Дифференциальное исчисление функций одной переменной

ʋ3
Кафедра математики
Е.Л. Плужникова, Б.Г. Разумейко
ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНОЕ ИСЧИСЛЕНИЕ 
ФУНКЦИЙ ОДНОЙ ПЕРЕМЕННОЙ
Учебно-методическое пособие
для студентов всех специальностей
Под редакцией Б.Г. Разумейко
Рекомендовано редакционно-издательским 
советом института в качестве учебного пособия
МОСКВА 2001

 
УДК 517.2 
П40 
П40 
Плужникова Е.Л., Разумейко Б.Г. Дифференциальное исчисление функций одной переменной: Учеб.-метод. пособие.  
/Под ред. Б.Г. Разумейко. – М.: МИСиС, 2001. – 133 с. 
Пособие содержит справочный материал по курсу "Дифференциальное исчисление функций одной переменной", варианты домашнего задания, типовые варианты контрольных работ и варианты тестов, предназначенных для проверки усвоения пройденного материала. Также в пособии 
подробно разобраны методы решения типовых задач домашнего задания. 
Количество вариантов обеспечивает индивидуальное задание каждому студенту. 
Пособие предназначено для студентов всех специальностей. 
” Московский государственный 
институт 
стали 
и 
сплавов 
(Технологический 
университет) (МИСиС), 2001 
 

СОДЕРЖАНИЕ 
1. Справочный материал ...................................................................... 4 
1.1. Формулы сокращенного умножения 
.................................................. 4 
1.2. Сложение дробей ................................................................................. 4 
1.3. Решение простейших уравнений 
........................................................ 4 
1.4. Графики основных элементарных функций 
...................................... 6 
1.5. Преобразование графиков 
................................................................. 17 
1.6. Разложение многочленов на множители ......................................... 19 
1.7. Деление многочленов ........................................................................ 19 
1.8. Уравнение окружности ..................................................................... 21 
1.9. Действия со степенями 
...................................................................... 22 
1.10. Логарифмы ....................................................................................... 22 
1.11. Решение рациональных неравенств методом интервалов ........... 23 
1.12. Предел функции 
............................................................................... 25 
1.13. Асимптоты графиков функций 
....................................................... 37 
1.14. Непрерывность функций 
................................................................. 41 
1.15. Дифференцирование функций 
........................................................ 43 
2. Домашнее задание .......................................................................... 63 
2.1. Условие домашнего задания 
............................................................. 65 
2.2. Пример выполнения домашнего задания ........................................ 70 
3. Примерные варианты контрольных работ ................................. 123 
Контрольная работа 1 
............................................................................. 123 
Контрольная работа 2 
............................................................................. 123 
4. Тесты 
.............................................................................................. 125 
Рекомендуемая литература .............................................................. 132 
 
 
 
 
 
 
 
3 

1. СПРАВОЧНЫЙ МАТЕРИАЛ 
1.1. Формулы сокращенного 
умножения 
a2 – b2
 = (a – b) (a + b); 
(a + b)2 = a2 + 2ab + b2; 
(a – b)2 = a2 – 2ab + b2;  
a3 – b3 = (a – b) (a2 + ab + b2); 
a3 + b3 = (a + b) (a2 – ab + b2); 
(a + b)3 = a3 + 3a2b + 3ab2 + b3; 
(a – b)3 = a3 – 3a2b + 3ab2 – b3. 
1.2. Сложение дробей 
При сложении дробей каждую из них следует привести к 
общему знаменателю: 
bd
bc
ad
d
c
b
a

 

. 
1.3. Решение простейших уравнений 
1. Линейное. 
Линейным уравнением называют уравнение вида: 
ax + b = 0 (a z 0), 
тогда x = – a
b  – корень этого уравнения. 
2. Квадратное. 
Квадратным уравнением называют уравнение вида: 
 
ax2 + bx + c = 0 (a z 0). 
 
4 

Для его решения находим дискриминант D по формуле: 
 
D = b2 – 4ac, 
тогда 
a) если D > 0, то x1 = 
a
D
b
2


, x2 = 
a
D
b
2


, уравнение 
имеет два корня – x1 и x2;
 
б) если D = 0, то x1 =
a
b
2

, уравнение имеет один корень – x1; 
в) если D < 0, то корней нет. 
-
b
ax
a
b
x
3. 
0,
  
  
0
°
°
®
b
cx
,
   
   
0,
d
cx
b
ax
 
 

œ
 



 
œ
¯
®
-
z

.

z
c
d
x
°
°
¯
4. 
  
,
0
)
(
)
(
 
x
Q
x
P
 
где Р(х); Q(x) – некоторые функции переменной х. 
¯
®
-
z
 
œ
 
0.
)
(
0,
)
(
   
    
x
Q
x
P
x
Q
x
P
0
)
(
)
(
 
5. |x| = b, тогда 
– если b > 0, то x1 = –b; x2 = b; 
– если b = 0, то x1 = 0; 
– если b < 0, то корней нет. 
6. x2n = b, где n  N. 
– если b > 0, то x1 = 
n b
2

; x2 = 
n b
2
; 
– если b = 0, то x = 0; 
– если b < 0, то корней нет. 
7. x2n+1 = b, где n  N œ x = 
1
2 
n
b  – корень уравнения. 
 
5 

8. 
b
x
n
 
2
, где n  N, тогда 
– если b > 0, то x = b2n; 
– если b = 0, то x = 0; 
– если b < 0, то нет корней. 
9. 
b
x
n
 
1
2
, где n  N œ x = b2n+1 – корень уравнения. 
10. ax = b   (a > 0; a z 1), тогда 
– если b > 0, то x = logab; 
– если b d 0, то корней нет. 
11. logaх = b 
(a > 0; a z 1), 
тогда x = ab – корень уравнения. 
1.4. Графики основных элементарных 
функций 
1. Линейная функция – это функция вида: 
 
y = ax + b, 
графиком которой является прямая (рис. 1.1). 
y 
b 
x 
–b\a 
Рис. 1.1 
 
6 

График этой функции строят по двум точкам, как правило, 
точкам пересечения с осями: 
x 
0 
– b/a 
y 
b 
0 
Если x = b, то график имеет вид (рис. 1.2). 
y 
b 
x 
Рис. 1.2 
Если y = b, то график имеет вид (рис. 1.3). 
y 
b 
Рис. 1.3 
2. Квадратичная функция – это функция вида: 
 
y = ax2 + bx + c  (a z 0), 
графиком которой является парабола (cм. таблицу). 
Координаты вершины параболы (xb, yb) определяют по 
формулам: 
2 + c. 
a
b
xb
2

 
; yb = y(xb) = a 
¸
¹
·
¨
©
§ a
b
2
2 + b 
¸
¹
·
¨
©
§ a
b
2
 
7 

Варианты графика квадратичной функции 
D > 0 
D = 0 
D < 0 
a > 0 
 
 
a < 0 
 
 
 
3. Функция y = |x|. 
Для построения графика раскрывают модуль: 
¯
®
-


t
 
 
0.
 
если
 
0,
 
если
 
x
x
x
x
x
y
,
,
|
|
 
График этой функции имеет следующий вид (рис. 1.4): 
 
Рис. 1.4 
 
8 

4. Степенная функция – это функция вида: 
1) y = x2n, где n  N, 
область допустимых значений (О.Д.З.) этой функции: х  R, график 
этой функции имеет вид (рис. 1.5); 
 
Рис. 1.5 
2) y = x2n + 1, где n  N,  
О.Д.З.: х  R, график функции имеет вид (рис. 1.6); 
 
Рис. 1.6 
3) y = 
n x
2
, где n  N, 
О.Д.З.: x t 0, график функции имеет вид (рис. 1.7); 
 
9 

 
Рис. 1.7 
4) y = 
1
2 
n
x , где n  N, 
О.Д.З.: х  R, график функции имеет вид (рис. 1.8). 
 
Рис. 1.8 
5. Обратная пропорциональность: 
, где n  N, 
 
2) y = 
1
2
1
1) y = 
n
x2
1 , где n  N, 

n
x
О.Д.З.: x z 0, график функции 
показан на рис. 1.10. 
О.Д.З.: x z 0, график 
функции показан на рис. 1.9; 
 
 
Рис. 1.10 
 
Рис. 1.9 
 
10