Задачи по теории функций и функциональному анализу с решениями

    ВЫСШЕЕ ОБРАЗОВАНИЕ - МАГИСТРАТУРА

    серия основана в 1 996 г.



Т.А. ЛЕОНТЬЕВА
А.В. ДОМРИНА




                ЗАДАЧИ
                ПО ТЕОРИИ ФУНКЦИЙ И ФУНКЦИОНАЛЬНОМУ
                АНАЛИЗУ
                С РЕШЕНИЯМИ




УЧЕБНОЕ ПОСОБИЕ



                                  Рекомендовано в качестве учебного пособия для студентов высших учебных заведений, обучающихся по направлению подготовки «Физико-математические науки», а также технических и педагогических вузов

znanium.com

Москва ИНФРА-М 2018

УДК 517
ББК 22.161.5+22.162
     Л47

ФЗ № 436-ФЗ

Издание не подлежит маркировке в соответствии с п. 1 ч. 4 ст. 11

      Леонтьева Т.А.
Л47 Задачи по теории функций и функциональному анализу с решениями : учеб. пособие / Т.А. Леонтьева, А.В. Домрина. — М. : ИНФРА-М, 2018. — 164 с. — (Высшее образование: Магистратура).

ISBN 978-5-16-006429-1

  Учебное пособие содержит задачи по всем разделам курса теории функций и функционального анализа, обычно читаемого на математических факультетах университетов: элементы теории множеств, мера Лебега и измеримые функции, интеграл Лебега и пространства Lₚ, тригонометрические ряды и преобразование Фурье. Рассматривается также теория метрических, топологических, нормированных и гильбертовых пространств. Отдельные главы посвящены линейным функционалам и операторам. Последняя глава задачника содержит начальные сведения об обобщенных функциях.
  Сборник состоит из 11 глав и содержит более 300 задач. Все они расположены по темам и приведены с полными решениями. В начале каждой главы содержатся необходимые теоретические сведения.
  Учебное пособие предназначено для студентов, аспирантов и преподавателей не только математических факультетов университетов, но также и технических и педагогических вузов.

ISBN 978-5-16-006429-1

УДК 517
ББК 22.161.5+22.162
© Леонтьева Т.А., Домрина А.В., 2013

Подписано в печать 25.11.2012.
Формат 70 х 100/16. Бумага офсетная. Печать офсетная. Гарнитура Newton. Усл. печ. л. 13,223. Уч.-изд. л. 14,12.
ПТ30.

ТК 409850-12012-251112

ООО «Научно-издательский центр ИНФРА-М» 127282, Москва, ул. Полярная, д. 31В, стр. 1 Тел.: (495) 280-15-96, 280-33-86. Факс: (495) 280-36-29

E-mail: books@infra-m.ru

http://www.infra-m.ru

ОГЛАВЛЕНИЕ


     Предисловие
     Глава I. Элементы теории множеств
     Глава II. Мера Лебега и измеримые функции
     Глава III. Интеграл Лебега
     Глава IV. Тригонометрические ряды. Преобразование Фурье
     Глава V. Метрические пространства
     Глава VI. Топологические пространства
     Глава VII. Линейные нормированные пространства. Банаховы пространства. Гильбертовы пространства.
     Глава VIII. Компактность и сепарабельность
     Глава IX. Линейные функционалы
     Глава X. Линейные операторы
     Глава XI. Начальные сведения об обобщенных функциях
     Литература

  4
  5
 16
 35

 56
 75
 93


103
112
123
137

154
164

3

ПРЕДИСЛОВИЕ


  В данном учебном пособии представлены задачи по темам, обычно входящим в курсы теории функций действительного переменного и функционального анализа, читаемые на факультетах математического и физического профилей в университетах. Теория действительного переменного отражена в разделах: элементы теории множеств, мера Лебега и измеримые функции, интеграл Лебега и пространства Lₚ, тригонометрические ряды и преобразование Фурье. Курс функционального анализа представлен задачами, относящимися к основным линейным пространствам: метрическим, топологическим, нормированным и гильбертовым, а также к линейным функционалам и операторам. Последняя глава задачника содержит начальные сведения об обобщенных функциях.
  Сборник задач состоит из 11 глав и содержит более 300 задач. В начале каждой главы содержится теоретический материал, состоящий из определений и формулировок теорем, используемых в этой главе. Все задачи даны с решениями и ответами. Задачи в главах в основном расположены в порядке возрастания трудности.
  Так как курс функционального анализа на факультете ВМиК традиционно читается на 3 или 4 курсе, то данная книга прежде всего будет полезна студентам 3 и 4 курсов факультета ВМиК МГУ, тем более число практических занятий по курсам теории функций и функционального анализа очень мало. Издание также будет полезно студентам, аспирантам и преподавателям естественных факультетов университетов, а также технических и педагогических вузов. В конце издания приведен список литературы, рекомендуемой для лучшего усвоения курса функционального анализа. Компьютерный набор рукописи сделан А.В. Домриной. Подбор задач и составление решений в главах I-IV осуществлены Т.А. Леонтьевой, а в главах V-XI — А.В. Домриной. Условия большинства задач взяты из задачников:
  1.   Т.А. Леонтьева ’’Сборник задач по теории функций действительного переменного” , изд. МГУ, 1978 г.
  2.   Т.А. Леонтьева ’’Сборник задач — Введение в функциональный анализ”, изд. МГУ, 1978 г.
  3.   Т.А. Леонтьева, В.С. Панферов, В.С. Серов ’’Задачи по теории функций действительного переменного”, изд. МГУ, 1997 г.
  Авторы выражают благодарность рецензентам: чл.-корр. РАН профессору ВМК МГУ И.А. Шишмареву и профессору механико-математического факультета МГУ В.В. Власову за труд прочтения рукописи и ценные замечания.

4

ГЛАВА I. ЭЛЕМЕНТЫ ТЕОРИИ МНОЖЕСТВ



   §1. Операции над множествами.
  Объединением множеств А и В называется множество С (обозначается С — AUB), состоящее из элементов, которые принадлежат хотя бы одному из множеств А или В. Множество С называется объединением множеств Аа, где а пробегает множество индексов I. и обозначается С = UQgjAQ, если оно состоит из всех таких элементов, которые принадлежат хотя бы одному из множеств Аа, т.е.
х G С Еа G I : х € Аа.

  Пересечением множеств А и В называется множество С (обозначается С = АПВ), состоящее из элементов, которые принадлежат каждому из множеств А и В. Множество С называется пересечением множеств Аа, где а пробегает множество индексов I, и обозначается С = Лае/Аа, если оно состоит из всех таких элементов, которые принадлежат каждому множеству Аа, т.е.

хЕС z Vcv (z 11 x (z Aₐ.

  Операции объединения и пересечения множеств обладают следующими свойствами:
  1) коммутативность

АиВ = ВиА, АПВ = ВПА:

  ас ассоциативность

(A U В) U С = A U (В U С), (А П В) П С = А А (В А С);

  3) Дистрибутивность

A U (В П С) = (A U В) A (A U С), А А (В U С) = (А А В) и (А П С).

  Разностью множеств А и В называется множество С (обозначается А\В), состоящее из элементов множества А, не принадлежащих множеству В.
  Симметрической разностью множеств А и В называется множество АДВ — (А\В)и(В\А).
  Если множество А является подмножеством множества В (обозначается А С В), то множество В\ А называется Дополнением множества А До В и обозначается Св А или С А. В этом случае удобно также ввести характеристическую функцию множества А в множестве В

. f 1,ж е А,
                        Ха(х) = <!
( 0, ж € С в А.


5

  Декартовым произведением множеств Ai, А%,..., Нп называется множество, состоящее из упорядоченных наборов п элементов (Ж1,Ж2, • • • , ж„), где Х1 € Ai, ®2 Э Аг, • • •, Эп Э А„. Это множество обозначантся символом А± х А% х ■ ■ ■ х Ап.
  Непустое семейство множеств К называется полукольцом, если оно содержит пустое множество и для любых А, В € К справедливы утверждения:
  1)ЛПВ€К;                                            '
  2) ЗС1,..., Сп и К : Ci A Cj = 0,и / j и А \ В = С^рС,.
  Непустое семейство множеств К называется кольцом, если оно содержит пустое множество и для любых А, В € К следует АДВ иКъААВеК. Если К — кольцо и А, В т то A U В 6 if, следовательно объединение любого конечного числа множеств из К содержится в К. Кольцо К называется а-кьльцом, если для любой последовательности множеств { Aw}'f;‘_₁. Ап G К объединение        также содержится в К. Кольцо К называется 6-кольцом,
если для любой последовательности множеств {Aₙ}^₁₅ Ап п ВТ пересечение n^-iAn также содержится в К.
  Множество Е называется единицей некоторой системы множеств S, если Е € В и для любого множества Ае S следует А А Е = К. Кольцо множеств с единицей называется алгеброй, a-кольцо множеств с единицей называется а-алгеброй, J-кольцо множеств с единицей называется а-алгеброй.
  Пусть {A,,};^₌ᵢ — некоторая последовательность множеств. Верхним пределом последовательности        называется множество

limAₙ = Ад.₌₁ (Uₙ₌fcA„),

нижним пределом последовательности {Ап}^^ называется множество

liilMn = (n£Lfc Ап).

  Последовательность множеств называется сходящейся, если limA„ = limAw. В этом случае пределом последовательности называется множество

lim Ап — limAₙ — limAₙ.

  §2. Отображение множеств. Понятие мощности множеств.
  Пусть заданы множества А и В и по некоторому закону / каждому элементу х 6 А однозначно ставится в соответствие некоторый элемент уЕВ, называемый образом элемента х при отображении f, и обозначаемый f(Гр Графиком Го отображения f' называется множество, принадлежащее А X В, такое что

rf = {(ж,/(ж)), ж € А}.

Образом множества А при отображении н называется множество

Ж) = {У = f(x) : а? е А}.

Если у € /(А), то множество

= {х € А : /(ж) = у}


6

называется полным прообразом элемента п при отображении /. Если у Е В \ /(А), полагаем     = 0. Полным прообразом множества С называется
множество
ГЧС) = и^сГЧу).


  Отображение f : А н В называется
  1) сюрьективным, если /(А) = В;
  2)   инъективным, если для любых различных элементов .ri,x₂ G А, справедливо /(х'1) /(х₂);
  3)   биективным, или взаимно однозначным, если оно сюрьективно и инъективно.
  Композицией отображений f : А —иВид:В-> С* называется отображение h : А —> С, такое что h(x) = д(/(ж)), Пр А. При этом пишут h = д о f.
  Множество А равномощно, или эквивалентно множеству В (А ес В), если существует биективное отображение f : А —> В. Справедливы следующие свойства эквивалентных множеств:
  1) А-А;
  2) А ~ В В-- А;
  3) Если А ~ В и В ~ С. то А -- 6'.
  Таким образом, все множества распадаются на непересекающиеся классы эквивалентности. Будем говорить, что множества, принадлежащие одному классу эквивалентности, имеют одинаковую мощность. Мощность множества А будем обозначать Если А и В — конечные множества, то они имеют одинаковую мощность тогда и только тогда, когда имеют одинаковое число элементов.
  Множество А называется счетным, если А ~ N, где N — множество натуральных чисел. Множество имеет мощность континуума, если А [0,1]. Мощность континуума обозначается символом с.
  Пусть множества А и В имеют мощности А и В соответственно. Если множества А и В не эквивалентны, но ЯВ1 С В : А то Во, то мы считаем, что С С В. Справедливы следующие утверждения:


  Утверждение 1. Пусть А, Ai и А₂ — множества, причем А₂ С Ai С А и А₂ ~ А. Тогда А± ~ А.

  Утверждение 2 (теорема Кантора-Бернштейна). Пусть А и В — множества, Ai С А, В± С В, А и В± и В То. Тогда А-~В.

  Пусть множество А имеет мощность у. Тогда мощность множества всех подмножеств множества А обозначается 2/⁷'. Справедливо неравенство у < 2Р'.
  Для мощности а счетного множества и мощности с континуума справедливо равенство 2а = с. Отсюда следует, что множество всех подмножеств натурального ряда равномощно сегменту [0,1]. Мощность множества всех подмножеств сегмента [0,1] называется гиперконтинуум.
  Через Q, как обычно, обозначим множество рациональных чисел, через R. — множество вещественных чисел. Множество Q счетно, множество R, имеет мощность континуума.

7

Задачи


  §1 . Операции над множествами.
  1.1.   Пусть I = {а} — произвольное множество индексов. Доказать равенства:
1 .(иаеМа) А А = Uₐₑᵢ(Aₐ А Л);

2 .(ПаеМа) U А = AQₑᵢ(AQ U Л).

  Решение. Докажем первое равенство. Пусть х A A A (Uₐg/Aₐ). Тогда и И А и х А Аао для некоторого «о А П Поэтому х G АП Аао С Uₐei(Aₐ А А). Обратно, пусть х А ис,е/(А.а А Л). Тогда х € А А Аао для некоторого q₀ A I, значит х А А, х А Аао. Таким образом, х 6 UQgjAQ, и А А, и окончательно х € (Uₐe/Aₐ) А А.
  Докажем второе равенство. Пусть х A (AₐgjAₐ) U А, отсюда х € (АаеМа), или х А А. Если х € А, то Vа 6 I х A A U Аа, тем самым х А Ааej(AQ U А). Если х А Аае/Аа, то Уа A IП А Аа. Поэтому \/а А I х О AQUA. Окончательно х € AQej(AQ U А).
  1.2.   Представить множество А = и£Д]Ап в виде объединения к)^₌^Вп так, чтобы Bi Г\ Bj — при i ф j, Вп С Ап для всех п.
  Решение. Пусть Bᵣ — Ai, В₂ — A₂\Ai, Вп = А,Д (и^АД.... Тогда множества Вп удовлетворяют условию задачи.
  1.3. Доказать, что если С = АД.8, то В = АДС.
  Решение. Пусть х Е В. Возможны два случая. Первый случай: х А А, тогда х С и х 6 АДС. Второй случай: х А, тогда х С С, поэтому х е ААС.                        '                       ’      '
  Пусть теперь х А АДС. Если хкА, х^С,тохЕВ. Если же х 6 С, х А, то снова х А В. Мы показали, что В = АД.С.
  1.4.   Пусть I = п — произвольное множество индексов. Доказать принцип двойственности:

1-С Аа = Ctₐ^ₖCAₐ;

2.С Г1ае/ Аа — UₐeiCAₐ.

Решение. Докажем первое утверждение. Пусть х 6 С Uₐ^i Аа. Тогда х иаеуАа, поэтому Va 6 I т Аа, то есть Va А I С С С А а, значит х G Г\аё/САа. Пусть теперь х A (~iₐₑjCAₐ. Тогда Va А I х А САа, следовательно х Uₐₑ/Aₐ, то есть х А С Uₐei Аа.
  1.5    Доказать, что для последовательности непересекающихся множеств {А,,}^₌|, А( A Aj = 0, с J, справедливы равенства

limAn = limAn = 0

Решение. Так как \/к A N A^_fcAₙ = 0, то limAn = 0.
  Пусть Вк — \J^₌ₖAₙ. Тогда Вк₊₁ Т Bfc. Так как limA„ = ток^Вь, то, предположив что существует х Е limAₙ, получим, что Vn A N X А _ВП. Так как х A -Bi, то х А АП₁ для некоторого п^. Возьмем к > Пх. Так как х А Вк,

8

то х Е А„₂, где «2 > Н Но тогда х G АП₁ А Ап,, что невозможно, так как множества Aj не пересекаются.
   1.6   Доказать, что для любой последовательности множеств {А„}](₌₁ справедливы вложения

П^₌₁Ап С limAₙ С limAₙ С Ц*₌| А„.

Привести примеры строгих включений.
   Решение. Так как УА: € N ClJJL₁Aₙ С т}о‘₌кАп, то А^₌₁Ап С и£У₁(А^У/..Ап) = I irn А„.
   Пусть х G ПтАп, тогда ЗА?о € N: х Т A^LfₑₒAₙ. Тем самым Уп > ко х € Ап, значит Ek G N х О U^fcA„. Отсюда х Е Ajg_ₓ U^Lfₑ Ап = limAₙ.
   Пусть теперь х G limAₙ. Тогда Ek G N х G D^₌ₖAₙ С и^хАп.
   Пример строгого включения множеств: Ai = [0,1], Агп+i = [2,3] U [4,5], Агп = [2,3] U [6,7], п Т N. Тогда П^_₁Ап = 0, limAT, = [2,3], limA„ = [2,3] U [4,5] U [6,7], U,f₌₁Aₙ = [0,1] U [2,3] U [4,5] U [6,7].
   1.7.  Доказать, что если последовательность множеств {А,,}];^ монотонно возрастает (то есть Ап С Ап^, и и N), или монотонно убывает (то есть Ап D Aₙ₊i, т т N), то

limAₙ = limAₙ = limAₙ,

причем в первом случае

limAₙ = U~₌₁A„ = Tli U (u£=₌₁(A₊i \ Aj),

а во втором
limAₙ — A„₌₁Aₙ — Ai \ (UX._X(A/; \ Afe₊i)).
   Решение. Рассмотрим случай монотонно возрастающей последовательности. Пусть х С limA„ = A^jLOrjAj, тогда Ek Е N х П ПоЭкАп. Поэтому Эп(Аг) : в В Вп. В силу монотонности {Aₙ}, х Е A^_ₙ^Aₘ, а тогда В В Ujy_₁(A^_fcA„) в limAn. Включение limAₙ С limAₙ доказано в предыдущей задаче.
   Пусть теперь в Е U^LjAn, тогда Эк Е N: a: G Ад,, а тогда в Е Е)^₌кАт и, в силу монотонности {А„}, Уп Е N, п п U[^₌ₙAₘ, поэтому х Е limAₙ.
   1.8.  Показать, что непустое семейство множеств, замкнутое относительно операций объединения и пересечения, может не быть кольцом.
   Решение. Рассмотрим семейство всех открытых множеств на прямой. Сумма и пересечение двух открытых множеств суть открытые множества. Но данное множество не есть кольцо, так как симметрическая разность двух открытых множеств не обязана быть открытым множеством.
   1.9.  Доказать, что получится эквивалентное определение кольца, если потребовать от непустого семейства К замкнутости относительно операций объединения и симметрической разности.
   Решение. Достаточно заметить, что К замкнуто относительно пересечения, так как А А В = (A U В)Д(АДВ).


9

   1.10   Доказать, что множество ограниченных подмножеств числовой прямой образует кольцо, которое не является ни а- кольцом, ни алгеброй.
   Решение. Данное семейство К не является сг-кольцом, так как если Ап = [—п, п], то     = R, К Кольцо К не является алгеброй, так как оно не
содержит единицу Е. Действительно, если Е € .К, то Vn G N Aₙ С Е, что противоречит ограниченности Е.
   1.11.  Пусть множества А, А^,... ,А^ принадлежат полукольцу К, А; Д Д, 1 < i < Д Aj A Aj = 0, i Д Д Доказать, что в К можно выбрать множества Ад;_|_1,..., А„, так что А = и”₌₁А^, AiHAj = Д i Д j, 1 < i, j < п.
   Решение Так как К — полукольцо, то А \ Ai = Ц-L-jBi, Bi A Bj = Д i Д Д В,- П .К, 1 < П П П. По определению полукольца множества А2 A Bi € К. Поэтому Bi \ А2 = Bi \ (А2 А ВД =       Qi А C^i = 0, I Т г. Так как
множества Bi попарно не пересекаются, то Сц A Cᵣj = 0, если I Д г либо i Д j. Мы получили

А = Ai U А₂ U (U™ rBj \ А₂) = Ai U А₂ U (АцСц),

где множества Сц попарно не пересекаются и не пересекаются с Ai и Аг- Рассуждая подобным образом, через конечное число шагов получим требуемое разложение.
   1.12.  Пусть X = [0,1]. Рассмотрим систему К всех подмножеств множества рациональных чисел отрезка [0,1]. Доказать, что К является ст-кольцом. Является ли К а-алгеброй?
   Решение. Сумма, симметрическая разность, счетное объединение подмножеств рациональных чисел остается подмножеством рациональных чисел. В качестве множества Е — единицы <г-алгебры достаточно взять все рациональные точки отрезка [0,1].
   1.13.  Пусть X — множество непрерывных функций на [0,1]. Пусть КТ — семейство подмножеств X, состоящее из функций f € X, таких что /(О) = 1. Является ли К кольцом? Алгеброй?
   Решение. Семейство К является алгеброй. За единицу Е семейства К можно взять множество всех / € С[0,1], таких что /(0) = 1.
   §2. Отображения множеств. Мощность множеств.
   1.14.  Доказать, что для любого отображения / имеет место включение /(/⁻¹(А)) С А, если А Д 0. Привести пример строгого включения.
   Решение. Пусть у € /(/⁻¹(А)). Тогда ЕЛ € /⁻¹(А) : /(ж) = у, поэтому у В А. В качестве строгого включения рассмотрим отображение f : А —> А, У(ж) = ж2; Т Т [_₁; х]_ Тогда f-ДА) = [-1,1], /(f-ДА)) = [0,1].
   1.15.  Доказать, что для отображения J' : Х > Y следующие условия эквивалентны:
   1) и инъективно;
   2) VA С X верно /⁻¹(/(А)) = А;
   3) VA, в С X верно /(А А В) = f(A) А /(В);
   4) VA, в С X, А А в = 0 верно /(А) А /(В) = 0;
   5) VA, в с X, в с А верно /(А \В) = f(A) \ f(B).

10