Специальные главы математики : метод электромеханической аналогии

№ 3084 МИНИСТЕРСТВО НАУКИ и ВЫСШЕГО ОБРАЗОВАНИЯ РФ
ФЕДЕРАЛЬНОЕ ГОСУДАРСТВЕННОЕ АВТОНОМНОЕ ОБРАЗОВАТЕЛЬНОЕ УЧРЕЖДЕНИЕ ВЫСШЕГО ОБРАЗОВАНИЯ
«НАЦИОНАЛЬНЫЙ ИССЛЕДОВАТЕЛЬСКИЙ ТЕХНОЛОГИЧЕСКИЙ УНИВЕРСИТЕТ «МИСиС»

 ИНСТИТУТ ИНФОРМАЦИОННЫХ ТЕХНОЛОГИЙ И АВТОМАТИЗИРОВАННЫХ СИСТЕМ
УПРАВЛЕНИЯ

Кафедра электротехники и информационно-измерительных систем


А.Г. Петров




        СПЕЦИАЛЬНЫЕ ГЛАВЫ МАТЕМАТИКИ

МЕТОД ЭЛЕКТРОМЕХАНИЧЕСКОЙ АНАЛОГИИ



Учебное пособие



Рекомендовано редакционно-издательским советом университета


        МИСиС


Москва 2019

УДК 621.3
      П30

Рецензент канд.техн. наук, профессор Ю.Е. Бабичев




     Петров А.Г.
П30 Специальные главы математики : метод электромеханической аналогии : учеб. пособие / А.Г. Петров. - М. : Изд. Дом НИТУ «МИСиС», 2019. - 54 с.

         ISBN 978-5-907061-25-5




          Изложен метод определения четырех характеристических функций многоконтурной электрической цепи и составления с их помощью уравнений цепи, рассмотрены численные примеры, в которых расчет многоконтурной цепи сводится к расчетам независимых одноконтурных цепей.
          Приводятся также используемые в данном курсе математические сведения: из теории комплексных чисел и из теории квадратичных форм. Подробно рассматриваются примеры решения задач по этим разделам.
          Учебное пособие предназначено для студентов, обучающихся по направлениям: 09.04.01 «Информатика и вычислительная техника», 09.03.02 «Информационные системы и технологии».


УДК 621.3

ISBN 978-5-907061-25-5

© А.Г. Петров, 2019
© НИТУ «МИСиС», 2019

    Оглавление



1 Одноконтурная электрическая цепь      5

1.1 Элементы электрической цепи......    5 
1.2 Уравнение одноконтурной цепи .....   6 
1.3 Сведения из теории комплексных чисел 7 
1.4 Метод комплексных амплитуд......     9 
1.5 Собственные колебания..........      11
1.6 Резонанс ..................          14
1.7 Расчет одноконтурной цепи .......    16

2  Метод электромеханической аналогии 18
   2.1 Характеристические функции элементов электрической цепи..................... 18
   2.2 Определение характеристических функций в многоконтурных цепях переменного тока.............................. 19
   2.3 Составление системы дифференциальных уравнений.......................... 20

3  Расчет общих характеристик цепи          22
   3.1 Расчет общего сопротивления........ 22
   3.2 Расчет общей индуктивности ........ 25
   3.3 Расчет общей емкости............... 26

3

Квадратичные формы от двух переменных                                       28
   4.1 Матрица квадратичной формы........    28
   4.2 Приведение квадратичной формы к диагональному виду....................... 29
   4.3 Приведение двух квадратичных форм к диагональному виду.................... 31
   4.4 Уравнения нормальной формы и их решение ................................ 34

5  Расчет двухконтурных цепей                34
   5.1 Алгоритм расчета цепи без питания . . 34
   5.2 Алгоритм расчета вынужденных колебаний без сопротивлений................. 37
   5.3 Алгоритм расчета амплитудночастотной характеристики в цепи с сопротивлениями....................... 38

6  Задачи для самопроверки                   40
   6.1 Задачи к гл. 1....................... 40
   6.2 Задачи к гл. 4. Квадратичные формы . 43
   6.3 Задачи к гл. 5. Расчет двухконтурных цепей ................................ 46

4

    1.  Одноконтурная электрическая цепь


1.1. Элементы электрической цепи
  К числу важнейших деталей, из которых конструируются электрические приборы, принадлежат резистор (сопротивление), катушка индуктивности и конденсатор (емкостной элемент). Каждая из этих деталей является двухполюсником, т. е. обладает двумя контактами, которые при монтировании цепи присоединяются к полюсам других деталей. Во время работы электроприбора через двухполюсник ab, вмонтированный в этот прибор, проходит электрический ток, и при этом электрическое состояние двухполюсника характеризуется в каждый момент времени t двумя величинами: силой тока Iₐb, идущего от полюса a к полюсу b, и разностью потенциалов в полюсах pa - Pb = Uab, называемой напряжением.


Фа ^7 Ф* <ра ^1 фй Фа==»7 Ф₄
О---1  >--о     О---LAAAJ-о     о----1 |--о
a R b a Lb а С ь
.         а                 б



в

Рис. 1.1. Элементы электрических цепей: R - резистор, L -индуктивность и C - емкость


5

  1)        Для двухполюсника (рис.1.1, а), представляющего собой сопротивление, разность потенциалов и ток связаны соотношением


Vₐ - Vb = RI (закон Ома).


  2)        Для двухполюсника       (рис. 1.1, б),


представляющего собой индуктивность, соотношение


следующее:


Va ⁻ Vb = L~i7. dt


  3)        Для двухполюсника, представляющего собой емкость соотношение с напряжением (рис. 1.1, в), связывается заряд q на обкладках конденсатора


q = C(Va - Vb).


  Изменение заряда создает ток I = dq.


1.2. Уравнение одноконтурной цепи


Контур изображенный на рис. 1.2 состоит из четырех элементов:         индуктивность,
сопротивление, емкость и внешний источник питания е. Запишем разности потенциалов на трех


Рис. 1.2. Одноконтурная цепь

6