Лекции по численным методам математической физики

ЛЕКЦИИ
ПО ЧИСЛЕННЫМ
МЕТОДАМ
МАТЕМАТИЧЕСКОЙ
ФИЗИКИ

УЧЕБНОЕ ПОСОБИЕ

Москва
ИНФРА-М
2018

М.В. АБАКУМОВ
А.В. ГУЛИН

Допущено УМО 
по классическому университетскому образованию 
в качестве учебного пособия для студентов 
высших учебных заведений, обучающихся по направлениям подготовки 
01.03.02 «Прикладная математика и информатика» 
и 02.03.02 «Фундаментальная информатика 
и информационные технологии»

Московский Государственный университет им. М.В. Ломоносова
Факультет вычислительной математики и кибернетики

Абакумов М.В.
Лекции по численным методам математической физики : 
учеб. пособие / М.В. Абакумов, А.В. Гулин. —  М. : ИНФРА-М, 
2018. — 158 с. — (Высшее образование: Бакалавриат).

ISBN 978-5-16-006108-5

Пособие отражает содержание лекционного курса «Численные методы математической физики», читаемого студентам факультета вычислительной математики и кибернетики МГУ им. М.В. Ломоносова. 
Излагаются основы теории разностных схем и метода конечных элементов. Рассматриваются прямые и итерационные методы решения 
систем разностных уравнений, возникающих при аппроксимации 
многомерных задач математической физики. Обсуждается применение теории устойчивости к исследованию разностных схем. Приводятся примеры построения, исследования и численной реализации 
разностных схем для нелинейных задач. Содержится набор упражнений, способствующий активному усвоению излагаемого материала.
Пособие рассчитано на студентов старших курсов, магистрантов 
и аспирантов, специализирующихся в области прикладной математики.

УДК 519.63(075.8)
ББК 22.193я73

ISBN 978-5-16-006108-5
© Абакумов М.В., Гулин А.В., 2012

А13

УДК 519.63(075.8)
ББК 22.193я73
 
А13

Печатается по решению 
Редакционно-издательского совета 
факультета вычислительной математики и кибернетики МГУ 
им. М.В. Ломоносова

Р ецен з е н т ы:
Костомаров Д.П., академик РАН, профессор
Денисов А.М., профессор

ФЗ 
№ 436-ФЗ
Издание не подлежит маркировке 
в соответствии с п. 1 ч. 4 ст. 11

Оглавление

Предисловие
7

1
Метод конечных элементов
9

1.1
Кусочно-линейные восполнения
. . . . . . . . . . . . . . . . .
9

1.1.1
Построение кусочно-линейного восполнения . . . . . .
9

1.1.2
Сходимость кусочно-линейных восполнений . . . . . .
11

1.2
Понятие о методе конечных элементов
. . . . . . . . . . . . .
13

1.2.1
Общее описание метода . . . . . . . . . . . . . . . . . .
13

1.2.2
Исходная задача и определение приближенного
решения . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
13

1.2.3
Построение приближенного решения . . . . . . . . . .
15

1.3
Исследование сходимости МКЭ
. . . . . . . . . . . . . . . . .
16

1.3.1
Существование приближенного решения . . . . . . . .
16

1.3.2
Свойства приближенного решения . . . . . . . . . . . .
19

1.3.3
Сходимость приближенного решения к точному . . . .
21

1.4
МКЭ для уравнения Пуассона . . . . . . . . . . . . . . . . . .
23

1.4.1
Исходная задача . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
23

1.4.2
Базисные функции . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
24

1.4.3
Кусочно-линейные восполнения двумерных сеточных
функций
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
25

1.4.4
Построение конечноэлементного решения задачи
Дирихле . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
27

1.5
Задачи к главе 1 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
28

2
Принцип максимума для разностных схем
32

2.1
Разностная аппроксимация задачи Дирихле для уравнения
Пуассона
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
32

2.2
Принцип максимума . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
34

3

— Оглавление —

2.3
Следствия принципа максимума . . . . . . . . . . . . . . . . .
36

2.4
Устойчивость и сходимость разностной задачи Дирихле для
уравнения Пуассона . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
38

2.5
Примеры применения принципа максимума . . . . . . . . . . .
41

2.6
Монотонные разностные схемы для уравнений второго
порядка, содержащих первые производные . . . . . . . . . . .
48

2.7
Задачи к главе 2 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
50

3
Методы решения сеточных уравнений
53

3.1
Модельная задача . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
53

3.1.1
Оператор разностной задачи Дирихле для уравнения
Пуассона в прямоугольнике
. . . . . . . . . . . . . . .
53

3.1.2
Модельная задача и ее свойства . . . . . . . . . . . . .
59

3.2
Оценки скорости сходимости стационарных итерационных
методов . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
59

3.2.1
Скорость сходимости итерационного метода . . . . . .
59

3.2.2
Правила действий с матричными неравенствами . . . .
63

3.2.3
Оценки скорости сходимости в случае симметричных
матриц A и B
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
65

3.3
Применение стандартных итерационных методов
. . . . . . .
69

3.3.1
Метод Якоби . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
69

3.3.2
Метод Зейделя . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
70

3.4
Попеременно–треугольный итерационный метод . . . . . . . .
72

3.4.1
Алгебраическая теория . . . . . . . . . . . . . . . . . .
72

3.4.2
Применение к модельной задаче . . . . . . . . . . . . .
75

3.4.3
Попеременно–треугольный метод с чебышевскими
итерационными параметрами . . . . . . . . . . . . . . .
78

3.5
Итерационные методы вариационного типа . . . . . . . . . . .
81

3.5.1
Одношаговые итерационные методы вариационного
типа . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
81

3.5.2
Метод скорейшего спуска . . . . . . . . . . . . . . . . .
85

3.5.3
Метод минимальных невязок . . . . . . . . . . . . . . .
87

3.5.4
Метод минимальных поправок . . . . . . . . . . . . . .
87

3.5.5
Метод минимальных погрешностей . . . . . . . . . . .
88

3.5.6
Двухшаговые итерационные методы вариационного
типа . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
88

3.5.7
Примеры методов сопряженных направлений . . . . . .
90

4

— Оглавление —

3.6
Решение разностных уравнений второго порядка методом
Фурье . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
91

3.6.1
Разложение по базису собственных функций . . . . . .
91

3.6.2
Понятие о быстром дискретном преобразовании
Фурье . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
93

3.6.3
Решение разностного уравнения Пуассона методом
Фурье . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
93

3.7
Метод матричной прогонки . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
95

3.7.1
Запись разностного уравнения Пуассона в виде
системы векторных уравнений . . . . . . . . . . . . . .
95

3.7.2
Алгоритм матричной прогонки . . . . . . . . . . . . . .
97

3.7.3
Устойчивость матричной прогонки . . . . . . . . . . . .
98

3.8
Метод редукции . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 101
3.8.1
Вывод основных формул. . . . . . . . . . . . . . . . . . 101

3.8.2
Обращение матриц
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 103

3.8.3
Вычисление правых частей . . . . . . . . . . . . . . . . 104

3.8.4
Формулировка и обсуждение алгоритма
. . . . . . . . 105

3.9
Задачи к главе 3 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 107

4
Теория устойчивости разностных схем
111

4.1
Разностные схемы как операторные уравнения . . . . . . . . .
111

4.1.1
Представление разностных схем в виде операторных
уравнений . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
111

4.1.2
Корректность операторных уравнений . . . . . . . . . . 113

4.1.3
Операторы первой разностной производной . . . . . . . 115

4.2
Канонический вид и условия устойчивости двуслойных
разностных схем . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
117

4.2.1
Канонический вид двуслойных разностных схем . . . .
117

4.2.2
Устойчивость двуслойных схем
. . . . . . . . . . . . . 119

4.2.3
Теорема об устойчивости по начальным данным . . . .
121

4.2.4
Несамосопряженные разностные схемы . . . . . . . . . 123

4.3
Канонический вид и условия устойчивости трехслойных
разностных схем . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 125

4.4
Экономичные методы решения многомерных нестационарных
задач математической физики
. . . . . . . . . . . . . . . . . . 129

4.4.1
Недостатки обычных разностных методов
. . . . . . . 129

4.4.2
Пример метода переменных направлений . . . . . . . . 132

5

— Оглавление —

4.4.3
Абсолютная устойчивость продольно–поперечной
схемы . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 133

4.4.4
Понятие суммарной аппроксимации . . . . . . . . . . . 134

4.5
Задачи к главе 4 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 136

5
Разностные схемы для нелинейных задач
математической физики
139

5.1
Квазилинейное уравнение теплопроводности . . . . . . . . . . 139
5.1.1
Исходное уравнение . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 139

5.1.2
Автомодельные решения
. . . . . . . . . . . . . . . . . 140

5.2
Разностные схемы для уравнений с переменными
коэффициентами и нелинейного уравнения теплопроводности
142

5.2.1
Уравнение теплопроводности
с переменными коэффициентами . . . . . . . . . . . . . 142

5.2.2
Нелинейное уравнение теплопроводности . . . . . . . . 145

5.3
Разностная схема для нелинейного эллиптического
уравнения . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 147
5.3.1
Исходная задача и разностная схема.
Линеаризованное уравнение для погрешности . . . . . 147

5.3.2
Оценка погрешности в равномерной метрике . . . . . . 148

5.3.3
Оценка среднеквадратичной нормы погрешности
. . . 149

5.4
Итерационный метод Ньютона . . . . . . . . . . . . . . . . . . 150

5.5
Задачи к главе 5 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 152

6

— Предисловие —

Предисловие

Академик

А.А.Самарский
(1919 - 2008)

В основу настоящего учебного пособия поло
жены идеи и методические разработки академика
А.А.Самарского.

Александр Андреевич Самарский был выда
ющимся математиком, специалистом с мировым
именем в области математического моделирования и теории вычислительных методов, одним
из основоположников отечественной вычислительной математики. Известная монография «Теория
разностных схем» [1] обобщила громадный опыт
А.А.Самарского по конструированию и исследованию разностных схем, применению численных
методов к решению актуальных задач математической физики. В данном случае можно сказать,
что теория целиком выросла из практики, питается конкретными проблемами и нацелена на их

решение. На основе монографии «Теория разностных схем» была написана и в 2000 году опубликована книга «Численные методы математической
физики» [2], ориентированная в основном на студентов вузов, специализирующихся в области физики и прикладной математики, и учитывающая
особенности учебных планов.

При написании предлагаемого учебного пособия авторы преследовали

цель дальнейшего упрощения изложения, сокращения объема книги в соответствии с новыми учебными планами, в частности, с учетом перехода
на двухступенчатую систему высшего образования. Авторы постарались
справиться с непростой задачей адаптации теории разностных схем к изложению в виде годового учебного курса, предназначенного для студентовчетверокурсников факультета ВМК. Сохранены все разделы книги «Численные методы математической физики», более строго отобраны основные
понятия и примеры. В ряде случаев проведены более четкие доказательства.
Курс содержит такие разделы теории разностных методов как построение
и исследование корректности и сходимости разностных схем для типичных задач математической физики, компьютерно-ориентированные методы
решения соответствующих сеточных уравнений, вводные понятия метода
конечных элементов. Курс прошел серьезную апробацию, в течение многих
лет он излагался как обязательный курс для студентов математического
потока факультета ВМК и студентам Казахстанского филиала МГУ имени
М.В.Ломоносова. Считаем, что данное учебное пособие окажется полезным

7

— Предисловие —

для студентов и преподавателей, интересующихся современными методами
численного решения задач математической физики.

Авторы выражают огромную благодарность своим коллегам: В.Б. Андре
еву, Е.С. Николаеву и Н.В. Соснину, чьи методические материалы были использованы при подготовке настоящего пособия. Авторы благодарят рецензентов: академика Д.П. Костомарова и профессора А.М. Денисова, за
внимательное прочтение работы и критические замечания, которые были
учтены при подготовке данного издания.

М.В. Абакумов, А.В. Гулин

8

Глава 1

Метод конечных элементов

1.1
Кусочно-линейные восполнения

1.1.1
Построение кусочно-линейного восполнения

Рассмотрим функцию u(x), определенную на отрезке [a, b]. Введем на

отрезке [a, b] разностную сетку:

Ωh = {a = x0 < x1 < . . . < xN−1 < xN = b};
hi = xi − xi−1; i = 1, 2, . . . , N;
ui = u(xi); i = 0, 1, . . . , N.


6

0
x0
x1
xi−1
xi
xi+1
xN−1
xN
x

u

@

@

@@

@@
J

J

J

J

JJt

t

t

t

t

t

t

t
t

u0

u1

ui−1

ui

ui+1

uN−1

uN

˜u(x)
u(x)

Рис. 1.1. Кусочно-линейное восполнение

Построим на частичном отрезке [xi−1, xi] по значениям ui−1, ui интерпо
ляционный многочлен Лагранжа 1-ой степени :

L(i)

1 (x) = ui−1

xi − x

hi

+ ui

x − xi−1

hi

, x ∈ [xi−1, xi].

9

— 1.1 Кусочно-линейные восполнения —

Определение. Кусочно-линейным восполнением функции u(x) на сетке

Ωh называется функция ˜u(x) = L(i)

1 (x), x ∈ [xi−1, xi]; i = 1, 2, . . . , N.

Замечание. Кусочно-линейное восполнение ˜u(x) представляет собой ин
терполяционный сплайн первой степени, является непрерывной функцией
на [a, b]. Производная ˜u′(x) кусочно постоянна и может несуществовать в
узлах xi (см. рис.1.1).

Далее введем в рассмотрение базисные функции (см. рис.1.2):

ϕi(x) =

x − xi−1

hi

, x ∈ [xi−1, xi];

xi+1 − x

hi+1

, x ∈ [xi, xi+1];

0,
x /∈ [xi−1, xi+1];

i = 1, 2, . . . , N − 1;

ϕ0(x) =

x1 − x

h1

, x ∈ [x0, x1];

0,
x /∈ [x0, x1];

ϕN(x) =

x − xN−1

hN

, x ∈ [xN−1, xN];

0,
x /∈ [xN−1, xN].


6

0
x

1


6

0
x

1


6

0
x

1

ϕ0(x)

A
A
A
A
A
A
A
AA

x0
x1

ϕi(x)

A

A
A
A
A
A
A
AA

xi−1 xi
xi+1

ϕN(x)

xN−1
xN

Рис. 1.2. Базисные функции

Учитывая, что ϕi(xk) = δik, где δik — символ Кронекера, а также ли
нейность базисных функций на каждом отрезке [xi−1, xi]; i = 1, 2, . . . , N;
получим представление кусочно-линейного восполнения

˜u(x) =

N
i=0

uiϕi(x)

в виде линейной комбинации функций ϕi(x), поскольку такая комбинация
является линейной функцией на каждом интервале сетки Ωh и удовлетворяет условиям ˜u(xi) = ui.

10