Решебник. Теоретическая механика

        РЕШЕБНИК




Под редакцией профессора А.И. Кириллова


























Edu XXI

М.Н. Кирсанов



Статика Кинематика Динамика Решения в системе MAPLE V



Издание второе, исправленное












МОСКВА _ физматлиТ 2008

УДК 531(075.8)
ББК 22.21
      К43

    К и р с а н о в М. Н. Решебник. Теоретическая механика. / Под ред. А.И. Кириллова. — 2-е изд., исправ. — М.: ФИЗМАТЛИТ, 2008. — 384 с. — ISBN 978-5-9221-0748-8.

    Изложены алгоритмы и примеры решения задач статики, кинематики и динамики из курса теоретической механики, изучаемого в технических вузах.
    Каждой задаче отведен отдельный раздел, содержащий общую постановку задачи, план ее решения с необходимыми теоретическими пояснениями и пример. Кроме того, в раздел включены десять задач для самостоятельного решения и ответы к ним. Разобраны характерные ошибки и даны ответы на типичные вопросы, возникающие при решении задач. Приведены программы решения некоторых задач в системе Maple V. Книга может быть использована как при очной, так и при дистанционной формах обучения.
    Для студентов и преподавателей технических вузов.
    Первое издание — 2002 г.

ISBN 978-5-9221-0748-8

(О ФИЗМАТЛИТ, 2002, 2008
(О М. Н. Кирсанов, 2002, 2008

ОГЛАВЛЕНИЕ



ПРЕДИСЛОВИЕ ........................................ 8


I.   СТАТИКА........................................ п

Глава 1. ПЛОСКАЯ СИСТЕМА СХОДЯЩИХСЯ СИЛ . 14
1.1. Простая стержневая система ................... 14
1.2. Равновесие цепи............................... 21
1.3. Теорема о трех силах.......................... 26
Глава 2. ПРОИЗВОЛЬНАЯ ПЛОСКАЯ СИСТЕМА СИЛ 31
2.1. Равновесие тяжелой рамы....................... 31
2.2. Ферма. Аналитические методы расчета........... 37
2.3. Ферма. Графический расчет..................... 45
2.4. Расчет составной конструкции.................. 54
2.5. Конструкция с распределенными нагрузками...... 61
2.6. Расчет системы трех тел, соединенных шарниром. 67
Глава 3. РАВНОВЕСИЕ ПРИ НАЛИЧИИ ТРЕНИЯ ... 74
3.1. Трение скольжения............................. 74
3.2. Трение качения................................ 80
Глава 4. ПРОСТРАНСТВЕННАЯ СИСТЕМА СИЛ ... 86
4.1. Пространственная ферма........................ 86
4.2. Момент силы относительно оси.................. 91
4.3. Равновесие вала............................... 94
4.4. Определение усилий в стержнях, поддерживающих плиту . . 101
4.5. Тело на сферической и стержневых опорах.......106
4.6. Приведение системы сил к простейшему виду ....111
Глава 5. ЦЕНТР ТЯЖЕСТИ.............................118
5.1. Центр тяжести плоской фигуры..................118
5.2. Пространственная стержневая система ..........122
5.3. Центр тяжести объемного тела..................125

ОГЛАВЛЕНИЕ

п.   КИНЕМАТИКА......................................129

Глава 6. КИНЕМАТИКА ТОЧКИ ...........................131
 6.1. Движение точки в плоскости.....................131
 6.2. Путь, пройденный точкой........................136
 6.3. Движение точки в пространстве..................137
 6.4. Естественный способ задания движения точки.....140
 6.5. Движение точки в полярных координатах..........144
Глава 7. ВРАЩАТЕЛЬНОЕ ДВИЖЕНИЕ ТЕЛА .................149
 7.1. Вращательное движение тела.....................149
 7.2. Передача вращения..............................152
Глава 8. ПЛОСКОЕ ДВИЖЕНИЕ ТЕЛА ......................158
 8.1. Скорости точек многозвенного механизма.........158
 8.2. Ускорения точек многозвенного механизма........170
 8.3. Уравнение трех угловых скоростей...............179
 8.4. Уравнение трех угловых ускорений...............183
 8.5. Кинематические уравнения плоского движения.....188
Глава 9. СЛОЖНОЕ ДВИЖЕНИЕ ТОЧКИ .....................195
 9.1. Сложное движение точки в плоскости.............195
 9.2. Сложное движение точки в пространстве..........202
 9.3. Движение точки по звену механизма..............209
 9.4. Механизм с муфтой..............................216
Глава 10. СФЕРИЧЕСКОЕ ДВИЖЕНИЕ ТЕЛА .................222
 10.1. Скорость и ускорение точки тела...............222

III. ДИНАМИКА .......................................226

Глава 11. ДИНАМИКА ТОЧКИ ............................228
 11.1. Постоянные силы...............................228
 11.2. Переменные силы...............................232
Глава 12. ДИНАМИКА СИСТЕМЫ...........................236
 12.1. Теорема о движении центра масс................236
 12.2. Кинетическая энергия механической системы ....241
 12.3. Теорема об изменении кинетической энергии.....247
 12.4. Теорема о моменте количества движения системы.253
 12.5. Динамический расчет механизма с неизвестным параметром 257

ОГЛАВЛЕНИЕ

7

 12.6. Плоское движение системы .......................266
 12.7. Динамические реакции в подшипниках ротора.......272
Глава 13. АНАЛИТИЧЕСКАЯ МЕХАНИКА.......................279
 13.1. Принцип возможных скоростей.....................279
 13.2. Общее уравнение динамики (одна степень свободы).288
 13.3. Общее уравнение динамики (две степени свободы) .294
 13.4. Уравнение Лагранжа 2-го рода (две степени свободы) .... 300
 13.5. Уравнение Лагранжа. Нелинейные уравнения движения . . . 307
 13.6. Уравнение Лагранжа 2-го рода для консервативных систем . 318
 13.7. Функция Гамильтона..............................324
 13.8. Уравнения Гамильтона............................326
Глава 14. МАЛЫЕ КОЛЕБАНИЯ СИСТЕМЫ......................336
 14.1. Система с двумя степенями свободы...............336
 14.2. Колебания узла фермы............................343


IV. РЕШЕНИЯ В СИСТЕМЕ MAPLE V .... 349

Глава 15. ПРОГРАММЫ ПО    СТАТИКЕ .....................350
 15.1. Расчет фермы....................................350
 15.2. Центр тяжести плоской фигуры....................355
Глава 16. ПРОГРАММЫ ПО    КИНЕМАТИКЕ ..................358
 16.1. Кинематика точки................................358
 16.2. Механизм с двумя степенями свободы..............361
 16.3. Скорости точек плоского механизма...............364
Глава 17. ПРОГРАММЫ ПО ДИНАМИКЕ........................368
 17.1. Принцип возможных скоростей.....................368
 17.2. Динамика машины с кулисным приводом.............370
 17.3. Колебания системы с двумя степенями свободы.....373
 СПИСОК ЛИТЕРАТУРЫ.....................................375
ИМЕННОЙ И ПРЕДМЕТНЫЙ УКАЗАТЕЛЬ.........................377

 ПРЕДИСЛОВИЕ




   Теоретическая механика — одна из важнейших дисциплин в техническом вузе. Решение задач по этой дисциплине всегда представляет определенную трудность для студента. Вызвано это многообразием тем или обилием уравнений и теорем, множеством методов, уровнем абстракции при решении задач или какими-либо другими причинами — неизвестно. Скорее всего, для студентов младших курсов все эти факторы вместе приводят к тому, что, по общему мнению, теоретическая механика, наряду с математикой и сопротивлением материалов, считается в технических вузах наиболее сложной дисциплиной.
   При столкновении с трудной задачей лучшим помощником для студента, самостоятельно изучающего науку, является книга. По теоретической механике существует много учебников. Можно рекомендовать, например, изданный большим тиражом краткий курс Тарга С.М. [26]. Очень хорошо подходит для технических вузов учебник [5]. В этих учебниках и во многих других после изложения теории дается несколько примеров решения задач. Ознакомление с готовыми решениями — один из способов обучения, но не самый лучший. Если ставить перед собой цель научиться решать задачи (а не решить вот эту — конкретную задачу), то лучше всего овладеть секретами мастерства: алгоритмами и схемами решений, методами и специальными приемами. РЕШЕБНИК “Теоретическая механика” ставит перед собой именно такую цель. Продолжая традиции РЕШЕБНИКА “Высшая математика” [13] и РЕШЕБНИКА “Высшая математика.

   *) В сети Интернет существуют специальные страницы, где приводятся готовые решения заданий и задач по теоретической механике. Форма и содержание таких решений часто не удовлетворяют самым скромным запросам, не говоря уже о том, что научить они мало чему смогут.

Специальные разделы” [2], в книге даны, во-первых, четкая постановка задачи, во-вторых, конкретный план действий и, наконец, пример решения задачи по этому плану. В качестве примеров взяты задачи из сборника задач Мещерского И.В. [20] или задачи близкие к ним. В конце каждого параграфа приведены десять задач, которые могут быть решены студентами самостоятельно, а некоторые, наиболее сложные, соответствуют по уровню курсовым работам. За образец для таких работ взяты задания из сборников Яблонского А.А. [24] и Новожилова И.В., Зацепина М.Ф. [21].
   Ко всем задачам даны не только ответы, но и, как правило, промежуточные результаты. Это упрощает проверку решения.
   Там, где это необходимо, после решения задачи даются ответы на характерные вопросы, возникающие у студентов в процессе решения. За двадцать пять лет преподавания теоретической механики автор накопил достаточное число таких вопросов. Даны также предостережения о возможных ошибках в решении задач.
   В последней части РЕШЕБНИКА приведены примеры решения задач с использованием универсальной математической системы Maple, позволяющей решить задачу в аналитическом виде и изобразить исследуемое явление, например, движение механизма, на экране компьютера. Программы написаны для версии Maple 8, однако их без изменения можно использовать и в более новых версиях (9, 9.5 и 10). Алгоритмы, использованные в программах, применимы и для других систем аналитических вычислений, таких как Mathcad [22] и Mathe-matica [11].
   Полные тексты приведенных здесь программ и программы для решения других задач теоретической механики с примерами, подробными пояснениями и графическим представлением результатов можно найти на авторской странице http://vuz.exponenta.ru, на сайте www.AcademiaXXi.ru и сайте кафедры теоретической механики и ме-хатроники МЭИ(ТУ) http://termech.mpei.ac.ru. Здесь же для преподавателей теоретической механики расположены наборы задач для контрольных и курсовых работ с ответами по всем представленным в РЕШЕБНИКЕ темам в формате PDF. По каждой теме имеется 10 наборов с 30 вариантами задач в наборе. Многие задачи сопровождаются gif или Flash анимированными иллюстрациями. Тексты условий задач с ответами созданы специально разработанной автором программой-генератором. В программе имеется более 60 тем статики, кинематики и динамики. Тексты задач и рисунки в формате IATjtX, PS или PDF могут быть использованы для очного и дистанци

онного обучения. Программа содержит сотни тысяч вариантов задач и более десяти лет используется автором в его педагогической работе. По десять задач из почти всех разделов программы-генератора приведены в этой книге в качестве примеров.
   Ссылка на РЕШЕБНИК “Высшая математика” обозначена как Решебник ВМ с указанием соответствующего параграфа.
   Во втором издании содержание книги не изменилось. Устранены только отдельные опечатки и неточности, обнаруженные в первом издании.
   Автор благодарен Мартыненко Ю.Г. за первое прочтение рукописи и советы, студентам МЭИ (ТУ), обнаружившим опечатки, Козинцевой М.Б. за методические рекомендации. Особая благодарность редактору серии Кириллову А.И. за помощь в работе.

   Адрес для замечаний и предложений:
   111250 Москва, ул. Красноказарменная, д. 13, Московский энергетический институт (ТУ), кафедра теоретической механики и ме-хатроники.
   E-mail: mpei2004@yandex.ru.

 Часть I



 СТАТИКА




   В статике изучается равновесие тел под действием сил и свойства систем сил, необязательно находящихся в равновесии.
   Задачи статики можно условно разделить на три типа: задачи на равновесие системы сходящихся сил, т.е. сил, линии действия которых пересекаются в одной точке (глава 1), задачи произвольной плоской системы сил (главы 2,3) и задачи пространственной системы сил (глава 4).
   Нахождение координат центра тяжести (глава 5) тоже считается задачей статики. Хотя силы в этой задаче явно не присутствуют, основные формулы задачи следуют из уравнений равновесия системы параллельных сил.
   Искомыми величинами в задачах статики могут быть реакции опор, усилия в элементах конструкций, геометрические (размеры, углы) и материальные (вес, коэффициент трения) характеристики систем. В статически определимых задачах число уравнений равновесия совпадает с числом неизвестных. Именно такие задачи и будут рассмотрены в этой части.
   Для решения задач статики потребуются понятия проекции силы на ось и момента силы относительно точки и оси. Напомним, что проекция вектора силы F на ось х определяется по формуле F = F cos а, где а — угол между положительным направлением оси и вектором силы, отсчитываемый против часовой стрелки. Если угол острый, то проекция положительная, если тупой — отрицательная.
   Общее определение момента Мо силы F относительно точки О дается векторным произведением
Mₒ(F)=r₀xF,                        (1)
где г₀ — радиус-вектор точки приложения вектора силы относительно точки О. Модуль момента вычисляем по формуле MO(F) = r₀F sin7,