Дискретная математика и формальные системы. Раздел : позиционные системы счисления

№1523 

МОСКОВСКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ ИНСТИТУТ СТАЛИ И СПЛАВОВ 
(ТЕХНОЛОГИЧЕСКИЙ УНИВЕРСИТЕТ) 

Кафедра автоматизированных систем управления 

Прокопчук Ю.Ю., Широков А.И. 

Одобрено Методическим 
советом института 

Дискретная математика 
и формальные системы 

Раздел: Позиционные системы счисления 

Методические указания 

для студентов специальностей 002202,000718 

Москва 1999 

АННОТАЦИЯ 

В пособии приведен разбор решений задач из контрольных 
работ по теме "Позиционные системы счисления". Перечень формулировок задач приведен в [ 6 | С методами решения задач студенты 
знакомятся на аудиторных занятиях и при чтении учебной и справочной литературы, список которой указан в конце пособия. 

Библиография: 6 названий. 

© Московский 
государственный 
институт 
стали 
и 
сплавов 
(МИСиС), 1999. 

Прокопчук Ю Ю , Широков А.Л. 

РАЗБОР РЕШЕНИЙ ЗАДАЧ ИЗ ВАРИАНТОВ 
КОНТРОЛЬНЫХ РАБОТ 

Вариант 1 

Задача I. Найти двузначное 10-е число, равное сумме квадрата 
числа своих единиц и числа десятков 

ОТВЕТ 89. 

Решение 

Пусть искомое число имеет вид 10у -*- х, где х, у ъ N, 0 5 x 5 9 
н 0 < у 5 9. Из .условия имеем: \0у + х ** у + х2, откуда получаем: 
9у 
ж (х - 
1)х. Отсюда 
х - 
1 или х кратно 9, Так как 
х- 1 5 8, то х = 9 Отсюда 9у = 9 • 8, то есть у - 8. Искомое число есть 
89. 

Задача 2 Выявите и сформулируйте признаки делимости на 
числа вида 2", п е N, в двоичной системе счисления. 

Указание Сформулируйте признаки делимости на 2, 4, 8, 16 в 
двоичной системе счисления и обобщите полученные результаты. 

ОТВЕТ для того, чтобы представленное в двоичной системе 
счисления число делилось на число вида 2", необходимо и достаточно, чтобы оно оканчивалось по меньшей мере п нулями. 

Вариант 2 

Задача 1. Докажите, что для любого положительного нату 
рального числа х существует такое натуральное у, что число 
ху + 1 - составное. 

Решение 

а) При х = 1 и у =* 3 число 1 • 3 + 1 «= 4 - составное. 
б) Пусть х £ 2. Положив у х 2 , получаем: ху + 1 « г3 + 1 * 
« (х + 1Хх2 - х + 1) - составное число, так как (х т 1) 2: 3, а 

3 

Методические указания 
fix) = х2 - х + 1 - возрастающая натуральная функция, наименьшее 
значение которой на полуинтервале (2;<х>) есть ее значение при х « 2. 
НоД2) = 2 2 - 2 + 1 в 3 2 : 3 . Таким образом, при х И 2 число ху может 
быть представлено в виде произведения сомножителей, каждый из 
которых не меньше, чем 3. Значит, оно составное. 

Задача 2. Выявите и сформулируйте признаки делимости на 2, 
3, 4, 6, 12 в двенадцатиричной системе счисления 

ОТВЕТ: для того чтобы число, представленное в двенадцати* 
ричной системе счисления, делилось на 2, 3, 4, 6 и (12)ю, необходимо 
и достаточно, чтобы число, изображаемое его последней (крайней 
правой) цифрой, делилось на 2, 3,4, 6 и (12)ю соответственно. 

Вариант 3 

Задача 1. На доске сохранилась полустертая запись: 

2 
3 - 5 
+ 

1 - 6 4 2 

4 2 4 2 3 
Выявить: а) хотя бы одну систему счисления, в которой произведено сложение; б) определить стертые цифры. 

ОТВЕТ: а) сложение произведено в 7-й системе счисления; 
б) стертые цифры в верхней строке - 4 и 1, а в нижней - 5. 

Решение 
Обозначив пропущенные цифры буквами, имеем: 

2 3 х 5 у 
+ 

1 г б 4 2 
(I) 

4 2 4 2 3 

1)Из крайнего правого столбца имеем: а) у + 2 = 3 или 
б) у + 2 - ОСН + 3, где буквосочетание ОСН обозначает основание 

4