Алгебра и геометрия. Раздел : общая алгебра

№ ^551 

московский ГОСУДАРСТВЕННЫЙ ИНСТИТУТ СТАЛИ и СПЛАВОВ 
(ТЕХНОЛОГИЧЕСКИЙ УНИВЕРСИТЕТ) 

Кафедра математики 

Фоменко Т.Н., Кашапов И.А., Кашапова Ф.Р. 

Одобрено Методическим 
советом института 

Алгебра и геометрия 

Раздел: Общая алгебра 

Учебное пособие 

Москва 2000 

Аннотация 

Данное пособие предназначено для студентов факультета 
ИиЭ, изучающих курс общей алгебры. Оно представляет собой сборник задач и является дополнением к учебному пособию Т.Н.Фоменко 
по курсу лекций. Задачи данного пособия могут быть использованы 
на практических занятиях, в контрольных работах и домашних заданиях по данному курсу, для этого некоторые типовые задачи имеют 
много вариантов. Некоторые задачи придуманы авторами, но большинство задач мы почерпнули из приведенной в конце пособия литературы. Каждый раздел содержит необходимые определения и теоретические сведения, достаточные для решения задач. 

Алгебра и Геометрия. 

Содержание 

1 
Множества. Отошения 
•• — 
... ... 
.. 
—. 4 

Задачи к теме I 
• ... 
8 

2 
Специальные бинарные отношения 
15 

Задачи к теме 2 
17 

3 
Мощности, (к^динальные числа) • 
- 
• 
29 

Задачи к теме 3 
30 

4 
Действия над кардинальными числами 
35 

Задачи к теме 4 
. . 
. , , . • • 
36 

5 
Монотонные отображения. Линейно и вполне упорядоченные множества 
39 

Задачи к теме S 
40 

6 
Порядковые типы. Ординалы 
. • 
. 
• --.- .• - 
— 44 

Задачи к теме б 
. 
. 
-. 46 

7 
Нечеткие множества и отношения 
- 
' 
•. 
•' • 
••- 51 

Задачи к теме 7 
• •. 
51 

8 
Алгебраические системы 
52 

Задачи к теме 8 
. 
•. 
57 

9 
Полугруппы 
•• 
• 
— 
..•• • 
68 

Задачи к теме 9 
70 

10 
Группы 
: 
75 

Задачи к теме 10 
• .•• 
•...- • .• 
—•— - 
— 
84 

И 
Гомоморфизкш, зндоморфюмы, автоморфизмы групп 
113 

Задачи к теме 11 
114 

12 
Отношение сопряженности в группах. Центр • • 
• 
•— 
121 

Задачи к теме 12 
' 
122 

13 
Периодические группы. р^т)у1шы 
• 
127 

Задачи к теме 13 
128 

14 
Коммутант. Разрешимые группы 
132 

Задачи к теме 14 
• 
133 

15 
Прямые тфоизведения и прямые суммы 
137 

Задачи к теме Iб 
•- 
• 
137 

К 
Конечные абелевы группы. Задачи 
140 

17 
Образующие элементы. Задание группы образующими 
Элементами и oгqpeдeляющими соотношениями. Задачи 
•• 143 

18 
Представления грутт 
148 

Задачи к теме 18~ 
. 
"•• 
150 

19 
Кольца, поля 
152 

Задачи к теме 19 • 
158 

20 
Решепси 
"•' • 
• 
• 
-•• . • • 
181 

Задачи к теме 20- .'. •• 
••'— 
•• 
184 

ЛИГГЕРАТУРА 
194 

Кашапов И.А., Кашапова Ф.Р., Фоменко Т.Н. 

1. Множества. Отношения 

Через е обозначается отношение принадлежности, х еА 
означает, что элемент лг принадлежит множеству/4. 

Связка л означает "и", v означает "или", -i(p означает "не ^ 

(отрицание <р). Знак => означает, что из формулы, написанной слев; 
от этого знака, следует формула, написанная справа от него. Знак 
О означает, что формулы, написанные по обе стороны от него, эквивалентны. Знак V называется квантором всеобщности, означает 
"любой, всякий, каждый". Знак 3 называется квантором существования, означает "существует, найдется хотя бы один". Например 
формула Х/дгЗуС^ ^ ;с) означает; "для любого Х существует хотя бь 
один у такой, что у^х". 

Ас В {А - подмножество 5) означает: Ух(х еА=>х GB) . 
Р(А) - множество всех подмножеств А . 
Будем говорить, что множества А и В равны, если состоят и: 
одних 
и 
тех 
же 
элементов. 
Другими 
словами 
A = 
BoWx(xeA<::>xeB)oAQBAB^A. 

АС-В<=>А^ВАА*В 
(А- собственное подмножество В). 

0 - обозначает пустое множество, т.е. не содержащее ни одного элемента. 

{aj,...,а„} - множество, состоящее из элементов а^,...,а„. 
{д: 6 У4 I ф(дс)} - множество всех элементов множества А, для 
которых выполняется формула (высказывание) ф(д:). 

Объединением множеств А иВ называется множество A'uB, 
такое что (x€i4uj?)<:>jfey4vxe5. 

Объединением семейства множеств Af (/ el, I - множестве 

индексов) назьюается множество и Af, такое что 

Алгебра и Геометрия. 

X е U / 1 , 0 (3/ е /)(х е У4, ). 
(б/ 

Пересечением множеств А и В называется множество 
АглВ, 
такое что ( х е ^ п В ) с : > х е / 4 л х е В , . 

Пересечением семейства множеств /4,(/ е/) называется множество \\ Aj , такое что 

16/ 
X G п Л , о (V/ е /)(х е .4,). 

Разностью множеств А 
и 
В называется 
множество 
А\В={хеА\хйВ}. 

Если фиксировано некоторое универсальное множество U, то 
для любого его подмножества В разность U\B 
называется дополнением множества В и обозначается В' (или \В, или -В). 

Через N, Z, Q, R и С обозначим, соответственно, множества 
всех натуральных, целых, рациональных, действительных и комплексных чисел. В теории множеств и математической логике принято 
считать 
О натуральнь»! 
числом, 
поэтому 
всюду 
ниже 
N={0,1,2,3,...}. 

Через (а,,...,йг„) обозначается упор'ядоченный набор элементов а,,..., а„. В частности, (а, 6)-упорядоченная пара элементов. 

Прямы.» (или декартовым) произведением упорядоченной совокупности 
множеств 
А^,...,А„ 
называется 
множество 

Ax...xA„=-{{ay,...,a„)\aieA^,...,a„eA„} 
. 

Если Ai=...= А„ = А, то множество AiX...xA„ называется 

п-ой степенью множества А и обозначается через А". 

Бинарным отношением между элементами множеств А и В 
называется любое подмножество а множества Ах В. Если А = В ,то 
отношение а называется бинарным отношением на А. Вместо 
{х,у) еа часто пишут 
хау. 

5 

Кашапов И.А., Кашапова Ф.Р., Фоменко Т.Н. 

Поскольку бинарные отношения являются множествами, то 
для них обычным образом теоретико-множественные операции объединения, перечисления и т.д. Бинарные отношения называются равными, если они равны как множества. 

Дополнением бинарного отношения а называется множество 

а'=(,А^В)\а 
Обратным отношением (или инверсией) для бинарного отношения а называется множество 

Произведением отношений ас. Ах В и р с 5 х С называется 
отношение 
a*p = ^x,y(|3s((x,s)eaA(s,y)ep)} а^ = а а , а ' =а^ а 

Конечное отношение а = { } будем записывать также в елеГа,..м, ^ 

K^i-Kj 
дующем виде: а = 

Отношение/называется отображением (или функцией) из А в 
В если 

\){VxeA){3yeB'){{x,y)€f), 
2) {VxeA'py^,y2 
eB){{x^y^)efл{x^y^)ef=>y,=y-,) 

Если /-отображение, то пишем /(х) = у вместо {х,у) е / . 
/:а-^Ь 
обозначает, что /(й) = b. 
f:A~*B 
обозначает, что / - отображение из А в В. 
Для любого множества А определили тождественную функцию i^: А-^ А следующим образом: i^(x) = x. Другими словами, 

/^ = {(jc,x)| X еА]- бинарное отношение на множество А\ называется также диагональю прямого произведения Ах А. 

Алгебра и Геометрия. 

Отображение f из А в В называется инъективным, если 
(^,x^eA){VyeB)(f{x,)^yAf(x:,) 
= y^x,=X2). 

Отображение f 
т А в В называется сюръективным, если 
{WyeB){3xeA){f{x) 
= y). 

Отображение / из Л в В называется биективным или биекцией, если оно является инъективным и сюръективным одновременно. 

Множество всех отображений из -<4 в В обозначается В . 
Сокращение njm означает, что тп делится на п без остатка. 

Кашапов И А Кашапова Ф Р Фоменко Т Н 

Задачи 

1 1 Доказать следующие тождества 

1) А<оА = АпА = А; 
2) АпВ = ВпА 
3) AUB 
= 
BKJA, 

4) 
Ап{ВпС}=:{АпВ)пС, 

5) AU{BUC) 
= 
{AKJB)UC, 

6) 
Ап{ВиС):={АпВ)^{АпС) 

7) A^j{BnC) 
= 
(AiJВ}п{А^С); 

8) {AKJВ)п 
А = {АпВ)^ 
А =: А , 

9) А^0 
= А, 

10) Ап0 = 0 

1 2 Доказать 

1) 
A^BQC<^AQCABQC, 

2) 
AQBnC<:>AQBAA^C, 

3) ( Л \ 5 ) и В = Л о 5 е у 4 . 
4) {АпВ)<иС = 
Ап(ВиС)<^СсА, 

5) y 4 c 5 = > v 4 u C s 5 u C , 
6) ^ £ 5 = > y i n C s 5 ' ^ C ; 
7) 
AQB=>{A\C)Q{B\C), 

8) ^c5=>(C\5)s(C\y4), 
9) АиВ = АГ\В=>А = В 

1 3 Доказать, что для любых а, Ь, с, d выполняется 
{{а},{а,б}} = {{с},{с,йГ}}оа = слг» = ^ 

Алгебра и Геометрия. 

1.4. Какие из утверждений верны для всех множеств А, В, С 7 
\) 
АеВлВеС=>АеС; 

2) 
АсВАВеС=>АеС; 

3) 
АеВлВ^С=>АеС; 

4) 
АФВАВФС^А^С. 

1.5. Найти все подмножества множеств 0, |0}, {дг}, {1,2} 

1.6. Доказать, что множество из п элементов имеет 2" под 
множеств. 

1.7. Сколько подмножеств из к элементов имеет множество из 
п элементов {к <, п)"^ 

1.8. Доказать: 

1) Р(АпВ) = Р(А)пР(В); 

2)р(пА^ 
= пР{А,), 

2) P{A<JB)= 
{Ai ^BilAieP{A)ABie 
P(B)}. 

1.9. Доказать: 
l)iVtBT)(A,QB)-^KjA,^B; 

itT 

2) {\ft еТ){Вс A,)-* ВQ n A,; 

:ньшее 

все множества A,; 
4) n A. есть наибо 

leT 

BO всех множествах A,. 

3) u A, есть наименьшее (по включению) множество, содержащее 

/6 г 

4) О А, есть наибольшее (по включению) множество, содержащееся 

teT 

Кашапов И.А„ Кашапова Ф.Р., Фоменко Т.Н. 

1.10. Для всякого действительного числа х обозначим через 
Л/_ множество всех действительных чисел, больших х. Найти 

1) W М • 

xeR 

2) 
Г^М-, 

xeR 

1.11. Пусть Л/„ - множество всех натуральных чисел, делящихся на п, A = 1S\{0}; Найти: 
1) М„ о М„ для натуральных чисел и и ш; 
2) и М „ ; 
пеА 

3)пЛ/„. 
пеА 

1.12. Выписать все элементы декартова произведения трех 
множеств: 

Л/, =(-U);A/2 = {a,b,c},Mi = {а} . 

1.13. Для данного отношения а найти: 

-I 
2 
-1 
-I 

а . а ' . а а 
,а 
а, 
1) а = 
{{х,у)\х,уе^,хд.слшу}; 

2)а = {{х,у)\х,уеК,х 
+ у<0}; 

3) 
а:={{х,у)\х,у&К,4х^5у}; 

4)а = 
\{х,у)\х,у^ 

2'2 л sin х^ sin J/> . 

10