Математика и экономико-математические модели

МАТЕМАТИКА
И ЭКОНОМИКОМАТЕМАТИЧЕСКИЕ 
МОДЕЛИ

Москва
РИОР
ИНФРА-М

С.В. ЮДИН

УЧЕБНИК

Рекомендовано УМО РАЕ по классическому 
университетскому и техническому образованию 
в качестве учебника для студентов высших 
учебных заведений, обучающихся по направлению 
подготовки «Экономика»

УДК 517(075.8)
ББК 22.161я73
 
Ю16

Юдин С.В.
Математика и экономико-математические модели : учебник / 
С.В. Юдин. — М. : РИОР : ИНФРА-М, 2018. — 374 с. — (Высшее образование: Бакалавриат). — DOI: https://doi.org/10.12737/5676
ISBN 978-5-369-01409-7 (РИОР)
ISBN 978-5-16-010497-3 (ИНФРА-М, print)
ISBN 978-5-16-102510-9 (ИНФРА-М, online)
Книга содержит необходимый минимум теоретических сведений и 
примеры как по основным курсам высшей математики (линейная алгебра и аналитическая геометрия, математический анализ, дифференциальные уравнения, ряды, теория вероятностей и математическая 
статистика), так и по специальным (теория систем массового обслуживания, теория графов, линейное и нелинейное программирование 
и т.д.), которые обычно рассредоточены по разным учебникам.
Автор имеет 35-летний опыт преподавания студентам технических 
и экономических специальностей разных университетов. Учебник составлен на основе читаемых автором курсов лекций. Он может быть 
полезен как студентам и аспирантам, так и начинающим преподавателям. 
Предназначен для студентов экономических специальностей и направлений всех форм обучения.
УДК 517(075.8)
ББК 22.161я73

Ю16

© Юдин С.В.

ISBN 978-5-369-01409-7 (РИОР)
ISBN 978-5-16-010497-3 (ИНФРА-М, print)
ISBN 978-5-16-102510-9 (ИНФРА-М, online)

ФЗ 
№ 436-ФЗ
Издание не подлежит маркировке 
в соответствии с п. 1 ч. 4 ст. 11

Автор:
Юдин С.В. — д-р техн. наук, заслуженный деятель науки и образования 
РАЕ, профессор кафедры высшей и прикладной математики, членкорреспондент Академии проблем качества РФ. Является автором более 170 печатных работ, в том числе девяти монографий и шести учебных пособий. Специалист в области управления и контроля качества, 
экономико-математических методов, эконометрики, специальных методов математической статистики

Рецензенты:
Буркин И.М. — д-р физ.-мат. наук, профессор, заведующий кафедрой 
математического анализа Тульского государственного университета;
Поляков В.А. — д-р экон. наук, профессор, заведующий кафедрой «Экономика, менеджмент и маркетинг» Тульского филиала Финансового 
университета при Правительстве Российской Федерации

ПРЕДИСЛОВИЕ 

Современные экономисты используют для построения моделей самые 
разные математические методы. Теоретические обоснования этих методов находятся в различных учебниках. Автор предпринял попытку объединить все необходимые сведения в одном учебнике. 
Разумеется, в ограниченном объеме пособия невозможно полностью 
представить все разделы современной математики. Тем не менее, книга 
содержит основные положения и теоремы, необходимые для специалистов в экономических областях.  
Учебник может быть полезен и начинающим преподавателям. При 
необходимости они могут воспользоваться им при чтении лекций. 
Следует отметить, что лектор имеет право при необходимости менять 
последовательность изложения отдельных разделов. 
Предлагаемый вниманию читателя курс разработан профессором, 
доктором технических наук С.В. Юдиным на основе многолетнего опыта 
преподавания математики студентам разных специальностей в Тульском 
государственном университете, Тульском филиале Российского государственного торгово-экономического университета, Тульском филиале 
Российского экономического университета им. Г.В. Плеханова, Тульском 
филиале Всероссийского заочного финансово-экономического университета и Тульском институте экономики и информатики. 
В книге представлено около 300 теорем, 300 определений и более  
250 примеров. Нумерация формул, теорем, определений ведется в каждом разделе отдельно.  
Учебник никоим образом не может рассматриваться как полностью 
оригинальный курс. Математика — это достаточно консервативный и 
очень объемный предмет, чтобы один автор мог использовать при преподавании данного курса только собственные разработки. Авторские права 
в учебнике могут быть распространены только на форму подачи материала и компоновку. 
Автор рекомендует использовать совместно с данным пособием книгу: Юдин С.В. Математика в экономике: учебное пособие. — М.: Изд-во 
РГТЭУ, 2009. — 228 с. — ISBN 5-87827-386-1. В ней описаны программы, с помощью которых можно решать многие задачи как математического анализа, так и специальных разделов экономического моделирования и анализа. 
Список рекомендуемой литературы включает всего 16 наименований, 
чего, разумеется, недостаточно для качественного изучения всего множества затронутых в учебнике тем. Однако для подготовки бакалавров и 
магистров нет необходимости в более углубленном изучении. 

ЧАСТЬ 1. МНОЖЕСТВА  

 

ГЛАВА 1. ОПЕРАЦИИ НАД МНОЖЕСТВАМИ 

1.1. Терминология, определения 

Множества и составляющие их элементы будем обозначать буквами, 
как правило, латинского алфавита. Обычно, обозначив множества буквами A, B, C и т.д., элементы их обозначают буквами a, b, c ... Элемент 
множества называют также точкой. 
Во многих случаях ряд множеств имеет специальное обозначение 
(которое, однако, не является обязательным). Так, например, множество 
натуральных чисел обозначается буквой N, множество действительных 
чисел — буквой R и т.д. 
Выражения «x принадлежит множеству E», или «x есть элемент множества E», или «x есть точка из E» все имеют одинаковый смысл и могут 
быть представлены символически как x ∈ E, где «∈» есть знак принадлежности. Его отрицание изображается символом ∉; выражение «x не 
принадлежит множеству E» может быть записано как x ∉ E. 
Говорят, что множество E содержится во множестве F, если любой 
элемент x из E является элементом множества F. Символически это свойство изображается как E ⊂ F. Выражение «F содержит E» равнозначно 
тому, что «E содержится в F», и обозначается F ⊃ E. Символы ⊃ и ⊂ являются знаками включения. 
Символ «=» представляет собой равенство или тождество. Запись  
x = y означает, что x совпадает с y; по соглашению, это может рассматриваться как тождественное равенство между x и y; это может также означать, что некоторый элемент x обозначается по новому, через y. Рассмотрим это на примере. 
Пусть имеются два действительных числа a и b. Обозначим наибольшее из них через max(a, b). С другой стороны, максимальное значение из 
пары можно обозначить некоторой буквой, скажем, с. Очевидно, что 
можно записать c = max(a, b). 
Отрицанием символа «=» служит символ «≠», который означает «отлично от». 
Символ  означает логическое следствие.. 
Если P и Q есть два свойства относительно элементов одного множества, то запись P  Q означает, что свойство P влечет за собой свойство 
Q, т.е. что Q верно всегда, когда верно P. Если же имеет место и обратное, т.е. Q  P, то факт взаимного следствия записывается следующим 
образом: P ⇔ Q. Символ «⇔» означает логическую эквивалентность. Он 
читается как «необходимо и достаточно». 

1.2. Подмножества, дополнения, пустое множество 

Определение 1.1. Всякое множество, составленное из элементов заданного множества E, называется подмножеством множества E. Подмножество определяется заданием некоторого свойства P, которому 
удовлетворяют (или которому не удовлетворяют) элементы множества E. 
Так, если N — множество натуральных чисел 1, 2, 3, 4, и т.д., а  
P — свойство четности, то ему удовлетворяют некоторые натуральные 
числа, множество которых составляет часть (подмножество) множества 
N. Если же P — свойство, состоящее в том, что «квадрат элемента из N 
равен двум», то оно не выполняется ни для одного элемента этого множества. 
Определение 1.2. Если свойство P не имеет места ни для какого элемента множества E, то подмножество множества E, определяемое этим 
свойством, называется пустым подмножеством или пустым множеством. 
Пустое множество обозначается O или ∅.  
Подмножество, содержащее лишь один элемент x, обозначается {x}. 
Множество всех подмножеств множества E обозначается как P(E). 
Соотношения E ⊂ P(E) и O ⊂ P(E) верны всегда. 
Запись X ⊂ P (E) означает, что X есть элемент множества подмножеств множества E, т.е. является подмножеством множества E, так что 
можно записать X ⊂ E. 
Определение 1.3. Пусть E есть некоторое множество, а X есть его 
подмножество, определенное свойством P. Дополнением множества X до 
E называется множество элементов из E, не принадлежащих X. 
Дополнение множества X обозначается через E \ X. Дополнением 
пустого множества является все множество E, и обратно. 
 

1.3. Объединение, пересечение, произведение 

Определение 1.4. Объединением двух множеств E и F называется 
множество элементов, принадлежащих E или F. Союз «или» является 
отрицанием союза «и», означающего «одновременно». Символом объединения является знак «∪». Имеем E ∪ F=F ∪ E. 
В объединении двух множеств E и F можем рассмотреть элементы из 
E, не принадлежащие F, элементы из F, не принадлежащие E, и элементы, принадлежащие одновременно E и F. 
Пусть X, Y есть произвольные подмножества из E. Тогда (X ∪ Y) ⊂

⊂ E, или (X ∪ Y) ⊂ P(E). Для любого X ⊂ P(E) имеем X ∪ O=X.  
Определение 1.5. Пересечением двух множеств E и F называется 
множество элементов, принадлежащих и E, и F. Пересечение двух множеств обозначается E ∩ F. Имеем E ∩ F=F ∩ E. 
Таким образом, множество E ∩ F составлено из элементов, для которых выполняется свойство «x ∈ E и x ∈ F». Если ему не удовлетворяет ни 
один элемент, множество E ∩ F пусто. Тогда записывают E ∩ F = O и 

говорят, что E и F дизъюнктны, или не имеют общих точек, или не пересекаются. Каково бы ни было X ⊂ P(E), всегда X ∩ О = O. 
Если E ∩ F ≠ O, т.е. если E и F имеют общий элемент, то говорят, что 
пересечение множеств E и F не пусто, что E пересекает F, или F пересекает E, или что E и F пересекаются. 
Изложенное можно проиллюстрировать рисунком — диаграммой 
Венна (рис. 1.1). 

 

Рис. 1.1. Операции над множествами 

Пример. Если E — множество таких действительных чисел x, что a ≤ 
x ≤ b, F — множество таких действительных чисел x, что b ≤ x ≤ c,  
G — множество таких действительных чисел x, что b < x ≤ c, где a, b,  
c — заданные действительные числа, то множества E ∩ F и E ∩ G тождественны и состоят из чисел x, удовлетворяющих условию a≤x≤с. Множество E ∩ F состоит из единственного числа b, а множество E ∩ G пусто. 
Определение 1.6. Пусть E и F — два множества. Произведением 
множества E на множество F называется множество всех элементов, получаемых путем составления пар из двух элементов, первый из которых, 
x, принадлежит E, а второй, y, принадлежит F. Произведение множества 
E на множество F обозначается E × F; элемент этого произведения обозначается (x, y), где x ∈ E, y ∈ F. 
В общем случае E × F ≠ F × E. 

1.4. Свойства операций над множествами 

Объединение и пересечение, рассматриваемые как операции над 
множествами E, F, G, 
коммутативны, т.е. E ∪ F = F ∪ E , E ∩ F = F ∩ E;  

ассоциативны, т.е. (E ∪ F) ∪ G = E ∪ (F ∪ G), (E ∩ F) ∩ G = E ∩  
∩ (F ∩ G).  
Пересечение дистрибутивно относительно объединения, т.е. 
E ∪ (F ∩ G) = (E ∪ F) ∩ (E ∪ G). 
Объединение дистрибутивно относительно пересечения, т.е. 
E ∪ (F ∩ G) = (E ∪ F) ∩ (E ∪ G). 
Если X, Y — подмножества множества E, то: 
1) X ⊂ Y ⇔ X ∪ Y = Y ⇔ X ∩ Y = X, 
2) X ⊂ (X ∪ Y), 
3) (X ∩ Y) ⊂ X, (X ∩ Y) ⊂ Y, 
4) X ∪ (E \ X) = E, X ∩ (E \ X) = O, 
5) E \ (X ∪ Y) = (E \ X) ∩ (E \ Y), 
6) E \ (X ∩ Y) = (E \ X) ∪ (E \ Y). 
Иногда для обозначения операции объединения используется символ 
сложения «+», а для обозначения операции пересечения — символ умножения «⋅». 
Пример. Докажем, например, свойство (A ∪ B) ∩ C = (A ∩ C) ∪ (B ∩

∩ C). 
Это можно записать также следующим образом: (A + B)C = AC + BC.  
Пусть x принадлежит (A + B). Очевидно, что он принадлежит либо A, 
либо B. Пусть x принадлежит A. Отсюда следует, что x принадлежит AC, 
а, следовательно, x принадлежит AC + BC. Таким образом, из «x принадлежит A + B» следует «x принадлежит AC + BC». 
Пусть теперь x принадлежит C. Если (A + B)C ≠ O, то либо x принадлежит (A + B), либо (A + B)C — пустое множество. Если x принадлежит 
(A + B), то этот случай уже рассмотрен. Если x не принадлежит (A + B), 
то x не принадлежит ни A, ни B. Тогда AC = O и BC = O. Следовательно, 
в правой части рассматриваемого выражения находится пустое множество. 
Таким образом, мы доказали утверждение (A + B)C  AC + BC. 
Пусть теперь x принадлежит AC + BC. Значит, x принадлежит либо 
AC, либо BC. Пусть x принадлежит AC. Тогда x принадлежит и A, и C. 
Отсюда следует, что x принадлежит (A + B) и C. Cледовательно, x принадлежит (A + B)C. 
Таким образом, доказано утверждение 
AC + BC  (A + B)C. 
Отсюда следует, что исходное утверждение доказано. 

ГЛАВА 2. ФУНКЦИИ ИЛИ ОТОБРАЖЕНИЯ 

2.1. Исходные определения 

Определение 2.1. Пусть E, F — два множества. Обозначим через x 
произвольный элемент из E, а через y — произвольный элемент из F. 

Говорят, что определено отображение множества E во множество F, если 
указан способ, посредством которого каждому x, принадлежащему E, 
ставится в соответствие некоторый элемент y из F. 
Отображение E в F обычно обозначается строчной латинской буквой 
(чаще всего f). 
Пусть y есть элемент из F, соответствующий элементу x из E при отображении f. Это записывается так: y = f(x). Элемент x называется переменным, а элемент y, или f(x), из F называется значением этого отображения f, или образом f(x) элемента x при отображении f. 
В качестве синонима термина «переменное» используются также 
термины «индекс» и «параметр». 
Отображение множества E во множество F называется также функцией, определенной на E, со значениями в F, или функцией f. 
Иногда вместо «функции» говорят о преобразовании множества E в F 
или об операторе. Все эти названия употребляются в одинаковом смысле, 
и их использование диктуется соображениями удобства. 
Если задано отображение f, то это записывается в виде x → f(x) и может быть прочитано так: «x переходит в f(x)». Обратно, можно посредством некоторых правил выразить значение y через значение x и говорить, 
что f есть функция, определяемая как x → y. 
 

2.2. Отображение во множество, отображение на множество, 
взаимно однозначное отображение 

Пусть f есть отображение множества E во множество F. Выражение  
«f определено на E» означает, что каждому x, принадлежащему E, соответствует при отображении f некоторое y, принадлежащее F. Выражение 
«f есть отображение E в F» только это и означает, т.е. каждому x из E 
соответствует y из F. 
Но множество значений f(x) не обязано включать в себя все элементы 
множества F. Так, функция «sin» есть отображение множества R действительных чисел в R, но множество значений sin(x) состоит из действительных чисел y, удовлетворяющих условиям –1 ≤ y ≤ 1. 
Если множество всех значений f(x), принимаемых функцией f, есть 
все множество F, то f называется отображением E на F. В этом случае для 
любого y из F найдется хотя бы один элемент x из E, для которого  
y = f(x). 
Утверждение, что f есть отображение E на F, означает, что каждое y 
из F есть образ при отображении f хотя бы одного x из E. Иначе говоря, 
уравнение y = f(x) имеет по крайней мере одно решение при любом y, 
принадлежащем F. 
Определение 2.2. Пусть f есть отображение E на F. Если любой элемент y из F является при отображении f образом единственного элемента 
x из E, то отображение f называется взаимно однозначным, или биективным; говорят также, что f есть биекция. Таким образом, утверждение, что 

«f есть взаимно однозначное отображение», означает прежде всего, что  
f — отображение «на» и что уравнение y = f(x) имеет единственное решение для любого y из F. 
Определение 2.3. Если E = F и f есть взаимно однозначное отображение E на себя, то f называется перестановкой. 
Для того чтобы f было взаимно однозначным отображением E на F, 
необходимо и достаточно, чтобы f было отображением E на F и чтобы 
для любых x1 и x2 из E (x1 ≠ x2) всегда f((x1) ≠ f(x2) в F. 
 

2.3. Обратное отображение 

Определение 2.4. Пусть f есть отображение множества E на множество F. И пусть y — точка из F. Если f не является отображением на F, то 
не для всякого y существует x из E, для которого f(x) = y, а если существует, то их может быть несколько, так что множество элементов из E, 
имеющих образом при отображении f один и тот же элемент y из F, составляет часть множества E и может быть как пустым, так и состоять из 
нескольких точек. Следовательно, если задана функция f, то, вообще говоря, нельзя устроить обращение от F к E. Напротив, рассмотрим расширение функции f на множество подмножеств P(E) и P(F). Обозначим это 
расширение через v. Пусть Xo из P(E) — подмножество E, и пусть  
Y = v(Xo) есть образ в P(F) множества Xo при отображении v; Y есть 
множество всех y = f(x), принадлежащих F, для которых x принадлежит 
Xo. Обратно, зададим подмножество Y, включенное в F. Рассмотрим все 
те x из E, для которых f(x) принадлежит Y. Множество всех этих x образует подмножество X из E, которое содержит подмножество Xo. Если 
любому Y из P(F) поставить в соответствие таким образом определенный 
элемент X из P(E), то будет установлено отображение P(F) в P(E), которое называется обратным отображением к v и обозначается через v-1. 
Следовательно, это есть отображение множества подмножеств (из F) 
во множество подмножеств (из E), как и само отображение v. 
В обычной записи между f и v не делается различия, и отображение v-1 
обозначается f-1. Стало быть, используется символическое обозначение 
f(x), f(X), f-1(Y). Однако важно отметить, что f(x) есть элемент из F; f(X) — 
подмножество из F; f-1(Y) — подмножество из E и что, вообще говоря, f-1 
определено не как отображение множества F во множество E, а только 
как отображение P(F) в P(E). 
Для того чтобы f-1 определяло отображение F в E, необходимо и достаточно, чтобы f было взаимно однозначным отображением E на F. Тогда 
отображение f-1 также взаимно однозначно. 
Пример. Пусть f есть отображение x → x2 множества E = R во множество F = R. Обратное отображение f-1 ставит в соответствие каждому 
множеству действительных чисел другое множество действительных 
чисел. Например, если Xo = [0, 1], то f(Xo) = Xo = Y, принадлежащее F. 

Обратно, подмножество тех x из E, для которых f(x) принадлежит отрезку [0, 1], есть [–1, 1]. 

2.4. Композиция отображений 

Пусть заданы три множества E, F, G и пусть f отображение E в F,  
а g — отображение F в G. 
Каждому x из E отображение f ставит в соответствие элемент f(x) из F. 
Отображение g переводит f(x) в g(f(x)), принадлежащий G. Следовательно, определено отображение h множества E во множество G: 
х → g(f(x)). 
Это отображение называется композицией отображения F на G и обозначается h = g ⊗ f. 
Важно отметить, что если можно определить g ⊗ f, то f ⊗ g может не 
иметь смысла. 

2.5. Последовательности 

Мы предполагаем известным множество N натуральных чисел, а также его свойства. 
Определение 2.5. Множество X называется счетным, если существует хотя бы одно взаимно однозначное отображение множества N на множество X. 
Определение 2.6. Последовательностью называется отображение 
множества N в некоторое заранее заданное множество E. 
Обозначения. Если элементы множества N обозначены через n, p, q, 
k, ..., то значение f есть f(n) и является элементом множества E. 
Сама последовательность обозначается через {xn}. 
Множество значений. Пусть X есть множество значений последовательности из E, которое не следует смешивать с понятием самой последовательности. Множество значений может быть конечным или счетным. Если в E задано конечное или счетное подмножество X, то можно 
многими способами определить последовательность, для которой X было 
бы множеством значений (предполагаем, естественно, что множество X 
состоит хотя бы из двух элементов, так как в случае одного элемента определяемая последовательность будет постоянной). Таким образом, если 
X счетно, то существует, по определению, как минимум, одно взаимно 
однозначное отображение множества N на множество X; это отображение и есть последовательность {xn}. Возьмем теперь перестановку множества N, т.е. взаимно однозначное отображение N на N: n → p(n). Композиция этих двух отображений дает новую последовательность {x(p(n)}, 
множеством значений которой снова будет X; эта последовательность, 
вообще говоря, отличается от первой, так как две последовательности 
{xn}, {yn} (являющиеся отображениями) равны, если при любом n имеем 
xn = yn. 
Определение 2.7. Пусть {x(n)} есть заданная последовательность из 
E. И пусть задано строго возрастающее отображение множества N в N,