Числовые системы

Ю.Н. Смолин

ЧИСЛОВЫЕ 
СИСТЕМЫ

Учебное пособие

3-е издание, стереотипное

Допущено Министерством образования и науки 
Российской Федерации 
в качестве учебного пособия
 для студентов математических специальностей 
высших учебных заведений

Москва
Издательство «Флинта»
2021

УДК 511.11(075.8)
ББК 22.131я73

С51

Смолин Ю.Н.
Числовые 
системы 
[Электронный ресурс] : 
учеб. 
пособие / Ю.Н. Смолин. – 3-е изд., стер. – М. : Флинта, 
2021. – 112 с. 

ISBN 978-5-9765-0794-4

Учебное пособие написано в соответствии с программой курса 
«Числовые системы» для студентов математических специальностей 
университетов. Изложены основные вопросы аксиоматического 
построения систем натуральных, целых, рациональных, действительных 
и комплексных чисел.

© Смолин Ю.Н., 2016
© Издательство «Флинта», 2016

УДК 511.11(075.8)
ББК 22.131

С51

ISBN 978-5-9765-0794-4

ВВЕДЕНИЕ

В средней школе будущий студент уже научился немного понимать природу разного рода чисел и производить над
ними некоторые действия. Конечно, этих сведений для изучения основ алгебры и анализа достаточно. Однако при рассмотрении более сложных разделов математики неизбежно
встает вопрос о строгости доказательств и, как следствие, —
о надежности лежащей в их основе теории числовых систем.
Вот почему эта теория занимает важное место в математическом образовании студента.1
Задачей курса "Числовые системы" является логическое обоснование основных свойств систем натуральных, целых, рациональных, действительных и комплексных чисел,
причем система натуральных чисел служит фундаментом,
на котором строятся все другие числовые системы. За ней
последовательно определим системы целых, рациональных,
действительных и комплексных чисел таким образом, чтобы каждая из перечисленных здесь систем являлась расширением предыдущей. При этом мы стремимся построить
расширение, обладающее рядом свойств по отношению к
расширенный системе. Так, если числовая система A расширяется до системы B, то эти свойства сводятся к следующему:
1) A есть подмножество множества B;
2) операции и отношения, заданные на A, определены
также и на B, причем их смысл для элементов множества
A, рассматриваемых уже как элементы B, совпадает с тем,
какой они имели до расширения;
3) в B должна быть выполнима операция, которая в A
невыполнима или же не всегда выполнима;

1Под числовой системой понимается множество с определенными
на нем некоторыми операциями и отношениями. Числовые системы
будем обозначать прописными рукописными буквами, а соответствующие им множества — теми же, но печатными.

3

4) расширение B должно быть минимальным из всех
расширений данной системы A, обладающих свойствами
1 – 3, и определяться ею однозначно с точностью до изоморфизма.
Свойство 3 является основным, из-за которого и строится расширение.
Вернемся к системе натуральных чисел, которая, как
увидим ниже, определяется с помощью так называемой системы Пеано. А поскольку система Пеано будет задана аксиоматически, изложим вкратце суть аксиоматического подхода в математике.
Аксиоматически определить математический объект —
значит задать несколько первичных, неопределяемых понятий (аксиом), относительно которых высказан ряд более
или менее интуитивно ясных утверждений, принимаемых
без доказательства. При этом, как требует современная наука, система аксиом должна быть:
непротиворечивой, когда из системы аксиом нельзя вывести исключающих друг друга утверждений;
полной, когда всякое утверждение, сформулированное в
терминах теории, построенной на основе этих аксиом, может быть либо доказано, либо опровергнуто;
независимой, когда ни одна из аксиом не является следствием остальных;
категоричной, когда любые две модели данной системы аксиом (совокупности некоторых объектов, для которых
выполняются эти аксиомы) изоморфны.
Непротиворечивость системы аксиом свидетельствует о
достоверности результатов, полученных на ее основе. Условимся непротиворечивость системы аксиом Пеано принимать без доказательства. Непротиворечивость других систем аксиом будет установлена путем построения их моделей на основе (принятой в качестве аксиомы) непротиворечивости системы аксиом Пеано.
Средствами, доказывающими полноту системы аксиом
Пеано и, как следствие, полноту других систем аксиом, мы
не располагаем, поскольку отсутствует точное понятие доказательства, т.е. не указаны явным образом правила вывода утверждений. В отличие от излагаемой нами содержательной аксиоматической теории существует и другая,
формальная, где все правила доказательств четко прописаны. Ее изучение выходит за рамки нашей программы.

4

Чтобы доказать независимость системы аксиом, строится модель, в которой выполняются все аксиомы за исключением одной. Существование такой модели показывает, что
данная аксиома не является следствием остальных.
Система аксиом Пеано независима, поскольку существуют модели [13], в которых каждая из ее аксиом не зависит
от остальных. Мы в качестве примера построим модель, для
которой будут выполняться все аксиомы Пеано за исключением последней.
Что касается категоричности, то ее отсутствие означает существование моделей данной системы аксиом, обладающих существенно различными свойствами. Конечно, в
таком случае аксиоматическое задание объекта некорректно. Напротив, категоричность системы аксиом показывает, что данная система аксиом полностью характеризует
описываемый объект, поскольку с математической точки
зрения изоморфные объекты неразличимы. Поэтому при
изучении свойств данного объекта мы можем ограничиться
рассмотрением какой-нибудь одной его модели.
При рассмотрении числовых систем будем прослеживать
непротиворечивость и категоричность соответствующих систем аксиом.
Пособие состоит из глав, разбитых на параграфы. В каждом параграфе принята своя нумерация утверждений, определений и формул. Например, слова "по теореме 5.2.1" означают, что речь идет о теореме 1 из второго параграфа пятой главы. При ссылках на материал внутри главы ее номер
опускается. Конец доказательств помечен знаком ⊓⊔.
Автор будет весьма признателен за все критические замечания, направленные на улучшение пособия.

Автор

5

Г Л А В А
1
СИСТЕМА НАТУРАЛЬНЫХ ЧИСЕЛ

В этой главе изложим основные вопросы, связанные с
аксиоматическим построением системы натуральных чисел.

§ 1. Система Пеано

Рассмотрим так называемую систему Пеано, служащую
основой для построения системы натуральных чисел.

1.1. Определение. Системой Пеано называется множество N с определенным на нем унарным отношением " ′ "
(следовать за), если выполнены условия (аксиомы Пеано):
1) для любого n ∈ N существует и притом единственный
следующий за ним элемент n′ ∈ N;
2) в N существует элемент (называемый единицей и обозначаемый символом 1) такой, что (∀n ∈ N) 1 ̸= n′;
3) для любых m, n ∈ N из условия m′ = n′ следует, что
m = n;
4) если некоторое множество M (M ⊂ N) удовлетворяет
условиям: а) содержит 1 и б) вместе с каждым n содержит
n′, то оно содержит все множество N.

Систему Пеано будем обозначать символом ⟨N, ′⟩, а элементы множества N называть натуральными числами. Для
их обозначения будем использовать символы 1, 2, 3, . . . , где
2 = 1′, 3 = 2 ′ и т.д.1

1Для обозначения натуральных чисел применяются и другие символы. Хорошо известна, например, римская нумерация.
Поскольку в главе 1 будем иметь дело только с натуральными числами, слово "натуральный" и его производные в этой главе будем
часто опускать.

6

Аксиомы 1 – 4 были введены Пеано 1 в 1891 г. и носят
его имя.
Аксиома 1 утверждает, что за каждым натуральным числом непосредственно стоит и притом только одно натуральное число (и, следовательно, множество натуральных чисел
бесконечно). Аксиома 2 говорит о том, что единица не следует ни за каким натуральным числом (и, таким образом,
является первым натуральным числом, за которым следуют все остальные). Чтобы прокомментировать аксиому 3,
дадим

1.2. Определение. Число n называется предшествующим числу n′.

Отсюда следует, что аксиома 3 утверждает единственность натурального числа, предшествующего данному (но
не его существование).
Мы видим, что аксиомы 1 – 3 полностью отвечают нашим представлениям о строении множества натуральных
чисел. Несколько особняком от них стоит аксиома 4 (называемая аксиомой индукции). Однако позже убедимся в том,
что при ее отсутствии получается числовая система, не обладающая многими привычными свойствами натуральных
чисел.
При нашем интуитивном понимании природы натуральных чисел мы должны принять эти аксиомы. Мы должны
принять также без доказательства факт существования по
меньшей мере одной модели системы Пеано (например, системы символов 1, 2, 3, . . . ).
Наряду с аксиомой 4 широко применяется и аксиома 4′,
в которой условие б) аксиомы 4 заменено условием:
б′) из существования n ∈ M следует, что n′ ∈ M.
При этом справедлива

1.3. Теорема. Аксиомы 4 и 4′ равносильны.
Доказательство. Пусть принята аксиома 4 и выполнены
условия аксиомы 4′. Введем высказывание A(n) : (∀n ∈ N)
если n ∈ M, то n′ ∈ M (что соответствует условию б)).
Зафиксируем произвольное n0 ∈ N и докажем истинность высказывания A(n0) : если n0 ∈ M, то n0 ′ ∈ M. Дано:

1Джузеппе Пеано (1858 – 1932) — крупный итальянский математик.

7

no ∈ M. По условию б′), n0 ′ ∈ M, и, таким образом, высказывание A(n0) истинно. А так как n0 ∈ N произвольно, то
(∀n ∈ N) истинно A(n), т.е. выполняется условие б). Кроме
того, условие а) в обеих аксиомах одно и то же. Видим, что
выполнены оба условия аксиомы 4, в силу которой N ⊂ M,
и аксиома 4′ имеет место. Доказана импликация "аксиома
4 ⇒ аксиома 4′".
Пусть теперь принята аксиома 4′ и выполнены условия
аксиомы 4. Предположим, что ∃ n ∈ N такое, что n ∈ M.
Тогда, по условию б), n′ ∈ M, т.е. имеет место условие б′).
Условие а) также выполнено, и, по аксиоме 4′, N ⊂ M. Таким образом, имеет место аксиома 4, и импликация "аксиома 4′ ⇒ аксиома 4", а с ней и теорема, доказаны. ⊓⊔

Приведенное утверждение говорит о том, что аксиома 4′
есть просто иная форма аксиомы 4, и, следовательно, можно использовать ту из них, которую читатель считает более
удобной. Все же мы постараемся показать, что применять
аксиому 4′ проще, чем аксиому 4.
С этой целью условие б′) разобьем на две части. Первую из них сформулируем в виде: пусть существует n ∈ M
(индуктивное предположение), а вторую — в виде: покажем, что тогда n′ ∈ M (индуктивное заключение). Таким
образом, чтобы воспользоваться аксиомой 4′, надо:
ввести некоторое множество M (M ⊂ N);
показать, что 1 ∈ M;
предположить, что существует n ∈ M;
доказать, что тогда n′ ∈ M.
Если эти условия оказались выполненными, то на основании аксиомы 4′ можем утверждать, что N ⊂ M) (и как
следствие, что M = N).
Конечно, пользоваться аксиомой 4′ тоже непросто, но,
по крайней мере, в этом случае легко формулируется индуктивное предположение. Проиллюстрируем это, доказав
следующее важное утверждение.

1.4. Теорема. Любое натуральное число n (n ̸= 1) имеет
предшествующее.
Доказательство. Пусть M — множество, состоящее из
1 и всех чисел, имеющих предшествующее. По определению
множества M, 1 ∈ M. Предположим теперь, что существует
n ∈ M. Тогда n′ ∈ M, так как имеет предшествующее n. Ви
8

дим, что выполнены условия аксиомы 4′, согласно которой
N ⊂ M. Следовательно, M = N, и, таким образом, любое
число, отличное от 1, имеет предшествующее. ⊓⊔

1.5. Замечание. Остановимся на доказательстве независимости аксиомы индукции от остальных аксиом Пеано,
для чего построим модель, в которой выполняются все аксиомы Пеано за исключением последней.
Рассмотрим множество

N1 = {(n, x) : n ∈ N, x ∈ {1, 2}}.

Пары (n1, x1), (n2, x2) ∈ N1 будем считать равными, если
равны их соответствующие компоненты, т.е. если n1 = n2,
x1 = x2. Пару (n′, x) будем считать следующей за (n, x); тем
самым определим на N1 унарное отношение " ′′ " (следовать
за). А в качестве единицы возьмем пару (1, 1). Полученную
модель обозначим символом N1.
Аксиома 1 для модели N1 выполняется ввиду соответствующей аксиомы для системы Пеано.
Покажем, что для модели N1 выполняется аксиома 2.
Предположим противное, т.е. что существует такая пара
(n, x) ∈ N1, что (1, 1) = (n, x)′′. Тогда имеем (1, 1) = (n′, x),
и потому 1 = n′, что ввиду аксиомы 2 для системы Пеано
невозможно.
Покажем, что для данной модели выполняется аксиома 3. Пусть (n, x)′′ = (m, y)′′, т.е. (n′, x) = (m′, y). Отсюда следует, что n′ = m′, и, в силу аксиомы 3 для системы Пеано, m = n. А поскольку и x = y ввиду равенства
(n′, x) = (m′, y), то (n, x) = (m, y).
Покажем, что для модели N1 не выполняется аксиома
4′. Предположив противное, рассмотрим множество

M = {(n, 1) : n ∈ N}.

Очевидно, M ⊂ N1 и (1, 1) ∈ M. Предположим теперь, что
существует пара (n, 1) ∈ M. Тогда, так как (n, 1)′′ = (n′, 1),
то, по построению множества M, (n, 1)′′ ∈ M, и, ввиду аксиомы 4′, M = N1. Это, однако, неверно, поскольку, например,
(1, 2) /∈ M. Противоречие показывает, что для данной модели аксиома 4′ (а значит, и 4) не выполняется.

9

Наряду с аксиомами 4 и 4′ существуют два, на первый
взгляд различных, принципа математической индукции
(ПМИ), используемых при доказательстве многих утверждений. Напомним эти принципы.

ПМИ-1. Пусть P(n) — некоторое высказывание, зависящее от n ∈ N. Если выполнены условия: 11) истинно P(1)
и 12) (∀n ∈ N) из предположения об истинности P(n) следует истинность P(n′), то P(n) имеет место при любом n ∈ N.

ПМИ-2. Пусть P(n) — некоторое высказывание, зависящее от n ∈ N. Если выполнены условия: 21) истинно P(1)
и 22) из предположения о существовании n ∈ N, при котором истинно P(n), следует истинность P(n′), то P(n) имеет
место при любом n ∈ N.

Покажем, что ПМИ-1 и ПМИ-2 суть различные формы
одного и того же ПМИ.

1.6. Теорема. ПМИ-1 и ПМИ-2 равносильны.
Доказательство. Пусть принят ПМИ-1 и выполнены условия ПМИ-2. Составим высказывание A(n) : если истинно
P(n), то истинно P(n′), каково бы ни было n ∈ N (очевидно,
высказывание A(n) есть перефразированное условие 12).
Зафиксируем произвольное n = n0 и покажем, что истинно высказывание A(n0) : если истинно P(n0), то истинно
P(n′). Нам дано: P(n0) истинно, т.е. ∃ n (n = n0), при котором P(n) истинно. Но тогда, по условию 22, истинно P(n′),
и, таким образом, истинно высказывание A(n0). А так как
n0 произвольно, то A(n) истинно при любом n ∈ N, т.е. имеет место условие 12. Кроме того, поскольку условия 11 и 21
идентичны, то выполняется и условие 11. Таким образом,
выполнены условия ПМИ-1, в силу которого P(n) истинно при любом n ∈ N. Итак, из условий 21 и 22 вытекает
(∀n ∈ N) истинность P(n), т.е. имеет место ПМИ-2. Нами
доказана импликация "ПМИ-1 ⇒ ПМИ-2".
Пусть теперь принят ПМИ-2 и выполнены условия ПМИ1. Предположим, что ∃ n ∈ N, при котором истинно P(n).
Тогда в силу условия 12 истинно P(n′). Таким образом, из
существования n ∈ N, при котором истинно P(n), следует
истинность P(n′), т.е. имеет место условие 22. А посколь
10