Ряды и дифференциальные уравнения

 

 
Кафедра математики 

Е.Л. Плужникова, Б.Г. Разумейко 

 

 

 

 

Под редакцией Б.Г. Разумейко 

Рекомендовано редакционно-издательским 
советом института в качестве учебного пособия 

РЯДЫ 
И 
ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ 

 

Учебно-методическое пособие 
для студентов всех специальностей 

МОСКВА 2001 

№1713 

 

УДК 517.5+517.9 
П40 

Плужникова Е.Л., Разумейко Б.Г. Ряды и дифференциальные 
уравнения: Учеб.-метод. пособие. /Под ред. Б.Г. Разумейко. – М.: 
МИСиС, 2001. – 181 с. 

Содержит справочный материал по курсу «Ряды и дифференциальные уравнения», решение типовых задач по этому курсу, варианты домашнего задания, типовые варианты контрольных работ и варианты тестов, 
предназначенных для проверки усвоения пройденного материала. 
Подробно разобраны методы решения типовых задач домашнего 
задания. 
Предназначено для студентов всех специальностей. 
 

 Московский государственный 
институт стали и сплавов 
(Технологический университет) 
(МИСиС), 2001 
 

СОДЕРЖАНИЕ 

Предисловие 4 
1. Справочный материал 
5 
1.1. Ряды ............................................................................................... 5 
1.1.1. Числовые ряды ............................................................................. 5 
1.1.2. Знакоположительные числовые ряды ........................................ 6 
1.1.3. Знакочередующие числовые ряды ............................................ 18 
1.1.4. Функциональные ряды ............................................................... 24 
1.1.5. Степенные ряды ......................................................................... 33 
1.1.6. Разложение функций в степенные ряды .................................. 42 
1.2. Обыкновенные дифференциальные уравнения ....................... 52 
1.2.1. Дифференциальное уравнение 1-го порядка ........................... 52 
1.2.2. Виды дифференциальных уравнений 1-го порядка ................ 53 
1.2.3. Дифференциальные уравнения высших порядков .................. 74 
1.2.4. Системы дифференциальных уравнений ............................... 101 
1.3. Ряды Фурье ............................................................................... 106 
1.4. Решение уравнения диффузии (теплопроводности) методом 
Фурье ......................................................................................... 113 
2. Домашнее задание 125 
2.1. Условие домашнего задания ................................................... 127 
2.2. Пример выполнения домашнего задания ............................... 130 
3. Примерные варианты контрольных работ 174 
Контрольная работа 1 ...................................................................... 174 
Контрольная работа 2 ...................................................................... 175 
4. Тесты 
176 
 
 
 
 

ПРЕДИСЛОВИЕ 

В первой части пособия приведены справочный материал по 
теме «ряды» и методы решения дифференциальных уравнений, а 
также разобрано большое количество типовых задач по этим темам. 
Вторая часть пособия содержит условие домашнего задания 
по курсу «ряды и дифференциальные уравнения». Также во второй 
части подробно рассмотрен пример решения домашнего задания. 
Большинство расчетов при выполнении домашнего задания требует 
применения микрокалькуляторов. 
Ответы в решенных задачах выделены полужирным шрифтом. 
Третья и четвертая части содержат типовые варианты контрольных работ и тестов, предназначенных для проверки усвоения 
этого курса. 
Отчет о выполнении домашнего задания должен содержать 
1. Стандартный титульный лист. 
2. Формулировку решаемой задачи. 
3. Подробное решение со всеми промежуточными выкладками. 
Некоторые стандартные обозначения, которые встречаются в 
работе: 
 – следует; 
 – тогда и только тогда; 
 – любой; 
 – существует; 
 – содержится; 
 – принадлежит; 
~ – понятия эквивалентны; 
=|   |= – комментарии к проводимым действиям; 
 – знак совокупности. 
 

1. СПРАВОЧНЫЙ МАТЕРИАЛ 

1.1. Ряды 

1.1.1. Числовые ряды 

Пусть а1, а2, а3, …аn,… – бесконечная числовая последовательность. Выражение вида 

 
а1 + а2 +…+ аn + … = 



1
n
n
a  

называется числовым рядом, а числа а1, а2, а3, … аn, … – членами ряда. 
Сумма первых n членов числового ряда 

 
Sn = а1 + а2 + … + аn 

называется n-й частичной суммой. 
Пусть даны две последовательности  
1
n
n
a
 и  
1
n
n
S
, где 

Sn = 


n

k
k
a

1
 = a1 + a2 + … + an. Если последовательность  
1
n
n
S
 схо
дится, т. е. 


nlim Sn = S, то ряд 



1
n
n
a  = a1 + a2 + … +an + … сходится, и 

его сумма равна S, т. е.     

 
S = 



1
n
n
a   = a1 + a2 + … + an + … 

Разность Rn = S – Sn  называют остатком ряда. 

Основные свойства сходящихся рядов 

1. Если ряд  a1 + a2 + … + an + …сходится, то сходится и ряд  
am + am+1 + …, который получается из данного ряда отбрасыванием 
первых (m – 1) членов. И наоборот, из сходимости ряда  
am + am+1 + … следует сходимость ряда  a1 + a2 + … + an + … . (Конечное число членов ряда не влияет на его сходимость). 

2. Если ряд a1 + a2 + … + an + … сходится, и его сумма равна 
S, то сходится и ряд  Сa1 + Сa2 + … + Сan + … (где С – некоторая 
константа), причём его сумма равна СS. 
3. Если ряды  a1 + a2 + … + an + … и  b1 + b2 + … + bn + … 
сходятся, и их суммы равны S1 и S2, соответственно, то сходится и 
ряд (a1 + b1) + (a2 + b2) + … + (an + bn) + …, причём его сумма равна 
S1 + S2. 

Необходимый признак сходимости ряда 

Если ряд 



1
n
n
a  сходится, то 


nlim аn = 0. Обратное утвержде
ние неверно, т. е. из условия 


nlim аn = 0 сходимость ряда не следует. 

Применять этот признак надо следующим образом: если 


nlim аn   0 

 ряд расходится, но если 


nlim аn = 0, то о сходимости ряда ничего 

сказать нельзя. 

1.1.2. Знакоположительные числовые ряды 

Ряд 



1
n
n
a  называется знакоположительным, если все его 

члены больше нуля. 

1. Критерий Коши. 

Ряд 



1
n
n
a  сходится         N() такое, что для 

 n > N() и для  m  0 |Sn+m – Sn| < . 

Достаточные признаки сходимости 
знакоположительных рядов 

2. Первый признак сравнения. 

Пусть даны два ряда 



1
n
n
a  и 



1
n
nb . Если 0   аn    bn начиная 

с  некоторого  номера,  то  из  сходимости ряда  



1
n
n
b   следует   схо

димость ряда 



1
n
n
a , а из расходимости ряда 



1
n
n
a  следует расходи
мость ряда 



1
n
n
b  (из сходимости большего ряда следует сходимость 

меньшего ряда, а из расходимости меньшего ряда следует расходимость большего). 

3. Второй признак сравнения. 

Пусть даны два ряда 



1
n
n
a  и 



1
n
n
b . Если существует конеч
ный и отличный от 0 предел 

 


nlim

n

n
b
а = k  , 

то оба ряда 



1
n
n
a  и 



1
n
n
b  сходятся и расходятся одновременно. 

4. Признак Коши. 

Пусть дан ряд 



1
n
n
a
. Если существует 


nlim n
n
a  = q, то: 

– при q < 1 ряд сходится; 
– при q > 1 ряд расходится; 
– при q = 1 ничего о сходимости ряда сказать нельзя, требуется применение других признаков. 

5. Признак Даламбера. 

Пусть дан ряд 



1
n
n
a . Если существует  


nlim

n

n
а
а
1
  = q , то: 

– при q < 1 ряд сходится; 
– при q > 1 ряд расходится; 
– при q = 1 ничего о сходимости ряда сказать нельзя, требуется применение других признаков. 

6. Интегральный признак. 

Пусть дан ряд 



1
n
n
a . Если аn = f(n) (где функция f(х) положи
тельная, монотонно убывающая и непрерывная при  х  а), то ряд 





1
n
n
a  и интеграл 



а
dx
x
f
)
(
 сходятся и расходятся одновременно.  

Напомним, что интеграл 



а
dx
x
f
)
(
 (где f(x) – непрерывная 

функция) сходится, если существует конечный  




b

a
b
dx
x
f
)
(
lim
 = C. 

7. Признак Гаусса. 

Пусть дан ряд 



1
n
аn. Если отношение соседних членов мо
жет быть представлено как 

1

n

n
а
а
 =  + n

 + 






n
1
0
, то: 

 
при  > 1 или  = 1 и  > 1 ряд сходится; 
 
при  < 1 или  = 1 и   1 ряд расходится. 

Пример 1.1.1. Показать, что ряд  



1

1

n
p
n
 при  p > 1 сходится, при 

р   1 расходится. 

Решение 

Используем интегральный признак. Пусть р  1, тогда 





1
р
х
dx  = 



1
dx
x
p

 = 
1

1







p
x
p


1
= 


blim
p
p
b
p







1
1
1

1
 = 

= 
















0.
 
 
1 
если
      
,

0,
 
 
1
  
если
  ,
1
1
 

p

p
p
 

Пусть р = 1, тогда 








1
1
ln x
х
dx
 


blim ln b = . 

Следовательно, 



1

р
х
dx  


.
расходится
 1
 
при
сходится,
 1 
 
 
при
p
p
 

Значит и ряд 



1

1

n
p
n
 


.
расходится
 1
 
при
сходится,
 1 
 
 
при
p
p
 

Пример 1.1.2. Исследовать на сходимость следующие ряды: 

1)  



1 2
1

n
n . 

Решение 

Используем признак Коши: 



nlim n
n
a  = 


nlim n
n
2
1  = 2
1  < 1, следовательно, ряд 



1 2
1

n
n  

сходится. 

2) 





12
1

n
n
n
. 

Используем второй признак сравнения. Сравним ряд 







1 2
1

n
n
n
 с рядом 



1 2
1

n
n : 



nlim







n
n
n
2
1
:
2
1
 = 


nlim

n
n

n


2
2
 = 


n
2 
на
 ь
знаменател
 и

числитель
 
разделим
= 

=


nlim

n
n
2
1

1


 = |по правилу Лопиталя 


nlim
n
n
2
 = 


nlim

)
2
(
)
(



n
n
 =  

=


nlim

2
ln
2
1

n
 = 0| =1. 

Следовательно,   

n
n 
2
1
 ~  
n
2
1 , т. е. ряды эквивалентны. 

Ряд 



1 2
1

n
n
 cходится (было показано в п. 1)  по второму 

признаку сравнения и ряд 





1 2
1

n
n
n
 сходится. 

3) 





 

1

1

2
1
2

n
n

n
. 

Проверим необходимый признак сходимости. 



n
n
a
lim
 = 


nlim
n

n

2
1
2
1 

= 












n

n
2
1
2
1
lim
 = 2
1   0 – 

необходимый признак сходимости ряда не выполнен, следо
вательно ряд 





 

1

1

2
1
2

n
n

n
 расходится. 

4) 



1
2
3
1
tg

n
n
. 

Используем второй признак сравнения. Так как при n   

величина 
2
3
1
n
 стремится к 0, то можно воспользоваться таблицей 

эквивалентных бесконечно малых: 

tg
2
3
1
n
~ 
2
3
1
n
. Следовательно, ряды 



1
2
3
1
tg

n
n
 и 



1
2
3
1

n
n
 схо
дятся и расходятся одновременно. 

Ряд 



1
2
3
1

n
n
 – сходится (было показано в примере 1.1.1), так 

как р = 3/2 > 1. 

Значит, ряд 



1
2
3
1
tg

n
n
 сходится. 

5) 






1
3
2
4
1

n
n
. 

Используем второй признак сравнения. Сравним данный ряд 

с рядом 



1 2
1

n
n
: 

3
2
4
2
lim




n

n

n
:
n
2
1  = 
n
2 
на
 ь
знаменател
 и

 
числитель
 
разделим
 = 


nlim

n
2
3
4

1


 = 4
1 . 

Ряд 



1 2
1

n
n
 – сходится по признаку Коши, так как  



nlim n
n
a  = 


nlim n
n
2
1  = 2
1  < 1. Следовательно, сходится и эквива
лентный ему ряд 






1
3
2
4
1

n
n
. 

6) 











1
1
2
n

n

n
n
. 

Используем признак Коши: 



nlim n
n
a  = 










n

n

n
n
n
1
2
lim


nlim
1
2 
n
n
= 


nlim

n
1
2

1


 = 2
1  < 1, 

следовательно, ряд 











1
1
2
n

n

n
n
 сходится. 

7) 









 

1

2
1
1
2
1

n

n

n
n
. 

Используем признак Коши: 



nlim n
n
a  = 


nlim n

n

n
n

2
1
1
2
1





 
 = 


nlim 2
1

n

n 




  1
1
 = 2
1 e >1, 

следовательно, ряд 









 

1

2
1
1
2
1

n

n

n
n
 расходится.