Компьютерная математика

КОМПЬЮТЕРНАЯ 
МАТЕМАТИКА

Москва
РИОР
ИНФРА-М

УЧЕБНОЕ  ПОСОБИЕ

К.В. ТИТОВ

УДК 004.4(075.8)
ББК 32.97я73
Т45

УДК 004.4(075.8)
ББК 32.97я73

Автор: 

Титов К.В. — канд. техн. наук, почетный работник высшего профессионального образования, доцент МГТУ им. Н.Э. Баумана, заместитель декана факультета фундаментальных наук по вопросам повышения квалификации преподавателей. Автор свыше 50 научных работ по прикладной математике, в том числе методических пособий по встраиванию компьютерных технологий в образование

Рецензенты: 

Андреев А.А. — канд. техн. наук, д-р пед. наук, профессор, заведующий кафедрой педагогики Московской финансово-промышленной академии;
Пархоменко В.П. — канд. физ.-мат. наук, доцент, заведующий сектором вычислительного центра Российской академии наук

 
Титов К.В.
Т45 
 
Компьютерная математика : учеб. пособие / К.В. Титов.— М. : РИОР : 
ИНФРА-М, 2018. — 261 с. + Доп. материалы [Электронный ресурс; Режим доступа 
http://www.znanium.com]. — (Высшее образование). — DOI: https://doi.org/10.12737/5954

ISBN 978-5-369-01470-7 (РИОР)
ISBN 978-5-16-011411-8 (ИНФРА-М, print)
ISBN 978-5-16-103652-5 (ИНФРА-М, online)
Компьютерные технологии в фундаментальном образовании, и в осо бенности 
в таком его важнейшем разделе, как математика, немыслимы без систем компьютерной математики (СКМ).
Основной акцент сделан на компьютерном изложении математических методов практического решения многочисленных задач, областью применения которых 
могут быть различные отрасли науки и техники и их инженерные приложения. 
Такой подход связан с созданием электронных ресурсов в образовании, с их методическим насыщением и встраиванием СКМ в образовательные технологии 
вуза.
Предназначено студентам вузов, обучающихся по математическим специальностям и направлениям подготовки (бакалавриат, специалитет, магистратура). 
Также может быть полезно аспирантам, преподавателям и специалистам, интересующимся компьютерной математикой.

© Титов К.В.

ISBN 978-5-369-01470-7 (РИОР)
ISBN 978-5-16-011411-8 (ИНФРА-М, print)
ISBN 978-5-16-103652-5 (ИНФРА-М, online)

Материалы, отмеченные знаком 
, доступны в электроннобиблиотечной системе ZNANIUM по адресу http://znanium.com.
Ссылку для доступа вы можете получить при сканировании 
QR-кода, размещенного на обложке

ФЗ 
№ 436-ФЗ
Издание не подлежит маркировке 
в соответствии с п. 1 ч. 2 ст. 1

ПРЕДИСЛОВИЕ 

В основу этой книги положены многочисленные публикации и лекции, читавшиеся автором последние десять лет студентам МГТУ 
им. Н.Э. Баумана, а также на факультете повышения квалификации — 
преподавателям вузов России. 
Основной акцент автор делает на компьютерном изложении математических методов практического решения многочисленных задач, и 
областью применения этих методов могут быть различные отрасли 
науки и техники и их инженерные приложения. Такой подход связан с 
созданием электронных ресурсов в образовании и с их методическим 
насыщением. 
Другим важным моментом является встраивание систем компьютерной математики (СКМ) в образовательные технологии вуза. В основном автор обращается к таким СКМ, как Mathcad, Maple, Matlab, 
Mathematica. Впрочем, это не исключает возможность использования 
и других СКМ. 
Компьютерные программы решения большинства задач оригинальны и написаны автором таким образом, чтобы их можно было 
использовать как обучающие. Такой подход позволяет студенту лучше понять работу математического аппарата при его изучении и при 
необходимости самому разработать программу для решения стоящей 
перед ним задачи. 
Все решения задач сопровождаются графической иллюстрацией, в 
том числе трехмерной, в большинстве случаев имеющей возможность 
анимации. Исходные данные в интерактивном режиме можно изменять и вновь получать решения и, таким образом, вести экспериментальные исследования. С другой стороны, наличие указанной возможности, безусловно, наилучшим образом раскрывает методы и 
принципы того, как работает математический аппарат. 
Предполагается, что читатель этой книги знаком с используемыми 
здесь СКМ хотя бы в общих чертах. Если знание интерфейса СКМ 
недостаточно, то рекомендуется посмотреть соответствующую литературу и пополнить эти знания. Однако в любом случае изложение 
приводимых в книге задач настолько подробно, насколько это необходимо для их решения в упомянутых ранее средах СКМ и под силу 
любому неискушенному в этих вопросах пользователю. Книга ориентирована на студентов, аспирантов, преподавателей и всех кому интересны инновационные технологии в образовании. 
Автор выражает благодарность В.Е. Медведеву за участие в обсуждении этой книги, рецензентам А.А. Андрееву и В.П. Пархоменко, взявшим на себя труд прочитать ее и сделать ряд конструктивных замечаний, а также читателям, которые посчитают возможным отправить свои замечания и предложения по адресу: e-mail: 
kvtito@mail.ru.  

Автор обращает внимание читателей на то, что в книге при написании математических формул часто используется символика, принятая в СКМ, но отличающаяся от той, которая бытует в математической литературе. Некоторые параграфы книги написаны особенно 
подробно, с незначительными повторениями, но изучению материала 
это не помешает. Следует иметь в виду, что все Maple-файлы должны 
начинаться с опции restart, которая здесь опущена так же, как и имя 
пакета, необходимого для работы программы. 
Использование СКМ приводит к необходимости достаточно специфического изложения учебного материала, что обусловлено требованиями этих систем. Имеется в виду, что в книге автор средствами 
редактора Word пытается представить решения задач в виде, приближенном к тому, в котором эти решения записывались бы с помощью 
СКМ. Автор предлагает читателю, изучающему материал, принять эту 
условность. 
Особенностью книги является наличие электронного дополнения 
(электронного компонента), в которое помещены некоторые параграфы и их части. Также в электронный компонент вынесена часть рисунков, упоминаемых в печатном тексте (печатный компонент), но в 
силу «черно-белого» оформления печатного компонента не позволяющих отразить необходимые в цвете достаточно сложные пространственные фигуры. Материалы, помещенные в электронном компоненте, отмечены знаком облака 
. 
Также при чтении книги следует иметь в виду, что в тексте и в 
формулах не делается различия между × и *, между = и :=, между а-n и 
а(-n), а также не выделены специальными шрифтами и/или знаками 
матрицы и векторы. 
 
 
 
ВВЕДЕНИЕ 

Инновационные образовательные технологии в фундаментальном 
образовании и, в особенности в таком его важнейшем разделе как математика немыслимы без систем компьютерной математики. 
В настоящее время практически вся математика представлена в 
электронном виде в таких математических системах, как MathCAD, 
Maple, Mathematica, MATLAB и др. Эти системы имеют достаточно 
простой пользовательский интерфейс и внутренний язык математического моделирования, что делает их привлекательными и незаменимыми в решении математических задач. Они позволяют вести не 
только численные высокоточные расчеты, но и символьные преобразования, которые особенно важны в аналитических расчетах. 
Без этих «инструментов» в настоящее время нельзя эффективно 
вести научные исследования и проектные работы, а также учебный 

процесс в вузах. Использование этих систем в инженерной, научной и 
преподавательской работе повышает ее эффективность. 
Именно эти программные системы символьной математики или 
компьютерной алгебры стали показателем интеллектуальной мощи 
компьютеров [1]. Созданные для проведения символьных преобразований над математическими выражениями, эти системы в последние 
годы были доведены до уровня, позволяющего облегчить труд математиков и встроить их в образовательный процесс. СКМ имеют тысячи встроенных и библиотечных функций и прекрасные возможности 
графической визуализации вычислений, в том числе трехмерной. 
Эти системы необходимы студентам и преподавателям вузов, инженерам, аспирантам и научным работникам. Все, кто всерьез применяет такие системы, должны уверенно работать с несколькими из них, 
что гарантирует высокий уровень надежности сложных вычислений. 
Особенно велико значение математических систем в образовании. 
Высокий «интеллект» систем символьной математики объединяется в 
них с хорошими средствами математического численного моделирования и возможностями графической визуализации решений. Применение таких систем в образовании способствует повышению фундаментальности математического образования, и отвечает современным 
европейским стандартам. Очевидно также, что для перехода на новый 
качественный уровень образования кроме современной мощной инструментальной базы ПК, СКМ и т.д. нужна подготовка (переподготовка или обучение) преподавательских кадров. 
Многолетний опыт автора по использованию СКМ в учебном процессе позволяет сделать следующие выводы. 
Встраивание СКМ в лекционные и семинарские занятия повышает 
уровень усвоения знаний у студентов. В создаваемой таким образом 
информационной среде, к которой студент уже адаптирован со 
школьной скамьи при работе на компьютере, с элементами творческой и игровой ситуации, процесс обучения идет гораздо быстрее и 
эффективнее. У студента создается некое ощущение того, что он находится в виртуальной научной лаборатории и проводит исследования, что очень важно для самоутверждения и, в конечном счете, для 
повышения КПД обучаемого. 
Другим очень важным при обучении студента стимулом, на котором делает акцент преподаватель, является понимание того, что владение компьютером есть стратегически важный момент в дальнейшем 
карьерном росте студента. Поэтому студент охотно принимает все 
предложения преподавателя по использованию современных вычислительных систем, ориентированных на численные методы расчетов и 
математическое моделирование с возможностью проведения многих 
операций символьной математики, для выполнения типового расчета, 
анализа полученных результатов и непосредственной их визуализации 
на экране дисплея. Так как «рутинная» работа на компьютере выпол

няется практически мгновенно, у студента появляется дополнительный ресурс времени на осмысление и более глубокое понимание полученных результатов расчета. 
Есть еще один момент, на который преподаватель обращает особое 
внимание студентов. Это математическая формулировка задачи и ее 
понимание. Синтаксис и семантика записываемых студентом математических «фраз» в среде СКМ не допускает неоднозначного толкования 
условий задачи. Поэтому без глубокого понимания математической 
модели ее смысла и содержания (математических формулировок), а 
именно к этому обязывает программирование в системах компьютерной алгебры, студент не сможет правильно и однозначно сформулировать и решить поставленную перед ним задачу. Таким образом, возникает обратная связь в процессе обучения студента, заставляющая его 
проникнуть как можно глубже в суть математической модели и практически лучше понять работу математического аппарата. 
Создаваемые преподавателем методические пособия и выстраиваемая таким образом методика обучения, обязывают студентов пользоваться не только печатными изданиями, но и их электронными версиями, имеющими гиперссылки, «живую» трехмерную графику, где 
все примеры «работают» (их можно просматривать с различными исходными данными, задаваемыми самими студентами). Кроме этого 
студенты могут представить динамику полученных решений в виде 
анимационных клипов. СКМ интегрированы между собой и с Internet, 
что позволяет преподавателю создавать свои образовательные сайты, 
а студенту — размещать выполненные типовые расчеты для их защиты в режиме форума или любом другом формате общения с преподавателем (вебинары, режимы «вопрос–ответ» on-line или off-line и др.). 
 Размещаемые преподавателем на образовательных сайтах электронные версии пособий, что очень важно, формируют у студентов 
основные навыки дистанционного обучения. Безусловно, все это делает студента более разносторонним и повышает уровень его образования. 
В основном в книге нет теорем и их доказательств, а есть задачи из 
курса математического анализа и их программное решение в среде 
СКМ. Причем решения, как правило, представляются в виде анимационных клипов. Пользовательские интерфейсы СКМ имеют простой 
и понятный для математика синтаксис и семантику, практически совпадающие с написанием тех формул, которые преподаватель пишет 
на доске мелом. Ход рассуждений и их последовательность при решении задачи также просто записываются в виде программы в среде 
СКМ. В этом смысле особенно прост интерфейс Mathcad. Таким образом, СКМ, обладая такими неоспоримыми достоинствами как интегрирование с Интернет и простой язык формульных математических 
записей, становятся эффективными инструментами в компьютерных 
образовательных технологиях.  

СКМ представляют пользователю как минимум две возможности: 
воспользоваться штатным программным обеспечением (ШПО, которое «зашито» в компьютере и трудно доступно пользователю) для 
решения задачи или самому записать (смоделировать) алгоритм решения. Конечно, во втором случае эффект обучения намного выше 
чем в первом. Поэтому в книге все задачи имеют свои так называемые 
обучающие алгоритмы решения задач, которые можно отнести к процессу моделирования решения (ПМР). И лишь в справочном режиме, 
там, где это необходимо, используется ШПО для получения справки 
или сравнения и подтверждения результатов ПМР. Надо отметить, что 
алгоритмы решения задач могут быть модифицированы пользователем по его усмотрению с привнесением творческих элементов. Наличие ШПО делает СКМ мощнейшей справочной системой, которая 
позволяет получить практически мгновенно ответ по решению многочисленных задач либо численный, либо символьный. Это освобождает пользователя от необходимости искать эти решения в справочниках 
по математике. 
В книге практически все результаты вычислений имеют графическую иллюстрацию и возможность создания анимационных клипов, 
которые можно записать в виде файлов с расширением *.avi (далее по 
тексту просто файлы ави). Соответствующие файлы можно найти в 
электронном компоненте книги. У каждого файла ави есть структурный номер в виде двух позиций, разделяемых точкой. Первая позиция 
указывает на номер главы, а вторая (после точки) — на номер рисунка 
данной главы. Часть таких файлов ави, относящихся в основном к 
главе 4, собрана в отдельное приложение и помещена в конец электронного компонента книги (гл. 4) под рубрикой «Приложение анимационных клипов». Для просмотра клипов используется стандартная 
медийная программа. Все остальные клипы читатель без труда может 
записать самостоятельно, просматривая решения задач в соответствующих средах СКМ. 
Структурирование книги практически совпадает с последовательностью изложения классического курса математического анализа. 
Правда, некоторые разделы опущены, зато на других автор останавливается более подробно. 
Кратко о содержании книги можно было бы сказать так: это знакомая и незнакомая математика. Знакомая по классическим учебникам и незнакомая в том изложении, которое дается в книге. 
 
 

ГЛАВА 1. ПРЕДСТАВЛЕНИЕ ЭЛЕМЕНТОВ ЛИНЕЙНОЙ 
АЛГЕБРЫ В MATHCAD 

 
 

§ 1. ЛИНЕЙНОЕ ПРОСТРАНСТВО 
СО СКАЛЯРНЫМ ПРОИЗВЕДЕНИЕМ  

 

1.1. Линейная независимость векторов. Базис 

Система векторов (х1, х2, …, хn) линейно зависима, если найдутся 
такие числа ri, i = 1,..,n, не равные одновременно нулю, что 

1
0

n

i
i
i
r x

=
⋅
=

. В противном случае система векторов {xi}, i = 1,..,n, 

линейно независима. 
Пусть в Q содержится произвольное множество элементов или 
векторов. Тогда базисом в Q называется система векторов {xi}, i =  
= 1,..,n, если: 1) {xi} — независимы; 2) 
ix
Q
∈
; 3) 
x
Q
∀ ∈
, и имеем   
 

1
,  

n

i
i
i
i

x
r x
r

=
=
⋅

 — числа.  

 
Обычно базисные векторы обозначают как {ei}, а числа  ri считаются координатами этого вектора и обозначаются как {xi}. Поэтому 
записывают: 
  

1

2

1

3

,   
,   { }
...

n

i
i
i
i

x

x
x
x e
X
e

x

=







=
⋅
= 







 — базис.                  
   (1.1) 

                                          
Или при х = (х1, х2, …, хn) — вектор-строка, а ВТ = (е1, е2, …, еn) — 
вектор-столбец и х = Х*В 
 
 

1.2. Матрица перехода из одного базиса в другой 

Пусть имеются два базиса  В = {ei}     В` = {e`i},  i = 1,..,n. Запишем 
вектор х в этих базисах:     
 

1
1
   и       
`
`

n
n

k
k
k
k
k
k

x
x
e
x
x
e

=
=
=
⋅
=
⋅


.                                  
   (1.2) 

 
Базисные векторы e`k разложим по базису В: 
 

,
1
`
,  
1,...,

n

k
i k
i
i
e
t
e
k
n

=
=
⋅
=

.                                                            (1.3) 

 
Коэффициенты ti,k  в (1.3) являются компонентами матрицы Т: 
 
T = { ti,k},   i, k =1,..,n,                           
 
 
   (1.4) 
 
которая называется матрицей перехода от базиса В к базису В`. 
Иногда эту матрицу обозначают ТB→B`. В формуле (1.3) {ti,k} являются 
координатами вектора e`k, которые записываются в матрицу Т как ее 
столбец под номером k. При этом каждая из координат в этом столбце 
k записывается в строку матрицы с номером i.  
Используя формулу (1.2) и подставляя в нее выражение для e`k  
(1.3), получим 
 

,
,
1
1
1
1
`
(
`
)

n
n
n
n

k
i k
i
k
i k
i
k
i
i
k

x
x
t
e
x
t
e

=
=
=
=
=
⋅
⋅
=
⋅
⋅


 
.          
 
   (1.5)  

                                                  

В (1.5) сумму 
,
1
`

n

i
i
i k
k
S
x t

=
=
⋅

 можно представить как произведение 

матриц T*X`, результатом которой будет матрица-столбец с i-й 
строкой в виде Si. В свою очередь, Si в (1.5) являются координатами 
вектора х в базисе В. Поэтому можно записать  Х = Т*Х`, или 
 
X` = T -1*X.                                                  
 
 
   (1.6) 
 
Равенство (1.6) называется формулой преобразования координат 
при преобразовании базиса. 
Отметим, что координаты вектора e`k в базисе В можно также 
записывать в строку с номером k матрицы Т, как это делается, 
например, в [38].  

1.3. Определение координат вектора в разных базисах  

 
Пусть заданы базисы {ei}, {ki} и векторы х и у, имеющие следующие разложения по этим базисам:  
 

(
)

1

n

i
i
i

x
a e

=
=
⋅

, 
(
)

1

n

i
i
i

y
b k

=
=
⋅

.                            
 
   (1.7)  

                                                                                   
 
Зададим разложение базисных векторов { ki } по базису {ei}  
 

(
)
,
1

n

j
i j
i
i
k
t
e

=
=
⋅

.                          
 
                               (1.8) 

 
 
Таким образом, запишем матрицу перехода T от базиса {ei} к базису {ki} размером n×n, в которой j-й столбец имеет компоненты ti,j: 
 
1
0
1

:
1
1
0

0
1
1

T




= 






,  |T|=2 .                                                        
   (1.9) 

           
 
Зададим необходимые для дальнейших вычислений параметры: 
n: = 3,  
 

1

:
2
1
a

−




= 






,

1
:
2

2

b



−


= 






,  ao= -1,  
2
2
b →
.             
 
 (1.10) 

                                                            
 
Предположим, вектор х задан в одном из базисов, например, {ei}, а 
вектор у задан в другом базисе {ki}. Требуется найти их координаты в 
противоположных базисах. 
Решение. 
Вектор х в базисе {ki} обозначим как xk, а вектор у в базисе {ei} — 
как уе. Тогда для вычисления xk и уе воспользуемся формулами