Расчетные модели конструкционных строительных материалов при многоосном напряжении

РАСЧЕТНЫЕ МОДЕЛИ  
КОНСТРУКЦИОННЫХ 
СТРОИТЕЛЬНЫХ  
МАТЕРИАЛОВ  
ПРИ МНОГООСНОМ  
НАПРЯЖЕНИИ

Й. ЭБЕРХАРДШТАЙНЕР 
С.Н. ЛЕОНОВИЧ 
В.В. ДОРКИН

Под общей редакцией доктора технических наук,  
профессора С.Н. Леоновича

Москва 
ИНФРА-М 
2021

МОНОГРАФИЯ

УДК 691(075.4)
ББК 38.3

Э13

Эберхардштайнер Й.

Э13
Расчетные модели конструкционных строительных материалов 

при многоосном напряжении : монография / Й. Эберхардштайнер, 
С.Н. Леонович, В.В. Доркин ; под общ. ред. С.Н. Леоновича. — Москва : 
ИНФРА-М, 2021. — 320 с. + Доп. материалы [Электронный ресурс]. — 
(Научная мысль). — DOI 10.12737/1082947.

ISBN 978-5-16-016129-7 (print)
ISBN 978-5-16-108485-4 (online)
В монографии излагаются результаты экспериментальных и теоретиче
ских исследований поведения древесины и бетона различной структуры 
при двухосном и трехосном сжатии.

Содержит систематическую классификацию существующих моделей 

для бетона, связывающих трехосные нелинейно-упругие напряжения и деформации, а также исследование и последующую оценку некоторых основополагающих моделей с точки зрения возможности их использования 
в рамках анализа пространственной нагрузки при помощи МКЭ.

Предназначена для научных и инженерно-технических работников на
учно-исследовательских и проектных организаций.

УДК 691(075.4)

ББК 38.3

ISBN 978-5-16-016129-7 (print)
ISBN 978-5-16-108485-4 (online)

© Эберхардштайнер Й., 

Леонович С.Н., Доркин В.В., 2021

Материалы, отмеченные знаком 
, доступны 

в электронно-библиотечной системе Znanium.com

Р е ц е н з е н т ы:

С.В. Басков, доктор технических наук, профессор, главный науч
ный сотрудник Института БелНИИС; 

В.В. Тур, доктор технических наук, профессор, заведующий кафед
рой технологии бетона и строительных материалов Брестского государственного технического университета 

Обозначения

σij, i, j = 1,2,3 — тензор напряжений
σ — вектор напряжений
σ0 — вектор начальных напряжений
σi, i = 1,2,3 — главные нормальные напряжения
sij = σij – σoδij, i, j = 1,2,3 — тензор девиаторных напряжений
si, i = 1,2,3 — девиаторные главные нормальные напряжения
σic, i = 1,2,3 — компоненты максимального напряженного состояния
στ — компонента радиального напряжения
σo = I1/3 — октаэдрическое нормальное напряжение
σ’o — гидростатическое корректирующее напряжение
τo = √2J2/3 — октаэдрическое напряжение сдвига
τou — октаэдрическая прочность при сдвиге
τm = √2J2/5 — среднее октаэдрическое напряжение сдвига
εij, i, j = 1,2,3 — тензор деформаций
ε — вектор деформаций
ε0 — вектор начальных деформаций
εi, i = 1,2,3 — главные нормальные деформации
еij = εij – εoδij, i, j = 1,2,3 — тензор девиаторных деформаций
ei, i = 1,2,3 — девиаторные главные нормальные деформации
εic, i = 1,2,3 — компоненты деформационного состояния, соответствующего σic
εiu, i = 1,2,3 — компоненты эквивалентно-одноосных деформаций
εo = I’1/3 — октаэдрическая нормальная деформация
γo = √2J’2/3 — октаэдрическая деформация сдвига

Инварианты
I1 = σii = σ1 + σ2 + σ3 — первый инвариант напряженного состояния
I2 = σ1σ2 + σ2σ3 + σ3σ1 — второй инвариант напряженного состояния
J2 = sij sij /2 — второй инвариант девиаторного напряженного состояния
J3 = sij sjk ski/3 — третий инвариант девиаторного напряженного 
состояния
I’1 = εii = ε1 + ε2 + ε3 — первый инвариант деформационного состояния
J’2 = eij eij/2 — второй инвариант девиаторного деформационного 
состояния
е — объемное расширение
υ — угол Лоде

Параметры материала
fcu — цилиндрическая прочность на одноосное сжатие (fcu > 0)
ftu — прочность на одноосное растяжение
fcb — прочность при двухосном сжатии (fcb > 0)
ecu — одноосная деформация, соответствующая fcu
Dijkl — тензор жесткости материала
D — матрица жесткости материала
Cijkl — тензор упругости материала
С — матрица упругости материала
Е — модуль упругости
ν — коэффициент поперечного расширения
K — модуль объемной деформации
G — модуль сдвига
H — модуль связи между ∆σo и ∆γo
Y — модуль связи между ∆τo и ∆εo
Ai, Bi, i = 1,2,3 — коэффициенты матрицы жесткости материала
ESoft — модуль разупрочнения
β — фактор снижения жесткости при сдвиге треснувшего бетона
εcrβ — нормальная деформация трещины, при которой β достигает минимума
m — параметр для разделения разрушения при растяжении 
и разрушения при сжатии
r1 — меридиан растягивающего усилия поверхности разрушения
r2 — меридиан сжатия поверхности разрушения
ai, i = 0,1,2 — коэффициенты для описания меридиана растягивающего усилия
bi, i = 0,1,2 — коэффициенты для описания меридиана сжатия
ρ — ордината меридиана поверхности разрушения
ξ — абсцисса меридиана поверхности разрушения
Ld — функция девиаторного нагружения
Lν — функция волюметрического нагружения
Uo — плотность энергии деформации
Uf — энергия разрушающей деформации
Gf — количество высвобождающейся при разрыве энергии
u — вектор смещения
qe — вектор узловых смещений элемента е
qn — вектор узловых смещений после приращения n
N — матрица непрерывных функций
B — матрица деформации смещения
Ki
n — глобальная матрица жесткости после i-го шага итерации 
приращения n
Kc — матрица жесткости элемента
Ps — вектор распределенной поверхностной нагрузки
Pν — вектор распределенной объемной нагрузки

Se — поверхность элемента
Ve — объем элемента
Pn — вектор внешней узловой нагрузки
Fn — вектор узловых усилий, эквивалентных напряжениям 
элемента
tcr — вектор напряжений отрыва (трещин) в локальной системе 
координат
ecr — вектор деформаций отрыва (трещин) в локальной системе 
координат
Θ — матрица трансформации между глобальными и локальными 
системами координат

Другие символы
δij — дельта Кронекера
∆ — приращение величины
d — дифференциал величины
д — символ для частичной производной
δ — символ для виртуальных величин
нижний индекс 0 — начальное значение велинчины
нижний индекс Т — тангенциальное значение величины
нижний индекс о — обозначение октэдрической величины
нижний индекс n — связан с приращением n
нижний индекс с — обозначение для сжатия
нижний индекс t — обозначение для растяжения
нижний индекс u — одноосный
нижний индекс σ — величина в пространстве напряжений
нижний индекс ε — величина в пространстве деформаций
верхний индекс E — упругая составляющая тензора или вектора
верхний индекс Р — пластическая составляющая тензора или 
вектора
верхний индекс i — связан с шагом итерации i
верхний индекс со — связан с материалом бетон
верхний индекс cr — связан с трещиной
верхний индекс Т — транспонированный

Посвящается 20-летию заключения Договора 
(бессрочного) о сотрудничестве в области 
образования и науки между Венским и Белорусским 
национальным техническим университетом

От авторов

В ходе определения новых направлений в научной деятельности 
Института механики материалов и конструкций Технического университета г. Вены, в том числе в связи с подписанием Договора 
о научном сотрудничестве с БНТУ, в целях устранения дефицита 
фундаментальных знаний в области механических свойств материалов было определено приоритетное направление исследований. 
Его целью стало экспериментальное изучение жесткости и прочности конструкционных строительных материалов, напряженных 
биаксиально, по касательной к направлению волокон. Соответствуя 
в полной мере условиям реализации данного научно-исследовательского проекта, данная книга, однако, не ограничивается описанием двухосных испытаний на прочность, проведенных на образцах 
древесины, и изложением полученных экспериментальных данных. 
Напротив, большинство ее страниц посвящено подробному разъяснению теоретических основ эксперимента и разработке экспериментальной установки, необходимой для его реализации (главы 
1–5).
Большая часть монографии (главы 6–11) содержит сравнительный анализ и оценку нелинейно-упругих моделей в целях 
изучения предразрывного состояния бетона при трехосном напряжении сжатия. По результатам экспериментов с приложением немонотонной и непропорциональной нагрузки осуществляется исследование, некоторая модификация и оценка четырех нелинейноупругих основополагающих моделей для бетона. В частности, 
в качестве основополагающих моделей рассматриваются базовая 
общая модель Котсовоса (Kotsovos) и Ньюмана (Newman), увеличивающаяся ортотропная модель Элви (Elwi) и Мюррея (Murray), 
увеличивающаяся зависимость Станковского (Stankowski) 
и Герстле (Gerstle), а также гипоупругая модель бетона, созданная 
Шейфером (Shafer) и Оттосеном (Ottosen). Для того чтобы первые 
две модели можно было использовать и для случаев, связанных 
с приложением немонотонной нагрузки, эти модели были дополнены критерием нагружения и разгрузки, предложенным Станковским (Stankowski) и Герстле (Gerstle). Несмотря на проблемы при 

рассмотрении процессов разгрузки в случае модели бетона Шейфера (Shafer) и Оттосена (Ottosen), можно говорить об удовлетворительном соответствии результатов аналитических и экспериментальных исследований.
Для математического описания огибающих разрыва, определенных в качестве места всех разрушающих напряженных состояний, в пространстве напряжений используется модель с пятью 
параметрами Вильяма (Willam) и Варнке (Warnke). После достижения поверхности разрушения наблюдается разупрочнение 
бетона как в случае разрушения при растяжении, так и в случае 
разрушения при сжатии. Обзор результатов исследований, зафиксированных в литературе и касающихся постразрывного поведения 
бетона, а также соответствующих механических моделей для количественного выражения постразрывного поведения материала отражают современное состояние научных исследований в данной 
области. Устанавливается критерий для различия между разрушениями при растяжении и сжатии.
Если в начале рассматривается только целая центральная часть 
испытуемых образцов из неармированного бетона с равномерным 
распределением напряжений в трех направлениях нагружения, 
проведение конечно-элементного анализа в последующем показывает, что нелинейно-упругие модели бетона, первоначально 
тщательно изученные и затем реализованные в программном комплексе МАРС, хорошо подходят и для анализа деформаций слабоармированных, толстостенных конструктивных элементов. В отношении проведенных исследований предельной нагрузки речь идет 
о железобетонной консоли с локальным разрушением при растяжении, а также о железобетонном кольце с преобладающим напряжением сжатия и радиальным нагружением. Сравнение расчетных 
и экспериментальных результатов приводит к выводу, что, с одной 
стороны, различные формы основополагающей оценки предразрывной области не оказывают слишком большого влияния на аналитические результаты, а с другой стороны, принятие во внимание 
разупрочнения бетона играет довольно важную роль. Усовершенствование механических моделей, использованных в данной работе 
для описания постразрывных характеристик бетона, должно стать 
предметом дальнейших научных исследований.

Глава 1 
ВВЕДЕНИЕ

1.1. ПОСТАНОВКА ЗАДАЧ И РЕШЕНИЕ ПРОБЛЕМ

Применение современных числовых методов расчетов, таких, 
например, как метод конечных элементов (МКЭ), в конструктивном инженерном строительстве для проведения приближенного к реальности, надежного анализа нагрузки деревянных тонкостенных конструкций или для исследования пространственных 
деформаций двухоснонапряженных конструктивных элементов 
из древесины требует наличия соответствующих законов. Однако 
те из них, которые описывают жесткость и прочность еловой древесины, напряженной биаксиально, по касательной к направлению 
волокон, представлены в настоящее время в крайне ограниченном 
количестве.
Подобные недоработки ведут к тому, что переработка древесного сырья до высококачественного конечного продукта, а также 
экспорт связанных с данными процессами ноу-хау осуществляются 
не в тех масштабах, которые могли бы быть реализованы такими 
богатыми лесами странами, как Австрия, Беларусь и, особенно, 
Россия. Устранение дефицита фундаментальных исследований 
в области механических свойств материалов послужило мотивацией для проведения двухосных экспериментов с древесиной, 
а также для планирования и разработки необходимой для них испытательной установки для анизотропных материалов (риc. 1.1) 
в Институте сопротивления материалов Технического университета г. Вены. Данная установка включает в себя сервогидравлическую машину для двухосных испытаний материалов на прочность 
и бесконтактную, лазерно-оптическую измерительную систему для 
анализа двухмерных деформаций в пределах базы измерения испытуемых тонких и плоских образцов древесины.
Целью многопланового экспериментального исследования было 
получение опытных данных для количественного описания деформаций двухосно напряженной еловой древесины, не ограничиваясь 
при этом частным случаем совпадения направления волокон с направлением нормального напряжения (главным направлением 
напряжения по нормали к сечению образца). Экспериментальные 
данные, полученные в ходе указанных опытов, послужили основой 
для выведения законов, ориентированных на древесину, напряженную двухосно, по касательной к направлению волокон.

Для экспериментальных исследований была использована отборная, технологически безупречная и однородная еловая древесина. Благодаря тому, что образцы содержались при температуре 20ºС и относительной влажности воздуха 65%, влажность 
древесины составляла постоянную величину u = 12%. При таких 
условиях на механические свойства бездефектной древесины 
в основном влияет лишь ее объемная плотность. На первом этапе 
исследований был проведен репрезентативный цикл стандартных 
одномерных испытаний на растяжение параллельно и перпендикулярно продольному направлению волокон (всего около 300 опытов). 
Итогом исследований, помимо сравнительного анализа результатов 
экспериментов с данными, отраженными в специальной литературе, стало получение значений, связанных с объемной плотность 
параметров упругости (EL, ER, νLR, ft,0 и fc,0) того сорта древесины, 
из которого были изготовлены тестовые образцы.
Механические параметры проведенных 439 линейных и 16 нелинейных биаксиальных испытаний на прочность представлены, 
с одной стороны, углом j, образованным главной осью материала L 
(продольное направление волокон) и главной осью напряжения σ1, 
и, с другой стороны, коэффициентом k приложенного к испытуемому образцу в форме приращения деформаций двухосного напря
Риc. 1.1. Разработанная установка для двухосных испытаний

жения растяжения / растяжения, сжатия / сжатия или смешанного 
растяжения / сжатия.
В ходе проведенного цикла испытаний для различных углов 
j были получены и представлены в пространстве главных напряжений предельные напряженные состояния при двухосной нагрузке. В целях обеспечения максимально точных результатов 
проводимых исследований для каждой экспериментальной конфигурации, определяемой вышеуказанными параметрами j и k, проводилось не менее 6 опытов. Благодаря определению значений объемной плотности в каждом конкретном случае и тому, что за основу 
были приняты причинные связи между объемной плотностью и отдельными параметрами прочности, полученные в ходе проведенных 
ранее одноосных исследований, стало возможным минимизировать 
необъяснимый разброс результатов, что позволило сделать уверенные и однозначные выводы в отношении исследуемых параметров прочности двухосно нагруженной еловой древесины.
Результатом каждого исследования, наряду с параметрами 
прочности при двухосной нагрузке, стало составление диаграмм 
«нагрузки — деформации» для отдельных точек приложения нагрузки к испытуемому образцу, а также распределения отдельных 
компонент деформации в пределах базы измерения. Определение 
связанных с объемной плотность параметров прочности при двухосном напряжении, а также описание характеристик жесткости 
в зависимости от интенсивности тангенциальных напряжений, 
приложенных к чистой (без пороков) древесине, создают основу 
для разработки двухосной конститутивной модели для древесины.

1.2. СТРУКТУРА РАБОТЫ

Содержанием данной работы является обобщающее, а по ключевым вопросам детальное описание заявленного выше научноисследовательского проекта. Введение в тему осуществляется 
в главе 2, где рассматриваются физико-механические основы экспериментального исследования. Наряду с описанием механических 
свойств еловой древесины как ортотропного материала, на основании результатов одно- и двухосных исследований, отраженных 
в специальной литературе, дается оценка современного состояния 
науки и существующего дефицита исследований, касающихся непосредственно древесины.
Глава 3 посвящена экспериментальной установке для двухосных испытаний, разработанной в ходе реализации данного научного проекта. В разделе 3.2 представлен образец древесины, 
применяемый в данной работе для биаксиальных исследований 
исходя из системы испытаний. При этом в центре внимания на