москва
ИНФРА-М
2021

УДК 624.04(075.8)
ББК 38.112я73
 
Т91
Р е ц е н з е н т ы:
Путеева Л.Е., кандидат технических наук, доцент кафедры строительной механики Томского государственного архитектурно-строительного университета;
Шильников С.М., кандидат технических наук, доцент кафедры 
строительной механики Томского государственного архитектурностроительного университета; 
Скударнов А.В., директор ООО «Архпроектсервис» (г. Томск)
Тухфатуллин Б.А.
Т91 
 
Нелинейные задачи строительной механики. Методы оптимального 
проектирования конструкций : учебное пособие / Б.А. Тухфатуллин. — 
Москва : ИНФРА-М, 2021. — 106 с. — (Высшее образование: Специалитет). — DOI 10.12737/1201340.
ISBN 978-5-16-016633-9 (print)
ISBN 978-5-16-109212-5 (online)
В учебном пособии рассмотрены методы оптимального проектирования 
конструкций, в том числе методы минимизации функций одной и нескольких переменных; методы решения задач линейного и нелинейного программирования; примеры оптимального проектирования плоских стальных 
рам с элементами из прокатных и составных двутавров.
Предназначено для студентов, обучающихся по специальности 08.05.01 
«Строительство уникальных зданий и сооружений», магистрантов, обучающихся по программе подготовки 08.04.01.24 «Современные технологии проектирования и строительства зданий и сооружений», изучающих 
дисциплину «Нелинейные задачи строительной механики», а также для 
аспирантов направления 08.06.01 «Техника и технологии строительства. 
Строительство зданий и сооружений», изучающих дисциплину «Строительная механика».
УДК 624.04(075.8)
ББК 38.112я73
ISBN 978-5-16-016633-9 (print)
ISBN 978-5-16-109212-5 (online)
© Тухфатуллин Б.А., 2021

ОГЛАВЛЕНИЕ
Предисловие .............................................................................................. 4
1. Введение в оптимальное проектирование конструкций............ ..6
1.1. Основные понятия и определения ............................................... .6
1.2. Примеры постановки задач ОПК................................................ ..7
1.3. Свойства оптимальных систем ................................................. ..19
1.4. Классификация задач ОПК........................................................ ..22
1.5. Обратная задача строительной механики................................ ..26
1.6. Графическая интерпретация задач ОПК .................................. ..28
2. Методы оптимизации функции одной переменной................... ..32
2.1. Свойства функции одной переменной. Исследование
функции на максимум и минимум................................................... ..32
2.2. Метод деления отрезка пополам............................................... ..38
2.3. Метод золотого сечения ............................................................ ..41
2.4. Метод равномерного поиска ..................................................... ..43
3. Методы оптимизации функций нескольких переменных.......... 47
3.1. Методы нулевого порядка ........................................................... 47
3.2. Методы первого порядка ............................................................. 61
3.3. Методы второго порядка ............................................................. 65
4. Задача оптимизации при наличии ограничений ......................... 67
4.1. Линейное программирование...................................................... 67
4.2. Нелинейное программирование.................................................. 74
5. Оптимальное проектирование стальных рам
с поперечными сечениями элементов из прокатных
и составных двутавров..................................................................... 79
5.1. Рамы с элементами из прокатных двутавров............................. 79
5.2. Рамы с элементами из двутавров
с переменной высотой стенки............................................................ 84
5.3. Рамы с элементами из двутавров составного сечения.............. 88
Заключение.............................................................................................. 96
Библиографический список ................................................................. 97
Приложение. Текст SciLab-программы для решения
задачи условной оптимизации методом случайного поиска.............. 102
3

ПРЕДИСЛОВИЕ
Оптимальное проектирование конструкций (ОПК) – бурно 
развивающаяся область знаний, объединяющая в себе математические методы поиска экстремума функций многих переменных, 
численные методы решения дифференциальных уравнений для 
определения напряжённо-деформированного состояния отдельной конструкции или всего сооружения в целом с требованиями
норм проектирования конструкций.
Несмотря на огромный набор задач, решаемых в ОПК, все 
они имеют одну цель, а именно – отыскание значений переменных (в ряде случаев – функций), удовлетворяющих предъявляемым к поставленной задаче проектирования требованиям, и доставляющих при этом выбранному критерию качества экстремального значения. Конечная цель этого процесса заключается 
во вполне понятном желании – выбрать среди множества возможных решений наилучшее решение, приводящее к экономии 
ресурсов (материальных, человеческих и т. д.).
Оптимальное проектирование строительных конструкций 
представляет собой одну из многих задач, решаемых в рамках 
учебной дисциплины «Строительная механика». В силу разных 
и вполне объективных причин включить рассмотрение данного 
раздела в традиционный курс дисциплины, как правило, не удаётся. Именно поэтому раздел «Оптимальное проектирование 
конструкций» 
в 
Томском 
государственном 
архитектурностроительном университете читается в рамках дисциплины «Нелинейные задачи строительной механики», преподаваемой студентам специальности 08.05.01 «Строительство уникальных 
зданий и сооружений» и магистрантам, обучающимся по программе подготовки 08.04.01.24 «Современные технологии проектирования и строительства зданий и сооружений».
Главная цель, преследуемая автором учебного пособия –
ознакомить обучающихся с основными идеями оптимального 
4

проектирования конструкций, в том числе и с методами решения задачи на условный экстремум, к которым неизбежно приводит поиск предварительно выбранного набора варьируемых 
параметров, удовлетворяющих заданным ограничениям и обеспечивающих экстремальное значение функции цели. Автор пособия отчётливо понимает, что невозможно в предоставленных 
рамках рассмотреть полный комплекс приёмов и методов решения поставленной задачи.
Следует также отметить, что в реальных задачах оптимального проектирования строительных конструкций не следует 
использовать только один выбранный метод. Опыт решения подобных задач, накопленный в научной школе кафедры строительной механики ТГАСУ (и не только в этой школе), подсказывает, что не существует единого метода оптимизации, позволяющего успешно решить любую проблему оптимального проектирования. Достаточно часто бывает, что даже в рамках одной 
задачи приходится использовать несколько различных методов, 
последовательно комбинируя их на различных этапах поиска 
или применяя параллельно на одном этапе с выбором далее 
наилучшего решения.
5

1. ВВЕДЕНИЕ В ОПТИМАЛЬНОЕ
ПРОЕКТИРОВАНИЕ КОНСТРУКЦИЙ
1.1. Основные понятия и определения
Традиционно задача проектирования строительных конструкций, даже при возможном рассмотрении нескольких вариантов, может быть представлена схемой [14], показанной на 
рис. 1.1.
Задание исходных данных
Определение усилий, перемещений, 
критических сил, частот собственных 
колебаний
Проверка 
выполнения 
условий 
прочности, жёсткости, устойчивости 
и т. д.
Корректировка проекта
необходима
не требуется
Готовый проект
Рис. 1.1. Схема проектирования строительной конструкции
6

Главный недостаток вариантного проектирования, используемого при традиционном подходе, заключается в том, что количество рассматриваемых проектных решений ограничено, поэтому окончательно выбранное решение будет наилучшим только среди рассмотренных, а не из всех возможных решений. Другой подход к получению наилучшего проекта заключается в 
следующем. Исходная задача формализуется. Все параметры, 
определяющие проектное решение, делятся на две непересекающиеся группы:
– изменяемые (варьируемые) параметры;
– неизменяемые (не варьируемые) параметры.
Требуется определить величины варьируемых параметров, 
при соблюдении требований норм проектирования из условия, 
что выбранный критерий качества для конструкции принимает 
экстремальное значение. В качестве критерия качества может 
быть выбран минимум веса конструкции, объём расхода материала на конструкцию, стоимость изготовления, суммарные затраты на изготовление, возведение и дальнейшую эксплуатацию
сооружения. Также в ряде случаев это может быть максимум величины критической нагрузки, основной частоты собственных 
колебаний и т. д. Минимизируемая функция критерия качества 
называется функцией цели, а условия прочности, жёсткости, 
устойчивости, конструктивные требования и др. – ограничениями задачи. Рассмотренный подход представляет собой оптимальное проектирование конструкций. Рассмотрим некоторые 
примеры постановки задач оптимального проектирования конструкций.
1.2. Примеры постановки задач ОПК
Пример № 1.1. Требуется сформулировать задачу оптимального проектирования деревянной балки прямоугольного 
7

поперечного сечения. При записи ограничений и целевой функции будем использовать единицы измерения «кН » и «см ».
Исходные данные для проектирования следующие. Пролёт 
балки 
см.
300
м
3
=
=
"
Нагрузка, действующая на балку:
– расчётная 
кН/см;
10
12
кН/м
12
-2
⋅
=
=
q
– нормативная 
кН/см.
10
9
кН/м
9
-2
н
⋅
=
=
q
y
y
q
h
z
x
"
b
Рис. 1.2. Расчётная схема балки и поперечное сечение для примера № 1.1
Расчётное сопротивление материала балки:
– изгибу
;
см
кН
5
,
1
МПа
15
2
и
=
=
R
– скалыванию
2
ск
см
кН
18
0,
МПа
8
,
1
=
=
R
.
Модули упругости материала:
–
;
см
кН
10
МПа
10
2
3
4
=
=
E
–
.
см
кН
10
3
МПа
10
3
,
0
2
2
4
⋅
=
⋅
=
G
Коэффициент запаса устойчивости 
.
5
,
2
=
у
n
В качестве варьируемых параметров выбираем ширину поперечного сечения 
1
x
b =
и высоту сечения 
.
2
x
h =
Предварительно определим геометрические характеристики поперечного 
сечения, выразив их через величины 
1
x и 
:
2
x
– площадь поперечного сечения 
;
2
1x
x
bh
A
=
=
8

– осевые моменты инерции относительно осей z и 
:
y
3
2
1
3
x
x
bh
J z
=
=
;
12
12
2
3
1
3
x
x
h
b
J y
=
=
;
12
12
2
2
1
2
x
x
bh
Wz
=
=
– момент сопротивления сечения 
;
6
6
– момент инерции на кручение, вычисляемый по формуле 
С. П. Тимошенко:
.
63
,
0
1
3
3
⎟
⎠
⎞
⎜
⎝
⎛−
=
h
b
h
b
J x
Для удобства дальнейшего использования преобразуем 
формулу вычисления
x
J
с учётом того обстоятельства, что 
наиболее прочная и жёсткая балка имеет развитую высоту сечения. Сделаем предположение, что высота сечения h будет в десять и более раз больше ширины сечения .
b Тогда формула для 
вычисления 
x
J
может быть записана в виде:
.
312
,
0
312
,
0
1
,
0
63
,
0
1
3
2
3
1
3
3
x
x
h
b
h
h
h
b
J x
=
=
⎟
⎠
⎞
⎜
⎝
⎛−
≈
Определим расход материала на изготовление балки:
.
300
2
1
⋅
=
=
=
x
x
bh
A
V
"
"
При записи всех ограничений задачи будем нормировать 
их к единице.
Условие прочности по нормальным напряжениям:
z
"
;
2
2
2
кН/см
5
,
1
−
R
x
x
W
q
W
M
300
10
12
8
=
≤
⋅
⋅
=
=
=
σ
2
и
2
2
1
z
z
6
8
x
x
.
1
5400
;
1
5
,
1
8
6
300
10
12
2
2
≤
⋅
⋅
⋅
⋅
−
2
2
1
2
2
1
≤
x
x
9

Условие прочности по касательным напряжениям:
q
2
Qy
"
;
A
−
R
x
x
x
x
2
1
кН/см
18
,
0
300
10
12
75
,
0
2
5
,
1
5
,
1
=
≤
⋅
⋅
⋅
=
=
=
τ
2
ск
2
1
x
x
.
1
150
;
1
18
,
0
300
10
12
75
,
0
2
≤
⋅
⋅
⋅
⋅
−
2
1
2
1
≤
x
x
Условие жёсткости, записанное для балки, загруженной
нормативной нагрузкой (без учёта сдвиговых деформаций):
⋅
⋅
⋅
=
=
300
10
9
5
384
5
см;
2
150
25
,
113906
−
"
"
u
z
f
x
x
x
x
EJ
q
f
3
2
1
3
2
1
3
4
2
4
н
max
=
=
≤
=
⋅
12
10
384
;
1
2
25
,
113906
3
2
1
≤
x
x
.
3
2
1
≤
⋅
x
x
1
56953
Критическая нагрузка плоской формы изгиба балки:
=
=
x
yGJ
EJ
q
3
кр
3
,
28
"
2
3
1
6
2
3
1
2
3
1
2
3
3
x
x
x
x
x
x
−
⋅
=
⋅
⋅
=
.
10
6
,
92
312
,
0
10
3
12
10
300
3
,
28
Условие устойчивости:
;
кр
q
n
q
y ≤
⋅
2
3
1
6
2
10
6
,
92
5
,
2
10
12
x
x
−
−
⋅
≤
⋅
⋅
;
.
1
3240
2
3
1
≤
x
x
Дополнительно учтём конструктивные требования:
см;
10
1 ≥
= x
b
;
1
10
1
≤
x
см;
10
2 ≥
= x
h
;
1
10
2
≤
x
см;
50
2 ≤
= x
h
.
1
02
,
0
2 ≤
x
Сформулируем задачу в терминах оптимального проектирования. Определить вектор { }
{
}
T
2
1
T
; x
x
x
=
, удовлетворяющий 
всем, записанным выше требованиям, при котором объём мате10