Высшая математика : элементы тензорной алгебры

УДК 514.743 

Ф 76 

Ф 76 Фоменко Т.Н. Высшая математика: Элементы тензорной 
алгебры: Учеб.-метод. пособие – М.: МИСиС, 2001.– 45 с. 

Пособие содержит в краткой, но доступной форме практически 
весь необходимый теоретический материал по разделу «Тензорная алгебра» 
дисциплины «Алгебра и геометрия».  

Для успешного освоения основных понятий этой темы и развития 
необходимых навыков обращения с тензорами студенты, согласно 
учебному плану, должны выполнить контрольную работу по тензорной 
алгебре и сдать преподавателю отчет. Требования к оформлению отчета 
содержатся в конце данного пособия.  

Пособие может быть полезно как студентам, так и преподавателям. 
Предназначено для студентов факультета ИиЭ, а также может быть 
использовано для студентов факультетов ФХ, ПМП и других, в чьи учебные 
планы входит изучение тензорной алгебры. 

© Московский государственный 
институт стали и сплавов 
(Технологический университет) 
(МИСиС), 2002 

ФОМЕНКО Татьяна Николаевна 

ВЫСШАЯ МАТЕМАТИКА 

Элементы тензорной алгебры 

Учебно-методическое пособие 
для студентов специальности 0730, 2202, 3514 

Рецензент доц., канд. физ.-мат. наук В.В. Шихеева 

Редактор С.В. Фролова 

Компьютерная верстка Т.Д. Насущновой 

ЛР № 020777 от 13.05.98 

Подписано в печать 24.01.02 
Бумага офсетная 

Формат 60 × 90 1/16 
Печать офсетная 
Уч.-изд. л. 1,76 

Рег.  № 531 
Тираж 400 экз. 
Заказ 1063 

Московский государственный институт стали и сплавов, 
119991, Москва, Ленинский пр-т, 4 

Издательство «Учеба» МИСиС 
117419, Москва, ул. Орджоникидзе, 8/9 
Тел.: 954-73-94, 954-19-22 

Отпечатано в типографии Издательства «Учеба» МИСиС, 
117419, Москва, ул. Орджоникидзе, 8/9 
ЛР №01151 от 11.07.01 

ОГЛАВЛЕНИЕ 

ПРЕДИСЛОВИЕ ..................................................................................................4 
1. ТЕОРЕТИЧЕСКИЕ СВЕДЕНИЯ ....................................................................5 

1.1. Сопряженное линейное пространство V*, ковекторы,  
двойственный базис .........................................................................................5 
1.2. Функциональное определение тензора типа (p; q),  
его компоненты ................................................................................................6 
1.3. Правила записи индексированных выражений, принятые  
в тензорной алгебре..........................................................................................7 
1.4. Векторы и линейные операторы как тензоры.........................................7 

1.5.Линейное пространство 
, его стандартный базис.............9 
)
(V
T
T
q
p
q
p =

1.6. Линейные операции над тензорами в координатной форме ...............11 
1.7. Произведение тензоров (тензорное умножение), элементы 

стандартного базиса 
 как тензорные произведения........................11 
)
(V
T
q
p

1.8. Тензорное произведение линейных пространств.................................12 
1.9. Изменение базиса в основном пространстве V  
и соответствующее изменение двойственного базиса в пространстве V*.........13 
1.10. Преобразование координат тензора при изменении базиса ..............14 
1.11. Классическое координатное определение тензора типа (p; q) ..........16 
1.12. Правила записи координат тензоров в матричной форме .................16 
1.13. Свертки тензоров. Типы сверток .........................................................18 
1.14. Симметрирование и альтернирование тензоров.................................20 
1.15. Симметрическое и внешнее произведения тензоров .........................24 

1.16. Пространства 
 и 
 симметрических тензоров, их базисы........26 
p
S
p
S

1.17. Пространство 
p
Λ
 p-форм и пространство 
q
Λ  q-векторов, их 

базисы..............................................................................................................31 
1.18. Метрический тензор. Тензоры над евклидовым  
пространством. Поднятие и опускание индексов у координат 
тензора.............................................................................................................36 

2. Контрольная работа «АЛГЕБРАИЧЕСКИЕ ОПЕРАЦИИ НАД 
ТЕНЗОРАМИ»....................................................................................................40 

2.1. Образец распечатки с условиями заданий ............................................40 
2.2. Список заданий........................................................................................41 
2.3. Указания к выполнению заданий и оформлению работы ...................42 

ЛИТЕРАТУРА....................................................................................................43 

 
3 

ПРЕДИСЛОВИЕ 

Данное пособие содержит практически весь необходимый 
материал для освоения темы «Тензорная алгебра» курса «Алгебра и 
геометрия», читаемого автором студентам групп ММ, МА, МИ, МП, 
ПМ факультета Информатики и Экономики (ИиЭ) в течение многих 
лет.  

В разделе 1 изложены необходимые теоретические сведения 
в объеме утвержденной программы курса «Алгебра и геометрия». 
Все основные утверждения приведены с доказательствами. Новые 
понятия и операции разъяснены на примерах. Некоторые простые 
утверждения предложены читателям в виде самостоятельных упражнений для лучшего усвоения того или иного понятия. 

В разделе 2 приведена контрольная работа по теме «Алгебраические операции над тензорами» указания по ее выполнению. 

В разделе 3 представлен список литературы – отдельно учебники и задачники. 

Автор надеется, что пособие окажется полезным как студентам, так и преподавателям. Кроме факультета ИиЭ, пособие может 
быть использовано также на  факультетах ФХ, ПМП и других, в чьи 
планы входит изучение в том или ином объёме темы «Тензорная алгебра». 

Автор благодарит старшего преподавателя кафедры математики Елену Леонидовну Плужникову за совместное обсуждение содержания контрольной работы. Программное обеспечение для контрольной работы «Алгебраические операции над тензорами» выполнил студент факультета ИиЭ Денис Масленников, которому автор 
также выражает свою благодарность. Автор искренне благодарит рецензента пособия доцента кафедры кибернетики Валерию Владимировну Шихееву и редактора Светлану Вивкторону Фролову. Их ценные замечания и пожелания позволили улучшить изложение материала. 

Т.Н.ФОМЕНКО  

1. ТЕОРЕТИЧЕСКИЕ СВЕДЕНИЯ 

1.1. Сопряженное линейное пространство V *, 
ковекторы, двойственный базис 

Пусть V – n-мерное вещественное линейное пространство. 
Его элементы мы будем иногда называть векторами, как это принято 
в литературе по тензорной алгебре. Функция 
R
V →
ϕ:
 называется 
линейной (или линейным функционалом), если для всех x, y из V и 
любого вещественного  числа λ выполнены следующие условия: 

).
(
)
(
),
(
)
(
)
(
x
x
y
x
y
x
λϕ
=
λ
ϕ

ϕ
+
ϕ
=
+
ϕ
 
(1) 

Такие линейные функции называют линейными формами или 
ковекторами (над пространством V).  

Множество V* всех линейных форм на V с естественными 
операциями сложения и умножения на вещественные числа является 
линейным пространством той же размерности n и называется пространством, сопряженным к V. 

Пусть 
)
...,
,
( 1
ne
e
=
B
 – произвольный базис в V. Поставим 

ему в соответствие семейство ковекторов 
)
...,
,
( 1
*
n
e
e
=
B
, определяемых (однозначно!) условиями: 

 
 
(2) 

⎩
⎨
⎧
=
≠
=
δ
≤
≤
δ
=
.
,1
,
,0
где
,
,
1
,
)
(
k
i
k
i
n
k
i
e
e
k
i
k
i
i
k

УПРАЖНЕНИЕ 1. Проверьте самостоятельно, что построенное семейство B* является базисом сопряженного пространства V*. Этот базис на
зывается двойственным базисом к базису B основного линейного пространства V.  

Заметим, что если 
, то 
 Таким 
образом, элементы двойственного базиса – это просто координатные 
функции.  

k
ke
x
x =
m
k
k
m
m
x
e
x
e
x
e
=
=
)
(
)
(
.

 
5