Информатика : численные методы

МИНИСТЕРСТВО ОБРАЗОВАНИЯ И НАУКИ РФ 

ФЕДЕРАЛЬНОЕ ГОСУДАРСТВЕННОЕ АВТОНОМНОЕ ОБРАЗОВАТЕЛЬНОЕ УЧРЕЖДЕНИЕ  
ВЫСШЕГО ПРОФЕССИОНАЛЬНОГО ОБРАЗОВАНИЯ  
«НАЦИОНАЛЬНЫЙ ИССЛЕДОВАТЕЛЬСКИЙ ТЕХНОЛОГИЧЕСКИЙ УНИВЕРСИТЕТ «МИСиС» 

 

 
 
 

 

 

 

 

 

№ 2099 

Кафедра инженерной кибернетики

О.В. Андреева 
 
 

Информатика

Численные методы 

Учебное пособие 

Рекомендовано редакционно-издательским  
советом университета 

Москва  2014 

УДК 004.6 
 
А65 

Р е ц е н з е н т  
канд. техн. наук, доц. С.Ю. Муратова  

Андреева, О.В. 
А65  
Информатика : численные методы : учеб. пособие / 
О.В. Андреева. – М. : Изд. Дом МИСиС, 2014. – 57 с. 
ISBN 978-5-87623-778-1 

Рассматриваются численные методы решения прикладных задач (решение уравнений и систем уравнений, нахождение определенного интеграла, 
приближение функций и пр.) и особенности их программной реализации. 
Предназначено для студентов 2-го курса всех направлений при изучении 
дисциплины «Информатика» и при выполнении курсовой работы. Может 
быть использовано для самостоятельного изучения. 
 
УДК 004.6 

ISBN 978-5-87623-778-1 
© О.В. Андреева, 2014 

ОГЛАВЛЕНИЕ 

Введение....................................................................................................4 
1. Вычисление  определенного интеграла..............................................9 
Метод прямоугольников................................................................11 
Метод трапеций ..............................................................................13 
Метод Симпсона.............................................................................14 
Обеспечение заданной точности...................................................15 
Вопросы для самопроверки ...............................................................16 
2. Решение нелинейных уравнений ......................................................17 
Метод половинного деления (метод дихотомии)........................18 
Метод итераций ..............................................................................19 
Метод Ньютона (метод касательных)...........................................21 
Метод секущих (модифицированный метод Ньютона)..............23 
Метод хорд......................................................................................24 
Вопросы для самопроверки ...............................................................26 
3. Приближение функций ......................................................................27 
3.1. Интерполяция...............................................................................28 
Линейная интерполяция.................................................................28 
Квадратичная интерполяция..........................................................30 
Многочлен Лагранжа .....................................................................31 
3.2. Аппроксимация............................................................................32 
Вопросы для самопроверки ...............................................................36 
4. Решение  дифференциальных уравнений.........................................37 
Метод Эйлера..................................................................................39 
Модифицированный метод Эйлера ..............................................42 
Метод Рунге – Кутта ......................................................................43 
Вопросы для самопроверки ...............................................................44 
5. Решение систем  линейных уравнений.............................................46 
Метод Гаусса и его модификации.................................................47 
Метод Гаусса – Жордана ...............................................................51 
Метод Крамера................................................................................52 
Вопросы для самопроверки ...............................................................54 
Библиографический список...................................................................56 
 

ВВЕДЕНИЕ 

Решение прикладных задач с использованием компьютера предполагает наличие математической модели объекта (производственного процесса, системы управления, экономического плана и т.п.). Математическая модель – это взаимосвязь основных параметров объекта, выраженная в математической форме (в виде формул, интегралов, 
уравнений алгебраических или дифференциальных и т.п.). Возможность использования компьютера для реализации математической 
модели снимает многие вычислительные проблемы, и в настоящее 
время в моделях можно более полно учитывать особенности объекта 
и его внутренние взаимосвязи, что делает компьютерное моделирование мощным средством при решении практических задач по выбору оптимальных режимов функционирования или конструктивных 
параметров объекта и пр. 
Чтобы реализовать математическую модель на компьютере, необходимо привести входящие в ее состав математические объекты (интегралы, дифференциальные уравнения и т.д.) к последовательности арифметических операций и простых количественных сравнений, которые 
только и умеет выполнять компьютер. Для этого используются так называемые численные методы, или методы вычислительной математики. Например, вычисление определенного интеграла сводится при 
этом к последовательному сложению, а для достижения заданной точности выполняется ряд последовательных приближений (см. ниже). 
Численные методы разрабатывались и использовались уже давно, 
задолго до появления компьютеров. Это было обусловлено необходимостью решать задачи, решение которых не удается получить 
в явном виде (т.е. в виде формулы). Численные методы позволяют 
получить решение, выполняя бесконечный ряд последовательных 
приближений, который обрывается, когда достигнута заданная точность. Использование численных методов связано с выполнением 
огромного объема вычислений, и до появления компьютеров их применение было весьма ограничено. 
Численные методы – это целая область современной математики, 
в которой рассматривается численное решение различных математических задач. При этом большое внимание уделяется исследованию 
точности получаемых решений. Необходимо также иметь в виду, что 
при компьютерной реализации математических моделей на точность 
полученного решения влияют погрешности, содержащиеся в исходных данных, а также ограниченность разрядной сетки компьютера. 

Здесь рассматриваются лишь отдельные задачи, часто встречающиеся в инженерной практике, и простейшие методы их решения в целях 
предоставления начальных сведений о подходах к решению реальных 
задач с использованием компьютера. Овладение предложенными методами позволит решать самостоятельно типовые инженерные задачи, 
грамотно пользоваться пакетами прикладных программ (в частности, 
пакетом MathCad, изучаемым в рамках модуля «Методы обработки 
данных и численные методы» курса «Информатика») или с пониманием 
дела обратиться к специалистам в сложных случаях. 

Понятие о моделировании.  
Основные классы моделей.  
Математическое моделирование 

Компьютер – неотъемлемая часть современной жизни. Необходимо осваивать основные сферы его применения.  
Для использования компьютера при решении прикладных задач, 
они прежде всего должны быть «переведены» на формальный математический язык, т.е. для реального объекта, процесса или системы 
должна быть построена математическая модель.  
Целью моделирования являются получение, обработка, представление и использование информации об объектах, которые взаимодействуют между собой и внешней средой; а модель здесь выступает 
как средство познания свойств и закономерности поведения объекта. 
Остановимся на одном из наиболее универсальных видов моделирования – математическом, ставящим в соответствие моделируемому физическому процессу систему математических соотношений, 
решение которой позволяет получить ответ на вопрос о поведении 
объекта без создания физической модели, часто оказывающейся дорогостоящей и неэффективной. 
Математическое моделирование – это средство изучения реального объекта, процесса или системы путем их замены математической 
моделью, более удобной для экспериментального исследования 
с помощью ЭВМ. 
Построение математической модели заключается в определении 
связей между теми или иными процессами и явлениями, создании 
математического аппарата, позволяющего выразить количественно 
и качественно связь между теми или иными процессами и явлениями, между интересующими специалиста физическими величинами, 
и факторами, влияющими на конечный результат. 

Форма и принципы представления математической модели зависят от многих факторов. 
По принципам построения математические модели разделяют на: 
● аналитические; 
● имитационные. 
В аналитических моделях процессы функционирования реальных 
объектов, процессов или систем записываются в виде явных функциональных зависимостей. 
Аналитическая модель разделяется на типы в зависимости от математической проблемы: 
● уравнения (алгебраические, трансцендентные, дифференциальные, интегральные); 
● задачи приближения функций (интерполяция, экстраполяция, 
численное интегрирование и дифференцирование); 
● задачи оптимизации; 
● стохастические проблемы. 
В зависимости от характера исследуемых реальных процессов и 
систем математические модели могут быть: 
● детерминированные; 
● стохастические. 
В детерминированных моделях предполагается отсутствие всяких 
случайных воздействий, элементы модели (переменные, математические связи) должны быть достаточно точно установлены, поведение 
системы можно точно определить. При построении детерминированных моделей чаще всего используются алгебраические уравнения, 
интегральные уравнения, матричная алгебра. 
Стохастическая модель учитывает случайный характер процессов 
в исследуемых объектах и системах, который описывается методами 
теории вероятности и математической статистики. 
Наиболее просто строится модель, когда хорошо известны законы, определяющие поведение и свойства объекта, процесса или системы, и имеется большой практический опыт их применения. 
Более сложная ситуация возникает тогда, когда наши знания об 
изучаемом объекте, процессе или системе недостаточны. В этом случае при построении математической модели приходится делать дополнительные предположения, которые носят характер гипотез, такая модель называется гипотетической. Выводы, полученные в результате исследования такой гипотетической модели, носят условный характер. Для проверки выводов необходимо сопоставить результаты исследования модели на ЭВМ с результатами натурного