Общая теория измерений

Москва
ИНФРА-М
2018

ОБЩАЯ ТЕОРИЯ
ОБЩАЯ ТЕОРИЯ

ИЗМЕРЕНИЙ
ИЗМЕРЕНИЙ

ÌÎÍÎÃÐÀÔÈß
ÌÎÍÎÃÐÀÔÈß

Д.Д. ГРИБАНОВ
Д.Д. ГРИБАНОВ

Министерство по науке и образованию Российской Федерации
Академия проблем качества
Московский государственный машиностроительный университет 
(МАМИ)

Грибанов Д.Д. 
Общая теория измерений : монография / Д.Д. Грибанов. — М. : 
ИНФРА-М, 2018. – 116 с. — (Научная мысль). — www.dx.doi.
org/10.12737/11915.
ISBN 978-5-16-010766-0 (print)
ISBN 978-5-16-102773-8 (online)
Рассмотрены основы теории измерений, виды и методы измерений в машиностроении, погрешности результатов измерений и их классификация. Рассмотрены интегральная и дифференциальная функции распределения случайной 
величины, способы достижения требуемой точности при проведении измерений, 
характеристики дифференциальной функции распределения случайных величин 
и их моменты. Представлены наиболее часто применяемые законы распределения результатов измерения и их погрешностей, суммирование составляющих 
погрешности измерений, точечная и интервальная оценки истинного значения 
измеряемой физической величины, обработка результатов измерений, учет 
неисключенных систематических погрешностей, правила и погрешности округления результатов наблюдений и вычислений, средства измерений, их погрешности, 
классификация и обозначение. 
Монография предназначена для преподавателей и студентов технических 
вузов, а также лиц, занимающихся вопросами измерений.

УДК 006.91
ББК 30.10  

УДК 006.91
ББК 30.10
 
Г82

© Грибанов Д.Д., 2015
ISBN 978-5-16-010766-0 (print)
ISBN 978-5-16-102773-8 (online)

Г82

Р е ц е н з е н т ы:
Б.Х. Салатов — д-р техн. наук, профессор кафедры «Стандартизация, 
метрология и сертификация» Машиностроительного университета (МАМИ);
С.Б. Верещагин — канд. техн. наук,  доцент МАДИ

Подписано в печать 25.06.2015.
Формат 60×90/16. Печать цифровая. Бумага офсетная. Гарнитура Newton. 
Усл. печ. л. 7,25. ПТ15.
ТК 342600-501732-250615

ООО «Научно-издательский центр ИНФРА-М»
127282, Москва, ул. Полярная, д. 31В, стр. 1
Тел.: (495) 280-15-96, 280-33-86. Факс: (495) 280-36-29
E-mail: books@infra-m.ru     http://www.infra-m.ru

ФЗ 
№ 436-ФЗ
Издание не подлежит маркировке 
в соответствии с п. 1 ч. 2 ст. 1

Словарь оСновных терминов

Вид измерения — часть области измерений, имеющая свои особенности и отличающаяся однородностью измеряемых величин.
Измерение — нахождение значения физической величины с помощью 
специальных технических средств; процесс экспериментального получения одного или более значения величины, которое может быть обоснованно приписано величине (VIM 2.1).
Измерительная задача — получение измерительной информации о 
конкретной физической величине. 
Измерительная информация — информация о действительных значениях измеряемых ФВ.
Измерительная установка — совокупность функционально объединенных мер, измерительных приборов, измерительных преобразователей и других устройств, предназначенных для измерений одной или 
нескольких физических величин и расположенных в одном месте.
Измерительный преобразователь — техническое средство с нормированными метрологическими характеристиками, служащее для преобразования измеряемой физической величины в другую величину или измерительный сигнал, удобный для обработки, хранения, дальнейших 
преобразований, индикации или передачи.
Измерительный прибор — средство измерений, предназначенное для 
получения значения измеряемой физической величины в установленном 
диапазоне.
Метод измерений — прием, совокупность приемов или операций 
практического или теоретического сравнения измеряемой физической 
величины с ее единицей в соответствии с принятым принципом измерений.
Неопределенность измерений — параметр, связанный с результатом 
измерения и характеризующий рассеяние значений, которые можно 
приписать измеряемой величине.
Первичный измерительный преобразователь — измерительный преобразователь, на который непосредственно воздействует измеряемая физическая величина, т.е. первый преобразователь в измерительной цепи 
измерительного прибора (установки, системы).
Погрешность результата измерения (погрешность измерения) — отклонение результата измерения от истинного (действительного) значения измеряемой величины.
Средство измерения — техническое средство, предназначенное для 
измерений, имеющее нормированные метрологические характеристики, 
воспроизводящее и (или) хранящее единицу физической величины, размер которой принимают неизменным в течение известного интервала 
времени.

введение в теорию измерений

Любая физическая величина (ФВ) имеет свой идеальный размер 
(идеальное значение), которого мы не знаем в силу целого ряда причин. 
Этот размер существует объективно, независимо от наблюдателя. Числовое значение этого размера может быть оценено на основании результатов измерений.
Измерение — нахождение значения физической величины с помощью 
специальных технических средств. Это определение техническое и не 
отражает физической сущности процесса измерения. Один из основоположников отечественной метрологии М.Ф. Маликов предложил другое понятие измерения: измерение — познавательный процесс, представляющий совокупность операций по применению технического средства, 
хранящего единицу физической величины, заключающихся в сравнении 
(в явном или неявном виде) измеряемой величины с ее единицей с 
целью получения значения этой величины (или информации о ней) в 
форме, наиболее удобной для использования.
Так, в простейшем случае, прикладывая линейку с делениями к какой-либо детали, сравнивают ее размер с единицей, хранимой линейкой, 
и, произведя отсчет, получают значение величины (длины, высоты, толщины или других линейных параметров детали). С помощью измерительного прибора сравнивают размер величины, преобразованной в 
перемещение указателя, с единицей, хранимой шкалой этого прибора. 
В измерительном канале измерительной системы также выполняется 
сравнение с хранимой единицей, при этом нередко оно может происходить в закодированном виде.
Для того чтобы назвать измерениями физической величины указанную в определении совокупность операций, необходимо создать ряд 
условий, так называемых условий измерения. Такими условиями являются:
 
• возможность выделения измеряемой физической величины среди 
других величин;
 
• возможность установления единицы, необходимой для измерения 
выделенной величины;
 
• возможность материализации (воспроизведения или хранения) 
установленной единицы техническим средством;
 
• возможность сохранения неизменным размера единицы (в пределах установленной точности), как минимум, на срок, необходимый 
для выполнения измерений.
От термина «измерение» происходит термин «измерять». Применяемые в быту выражения «мерить», «замерять», «обмерять», «промерять» 
метрологическими терминами не являются, и применять их не следует.
Найденное с помощью измерения значение, называемое действительным, отличается от истинного значения измеряемой физической 

величины на некоторый размер, т.е. результат измерения содержит некоторую неопределенность. Остаточная неопределенность наших знаний об измеряемом объекте может характеризоваться различными мерами неопределенности.
Техническими средствами, применяемыми при измерении, являются 
средства измерений (СИ). В общем случае при измерении происходит 
сравнение измеряемой ФВ с ее единицей по шкале измерительного прибора.
С точки зрения информационной теории измерение представляет 
собой процесс, направленный на уменьшение энтропии измеряемого 
объекта. Энтропия является мерой неопределенности наших знаний об 
объекте измерений. В процессе измерения мы получаем дополнительную информацию об объекте, т.е. уменьшаем энтропию объекта.
Измерительной информацией называется информация о значениях 
измеряемых ФВ.
Такая мера неопределенности, как энтропия, наиболее широко распространена в теории информации, где с помощью энтропии оценивается степень неточности измерительной информации об измеряемом 
объекте. В метрологической практике энтропия не используется. В настоящее время наиболее часто используется концепция погрешности 
результата измерения. В последнее время все большее применение получает концепция неопределенности измерений. Это касается области 
метрологии, которая занимается аналитическими исследованиями, 
а также тех случаев, когда может отсутствовать идеальное значение величины, отсутствует метрологическая цепь передачи размера от первичного эталона рабочему средству измерения. Кроме того, рекомендуется 
использовать этот подход при совместных работах с зарубежными специалистами или при публикации в зарубежных изданиях.
Измерительную информацию получают в результате решения измерительной задачи. Конечной целью решения любой измерительной задачи является получение оценки истинного значения измеряемой физической величины Q и погрешности измерения D при известной доверительной вероятности Р.
Алгоритм получения измерительной информации определяется видом, который классифицируется по основным признакам, и методом 
измерения. Точность получаемых результатов измерений зависит от математической модели процесса измерения, методики выполнения измерений и применяемых средств измерения (СИ). На точность этих результатов оказывает большое влияние и их обработка.
Под точностью результатов измерений понимается характеристика 
качества измерений, отражающая близость к нулю погрешности их результата. Точность измерений обычно характеризуется погрешностью 
измерений. Принимают, что чем меньше погрешность измерения, тем 
больше точность. Обычно под числовой характеристикой точности понимается значение, обратное значению погрешности, т.е. если относительная погрешность равна 0, 01%, то точность — 100%. Поэтому не 

следует определять точность, равную в процентном отношении погрешности. Выражение «с точностью 0,01%» говорит о том, что относительная погрешность достигает 100%. Обычно говорят о высочайшей, высокой, средней или низкой точности.
Измерительная задача — это получение измерительной информации 
о конкретной физической величине. 
Измерительная задача решается в течение трех этапов.
1. Планирование измерений.
2. Выполнение измерений.
3. Обработка результатов измерений.
При планировании измерений необходимо:
 
• выбрать конкретную величину, подлежащую измерению;
 
• выделить из ряда величин именно ту, размер которой необходимо 
определить;
 
• определить диапазон значений измеряемой величины;
 
• принять концепцию оценки точности значения измеряемой величины;
 
• установить нормы точности оценки значения измеряемой величины;
 
• определить процедуру выбора числа проведения опытов, необходимых и достаточных для описания поведения исследуемого объекта 
с требуемой точностью;
 
• выбрать принцип, метод и средства измерений;
 
• в случае отсутствия аттестованной или гостированной методики 
измерения аттестовать разработанную методику измерений.
При выполнении измерений необходимо обеспечить условия, позволяющие получить надежные и достоверные результаты:
 
• выделение величины, подлежащей измерению, из множества других неинформативных величин;
 
• выбор единицы измерения для данной величины;
 
• требуемую точность выбранной единицы измерения;
 
• неизменность значения выбранной единицы измерения в пределах 
установленной точности.
При обработке результатов измерений проводятся следующие операции:
а) оценить наличие грубых погрешностей и в случае их наличия исключить результаты, содержащие такие данные, из дальнейшего рассмотрения;
б) проверить статистическую гипотезу о равноточности результатов 
измерений;
в) проверить статистическую гипотезу о том, что распределение результатов измерений соответствует нормальному закону;
г) в случае подтверждения принятой статистической гипотезы дальнейшая обработка результатов выполняется в соответствии с ГОСТ 
8.207:

• проверяется наличие систематических погрешностей в результатах 
измерений и в случае их наличия вводятся соответствующие поправки;
 
• определяется центр распределения результатов измерений (наблюдений);
 
• определяются параметры рассеяния результатов измерений;
 
• группируются полученные экспериментальные данные по признаку принадлежности к одной генеральной совокупности;
 
• анализируется суммарная погрешность;
 
• если результаты измерений не являются равноточными (равнорассеянными), исследуются зависимости между рядами измерений и 
находится средневзвешенное значение измеренной величины.
В процессе этих операций приходится:
 
• вычислять средние квадратичные погрешности (стандарты);
 
• проверять соответствие экспериментального закона распределения 
результатов измерений (наблюдений) теоретическому закону (нормальному, равномерному, трапециевидному и др.);
 
• устанавливать границы доверительных интервалов для результатов 
измерений и их погрешностей;
 
• находить и исключать из результатов измерений грубые и систематические погрешности;
 
• учитывать неисключенные остатки систематических погрешностей. 

основные формулы комбинаторики.  
теоремы сложения и умножения вероятностей 
Известно, что результаты измерений и погрешности являются случайными величинами. Их обработка осуществляется по правилам для 
случайных чисел с использованием формул комбинаторики. Комбинаторика изучает количество комбинаций, подчиненных определенным 
условиям, которые можно составлять из элементов, безразлично какой 
природы, заданного количества множества. При непосредственном вычислении вероятностей часто используются формулы комбинаторики, 
такие как, например, перестановки, размещения и сочетания.
Перестановками называются комбинации, состоящие из одних и тех 
же п различных элементов и отличающиеся только порядком их перестановок: Р = п!, где п! = 1 ∙ 2 ∙ 3 … п.
Следует иметь в виду, что 0! = 1, т.е. факториал нуля равен единице.
Например, сколько трехзначных чисел можно составит из цифр 1, 2, 
3, если каждая цифра входит в каждое число только один раз? 
Решение. Искомое число трехзначных чисел Р3 = 3! = 1 ∙ 2 ∙ 3 = 6.
Размещениями называют комбинации, составленные из п различных 
элементов по m элементов, которые отличаются либо составом элементов, либо их порядком. Число всех возможных размещений 
A
n
n
n
n
m
n
m =
⋅
−
(
)⋅
−
(
)
−
+
(
)
1
2
1

.

Например, сколько можно составить сигналов из 6 флажков различного цвета, взятых по два флажка? 

Решение. A6
2
6 5
30
=
⋅ =
.

Сочетаниями называют комбинации, составленные из п различных 
элементов по m элементов, которые отличаются хотя бы одним элементом. Число сочетаний C
n
m n
m
n
m =
−
(
)
(
)
!/
!
! .

Например, сколькими способами можно выбрать две детали из 
ящика, содержащего 10 деталей? 

Решение. C10
2
10
2 8
1 2 3 4 5 6 7 8 9 10
1 2
1 2 3 4 5 6 7 8
=
⋅
(
) =
⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅
⋅
(
)⋅
⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅
!/
!
!
(
)
=
=
3 628800
80 640
45.

Числа размещений, перестановок и сочетаний связаны следующим 
равенством:

A
P
C
n
m
m
n
m
=
⋅
.

Приведенные формулы предполагают, что все п элементов различны. 
Если же некоторые элементы повторяются, то в этом случае комбинации 
с повторениями вычисляются по другим формулам. Например, если 
среди п элементов есть п1 элементов одного вида, п2 элементов другого 
вида и т.д., то число перестановок с повторениями определится следующим образом: Pn(n1, n2, …) = n!/(n1!∙n2!...), где n1 + n2 + … = n. При решении задач комбинаторики используются следующие правила.
Правило суммы. Если некоторый объект А может быть выбран из совокупности объектов m способами, а другой объект В может быть выбран 
n способами, то выбрать либо А, либо В можно (m + n) способами.
Правило произведения. Если объект А можно выбрать из совокупности 
объектов m способами и после каждого такого выбора объект В можно 
выбрать n способами, то пара объектов (А, В) выбрана в указанном порядке m ∙ n способами.

Примеры непосредственного вычисления вероятностей

Пример 1. Набирая номер телефона, абонент забыл одну цифру на каком-то конкретном месте и набрал ее наудачу. Найти вероятность 
того, что набрана нужная цифра.
Решение. Пусть событие А — набрана нужная цифра. Абонент мог 
набрать любую из 10 цифр, поэтому общее число возможных элементарных исходов равно 10. Эти исходы несовместимы, равнозначны и образуют полную группу. Благоприятствует событию А лишь один исход 
(нужная цифра лишь одна). Исходная вероятность равна отношению 
числа исходов, благоприятствующих событию, к числу всех элементарных исходов: Р(А) = 1/10.
Пример 2. Набирая номер телефона, абонент забыл последние две 
цифры и, помня лишь, что эти цифры различны, набрал их наудачу. 
Найти вероятность того, что набраны нужные цифры.

Решение. Обозначим через В событие — набраны две нужные цифры. 
Всего можно набрать столько различных цифр, сколько может быть составлено размещений из десяти цифр по две, т.е. A10
2
10 9
90
=
⋅
=
.  Таким 
образом, общее число возможных элементарных исходов равно 90. Эти 
исходы несовместны, равновозможны и образуют полную группу. Благоприятствует событию В лишь один исход. Искомая вероятность равна 
отношению числа исходов, благоприятствующих событию, к числу всех 
элементарных исходов: Р(В) = 1/90.

Пример 3. В партии из 10 деталей 7 стандартных. Найти вероятность 
того, что из шести взятых наудачу деталей окажутся четыре стандартные.
Решение. Общее число возможных элементарных исходов испытания 
равно числу способов, которыми можно извлечь 6 деталей из 10, 
т.е. числу сочетаний из 10 элементов по 6 элементов (С10
6 ). Определим 
число исходов, благоприятствующих интересующему нас событию А 
(среди 6 взятых деталей 4 стандартные). Четыре стандартные детали 
можно взять из 7 стандартных деталей С7
4 способами. Следовательно, 
число благоприятствующих исходов равно С7
4 ∙ С3
2. Искомая вероятность 
равна отношению числа исходов, благоприятствующих событию, 
к числу всех элементарных исходов: 

P A
C
C
C
( )
/
.
=
⋅
(
)
=
7
4
3
2
10
6
1
2

Теорема сложения вероятностей. Суммой А + В двух событий А и В 
называется событие, состоящее в появлении события А, или события В, 
или обоих этих событий. Например, если из орудия произведены два 
выстрела и А — попадание при первом выстреле, В — попадание при 
втором выстреле, то А + В — попадание при первом выстреле, или при 
втором выстреле, или в обоих выстрелах. В частности, если два события 
А и В — несовместные, то А + В — событие, состоящее в появлении хотя 
бы одного из этих событий, безразлично которого.
Суммой нескольких событий называют событие, которое состоит в 
появлении хотя бы одного из этих событий. Например, событие А + В +
+ С состоит в появлении одного из следующих событий: А, В, С, А и В, А 
и С, В и С, А и В и С.
Пусть события А и В — несовместные, причем вероятности появления этих событий известны. Как найти вероятность того, что наступит 
либо событие А, либо событие В? Ответ на этот вопрос можно получить 
с помощью теоремы сложения вероятностей.
Вероятность появления одного из двух несовместных событий, безразлично какого, равна сумме вероятностей этих событий:

Р(А + В) = Р(А) + Р(В).

Следствие. Вероятность появления одного из нескольких попарно несовместных событий, безразлично какого, равна сумме вероятностей этих 
событий:

Р(А1 + А2 + … + Ап) = Р(А1) + Р(А2) + … + Р(Ап).

Пример 1. В урне 30 шаров: 10 красных, 5 синих и 15 белых. Найти вероятность извлечения из урны шара определенного цвета.
Решение. Появление цветного шара предполагает появление красного, синего или белого шара. Вероятность появления красного шара 
(событие А) Р(А) = 10/30 = 1/3. Вероятность появления синего шара 
(событие В) Р(В) = 5/30 = 1/6. 
События А и В несовместны, так как появление шара одного цвета 
исключает появление шара другого цвета. Поэтому применяется теорема 
сложении вероятностей, т.е. Р(А + В) = Р(А) + Р(В) = 1/3 + 1/6 = 1/2.
Пример 2. Стрелок стреляет по мишени, разделенной на три области. 
Вероятность попадания в первую область равна 0, 45, во вторую область — 0,35. Найти вероятность того, что стрелок при одном выстреле попадет либо в одну область, либо в другую.
Решение. События А и В несовместны, поэтому применима теорема 
сложения вероятностей: Р(А + В) = Р(А) + Р(В) = 0,45 + 0,35 = 0,80.
Полная группа событий. Сумма вероятностей событий А1, А2, …, Ап, 
образующих полную группу событий, равна единице: Р(А1) + Р(А2) + … 
+ Р(Ап) = 1.
Пример. Консультационный пункт института получает пакеты с контрольными работами из городов А, В и С. Вероятности получения пакетов из городов А и В равны 0,7 и 0,2 соответственно. Найти вероятность того, что пакет будет получен из города С.
Решение. События получения пакетов из трех городов составляют 
полную группу. Искомая вероятность получения пакета из города С 
Р(С) = 1 – 0,7– 0,2 = 0,1.
Противоположные события. Противоположными называются два единственно возможных события, составляющих полную группу, одно из которых исключает появление другого. Если одно из противоположных событий обозначается как А, то другое принято обозначать как A.
Пример 1. Попадание и промах при выстреле по цели — события противоположные. Поэтому сумма вероятностей Р(А) + Р(A) = 1.
Пример 2. В ящике имеется п деталей, из которых т — стандартных. 
Найти вероятность того, что среди k наудачу извлеченных деталей будет 
хотя бы одна стандартная.
Решение. События «среди извлеченных деталей есть хотя бы одна 
стандартная» и «среди извлеченных нет ни одной стандартной» являются 
противоположными. Обозначим событие, при котором деталь стан