Фрактальная геометрия. Детерминированные фракталы

МИНИС ТЕРС ТВО НАУКИ И ВЫСШ ЕГО О Б РА З О ВА Н И Я РФ
№ 2949
ФЕДЕРАЛЬНОЕ ГОСУДАРСТВЕННОЕ АВТОНОМНОЕ ОБРАЗОВАТЕЛЬНОЕ УЧРЕЖДЕНИЕ 
ВЫСШЕГО ОБРАЗОВАНИЯ 
«НАЦИОНАЛЬНЫЙ ИССЛЕДОВАТЕЛЬСКИЙ ТЕХНОЛОГИЧЕСКИЙ УНИВЕРСИТЕТ «МИСиС»
ИНСТИТУТ ИНФОРМАЦИОННЫХ ТЕХНОЛОГИЙ  
И АВТОМАТИЗИРОВАННЫХ СИСТЕМ УПРАВЛЕНИЯ 
 
Кафедра инженерной кибернетики
В.В. Шихеева
ФРАКТАЛЬНАЯ ГЕОМЕТРИЯ
ДЕТЕРМИНИРОВАННЫЕ АТТРАКТОРЫ
Учебник
Рекомендовано редакционно-издательским 
советом университета
Москва  2019

УДК УДК 004.41 
 
Ш65
Р е ц е н з е н т 
д-р физ.-мат.наук проф. С.М. Хорошкин
Шихеева В.В.
Ш65  
Фрактальная геометрия. Детерминированные фракталы: учебник / В.В. Шихеева. – М.  : Изд. Дом НИТУ 
«МИСиС», 2019. – 270 с.
ISBN 978-5-906953-91-9
Учебник представляет собой изложение курса «Фрактальная геометрия», преподаваемого студентам третьего курса бакалавриата. 
Курс посвящен системам итерированных преобразований и понятию 
детерминированного аттрактора. В учебнике изложены базовые понятия, основные определения и теоремы. Приведены доказательства основных теорем. Введено понятие динамической системы на 
аттракторе и приведены алгоритмы построения детерминированных 
фракталов с помощью как детерминированного, так и стохастического алгоритмов. Завершает изложение курса знакомство с понятием 
фрактальной размерности и различными методами ее вычисления. 
В конце каждой главы приведены упражнения. Изложение допол- 
няют многочисленные примеры.
Учебник предназначен для студентов, обучающихся в бакалавриате по направлению подготовки 01.03.04.
УДК УДК 004.41
В.В. Шихеева, 2019
ISBN 978-5-906953-91-9
НИТУ «МИСиС», 2019

Содержание
Введение
4
Глава 1. Примеры детерминированных фракталов
7
Глава 2. Некоторые элементы топологии
36
Глава 3. Множество K(X) всех компактных множеств метрического пространства X
64
Глава 4. Преобразования пространства K(X) и
системы итерированных функций (СИФ)
82
Глава 5. Аффинные преобразования плоскости121
Глава 6. Множества накопления
135
Глава 7. Некоторые свойства детерминированных фракталов
152
Глава 8. Кодовое пространство СИФ
166
Глава 9. Адресная функция СИФ
183
Глава 10. Динамические системы
202
Глава 11. Динамика на фракталах
221
Глава 12. Хаотическая динамика
235
Глава 13. Фрактальная размерность
252
Список литературы
266
Предметный указатель
266
3

Введение
Этот курс посвящен фрактальной геометрии, науке новой, не устоявшейся и продолжающей развиваться. Слово
fractal по-английски означает дробный. Объекты, изучаемые фрактальной геометрией, давно известны в математике, однако только во второй половине XX в. их стали
систематически изучать именно с точки зрения их фрактальной природы. В 1977 г. Бенуа Мандельброт (Benoit B.
Mandelbrot) выпустил работу «Фракталы», где сформулировал понятие фрактала и фрактальной размерности. Начиная с этого момента фракталы вошли в моду и появилось множество работ, им посвященных. Фракталы исследовались как сами по себе, так и в качестве инструмента для решения прикладных задач в различных областях
человеческой деятельности, например, таких, как медицина, экономика, биология, химия, геология, вплоть до кинематографии. Математические методы при исследовании
фрактальных объектов также весьма различны. Это и топология, и комбинаторика, и линейная алгебра, и теория
вероятностей, и теория чисел, и теория функций комплексного переменного, и теория динамических систем. Предлагаемый курс затронет только некоторые вопросы фрактальной геометрии, рассмотрит весьма небольшой класс
объектов фрактальной природы и привлечет ограниченный математический аппарат для их изучения. Основная
литература, которая будет использоваться:
Ричард М. Кроновер. Фракталы и хаос в динамических
системах (М.: Постмаркет, 2000)
Michael Barnsley. Fractals everywhere (Boston: Academic
Press, 1988).
Дополнительная литература в огромном количестве имеется в интернете как в виде монографий, так и в виде ста4

тей и заметок.
Курс построен следующим образом.
Сначала рассмотрено несколько примеров классических
детерминированных фракталов, обладающих свойством самоподобия и введено понятие размерности подобия. После
краткого экскурса в топологию, введено понятие детерминированного фрактала как аттрактора — неподвижной
точки специально построенного сжимающего преобразования метрического пространства. Рассмотрен алгоритм
построения фракталов, основанный на этом определении.
Далее определена динамическая система на аттракторе,
исследованы ее свойства и предложен алгоритм построения фракталов, использующий рассмотренные свойства.
Завершает курс знакомство с понятием фрактальной размерности и различными методами ее вычисления.
При составлении иллюстраций были использованы материалы [5,6].
Автор выражает глубокую признательность С.К.Ландо
за помощь при оформлении курса и С.М.Хорошкину за
терпение и поддержку.
Прежде чем начать курс, имеет смысл сказать несколько слов о причинах популярности фрактальной теории.
Математики прошлого старались свести геометрию к простым геометрическим фигурам, а при анализе окружающего мира опирались на мощный аппарат математического анализа, дифференциальное и интегральное исчисления, методы теории функций и решения дифференциальных уравнений. Фрактальные объекты, появлявшиеся
в работах известных математиков XIX и начала XX в.,
как-то: множества Кантора, кривые Пеано, функции Вейерштрасса, множества Жюлиа, — рассматривались как паталогии и назывались монстрами. Однако в природе существует множество сложно устроенных объектов, для которых аппроксимация их гладкими функциями приводит
5

к неизбежным и, главное, колоссальным потерям, качественно искажая особенности их природы. При ближайшем рассмотрении оказалось, что именно фракталы соответствуют наиболее часто встречающимся реальным объектам в самых разных природных и человеческих системах. Обратитесь ли вы к географии — вы увидите горы,
побережья, водные системы, имеющие ярко выраженный
фрактальный характер, посмотрите на человеческий организм — устройство кровеносной системы, системы дыхания и мочеиспускания напоминают деревья с ветвистой
кроной, у которых каждая ветка подобна всему дереву, а
значит — это тоже фрактальные объекты. Даже экономические и социологические кривые, отражающие поведение
валют на биржевых торгах или состояние общественного
мнения, являются кривыми фрактального типа. Таким образом, фракталы, будучи абстрактными математическими
объектами, являются весьма удобным аппаратом для исследования окружающего нас мира.
6

Глава 1. Примеры
детерминированных фракталов
Рассмотрим несколько конкретных фракталов, давно
известных в математике и являющихся, с одной стороны,
классикой жанра, а с другой — основой всей дальнейшей
теории.
Пример первый. Канторово множество
Рассмотрим отрезок [0,1]. Выбросим из него среднюю
треть — интервал ( 1
3, 2
3). Из двух оставшихся отрезков [0, 1
3]
и [ 2
3, 1] выбросим их средние трети: ( 1
9, 2
9) и ( 7
9, 8
9), соответственно. С оставшимися четырьмя отрезками [0, 1
9], [ 2
9, 1
3],
[ 2
3, 7
9] и [ 8
9, 1] проделаем аналогичную операцию. В результате получим восемь отрезков, с которыми можно проделать то же самое. Если продолжить эту процедуру до
бесконечности, что получится в пределе? Давайте назовем
предельное множество Канторовым множеством и обозначим его буквой K.
Рис. 1: Итерации Канторова множества
Какими свойствами обладает множество K?
1. Множество K не пусто, поскольку оно содержит все
концы выброшенных интервалов, а также точки 0 и
7

1. Более того, оно несчетно, т.е. его мощность равна
континууму.
2. Мера множества K равна нулю.
3. Если рассмотреть любой сколь угодно малый отрезок
[a, b] на отрезке [0,1], то пересечение [a, b] ∩K будет
подобно множеству K.
Докажем утверждения, сформулированные выше.
Утверждение 1. Множество K несчетно.
Доказательство этого факта состоит из двух утверждений:
1) каждому элементу x множества K можно однозначно сопоставить бесконечную последовательность из нулей
и двоек, являющуюся представлением числа x в троичной
системе счисления;
2) множество бесконечных последовательностей из двух
элементов несчетно.
Докажем сначала второе утверждение: множество бесконечных последовательностей из двух элементов несчетно.
Предположим, что это не так, пересчитаны все последовательности и каждая получила свой порядковый номер. Построим новую последовательность по следующему
правилу: на первом месте у нее стоит не та цифра, что у
последовательности под номером один, на втором месте —
не та цифра, что у последовательности под номером два,
на десятом месте — не та цифра, что у последовательности
под номером десять. И так для любого знака : у новой последовательности он не совпадает с тем знаком, что стоит
под этим номером у последовательности, номер которой
8

равен номеру этого знака. Это всегда возможно. Например, если последовательности состоят из нулей и двоек и
если у k-й последовательности на k-м месте стоит ноль,
то у новой последовательности на k-е место ставим два,
и наоборот, если у k-й последовательности на k-м месте
стоит два, то у новой на k-е место ставим ноль. На каком
месте при пересчете окажется вновь построенная последовательность? Она не может быть на первом, поскольку ее
первая цифра не совпадает с первой цифрой первой последовательности, она не может быть на втором, так как
ее вторая цифра не совпадает со второй цифрой второй
последовательности, она не может быть на десятом, поскольку ее десятая цифра не совпадает с десятой цифрой
десятой последовательности, и так для любого числа k.
Эту последовательность некуда поставить, ее нельзя сосчитать, откуда следует, что множество бесконечных последовательностей из двух элементов несчетно.
Теперь вернемся к первому утверждению.
Каждому элементу x множества K можно однозначно
сопоставить бесконечную последовательность из нулей и
двоек, являющуюся представлением числа x в троичной
системе счисления.
Правило, по которому элементу x Канторова множества сопоставляется последовательность, следующее: на
первом месте последовательности стоит 0, если x принадлежит отрезку [0, 1
3], и 2, если x принадлежит отрезку
[ 2
3, 1]. На втором месте стоит 0, если x принадлежит первой трети одного из отрезков [0, 1
3] и [ 2
3, 1], т.е. отрезкам
[0, 1
9] и [ 2
3, 7
9], и 2, если x принадлежит последней трети одного из отрезков [0, 1
3] и [ 2
3, 1], т.е. отрезкам [ 2
9, 1
3] и [ 8
9, 1].
Дальнейшие 0 и 2 расставляются по тому же принципу:
если на i-м шаге, т.е. после того как i −1 раз поделили
все оставшиеся отрезки на три части и выбросили внут9

ренность второй трети у каждого, точка x принадлежит
первой трети одного из оставшихся отрезков, на i-е место
последовательности ставится цифра 0, если x принадлежит третьей трети — цифра 2. Второй трети точка x принадлежать не может, иначе она будет выброшена на i-м
шаге и не будет принадлежать множеству K.
Например, рассмотрим x =
1
11 и получим его троичное
.
Поскольку 0 ⩽x ⩽1, нас интересует последовательность цифр после запятой. В нашем примере x ⩽1
3, значит, на первом месте последовательности стоит 0. Дальше
нужно рассмотреть расположение x в первой трети отрезка [0,1], или, что тоже самое, расположение 3x в самом
отрезке [0,1]. Поскольку 3x =
3
11 ⩽1
3 — это то же самое,
что x ⩽1
9, на втором месте последовательности тоже стоит
0. Рассуждая аналогично, получаем 9x =
9
11 ⩾2
3, значит,
на третьем месте последовательности стоит цифра 2. Последнее неравенство означает, что точка x принадлежит
третьей трети на третьем шаге процедуры, или что точка
x принадлежит отрезку [ 2
27, 1
9].
Для дальнейшего деления надо рассмотреть отрезок
[ 2
27, 1
27, 1
9] как аналог исходного отрезка [0,1].
Отображение y = 27x −2 переводит отрезок [ 2
9] в
отрезок [0,1]. Рассмотрим расположение (27x−2) в отрезке
[0,1]:
11.
27x −2 = 5
Поскольку 1
3 ⩽
5
11 ⩽2
3, на четвертом месте последовательности стоит цифра 1. Расположение (3(27x −2) −1) на
отрезке [0,1] аналогично расположению точки x в соответствующем отрезке на пятом шаге процедуры.
11,
(3(27x −2) −1) = 4
10