Линейная алгебра

МИНИСТЕРСТВО ОБРАЗОВАНИЯ И НАУКИ РФ 

ФЕДЕРАЛЬНОЕ ГОСУДАРСТВЕННОЕ ОБРАЗОВАТЕЛЬНОЕ УЧРЕЖДЕНИЕ  
ВЫСШЕГО ПРОФЕССИОНАЛЬНОГО ОБРАЗОВАНИЯ  
«НАЦИОНАЛЬНЫЙ ИССЛЕДОВАТЕЛЬСКИЙ ТЕХНОЛОГИЧЕСКИЙ УНИВЕРСИТЕТ «МИСиС» 

 

 
 
 

 

 

 

 
 

 

№ 213 

Кафедра математики

Е.Л. Плужникова 
Б.Г. Разумейко 
 

Линейная алгебра

 

Учебное пособие 

Рекомендовано редакционно-издательским 
советом университета 

Москва 2011 

УДК 512.64 
 
П40 

Р е ц е н з е н т  
канд. техн. наук, доц. Л.А. Шамаро 

Плужникова, Е.Л. 
П40  
Линейная 
алгебра : учеб. 
пособие / 
Е.Л. Плужникова, 
Б.Г. Разумейко. – М. : Изд. Дом МИСиС, 2011. – 176 с. 
ISBN 978-5-87623-395-0 

В пособии приведены основные формулы и понятия линейной алгебры, 
рассмотрены типовые задачи различных уровней сложности. 
Представлены различные варианты домашнего задания, а также варианты 
контрольных работ, тестов, предназначенные для проверки усвоения курса. 
Для студентов всех специальностей. 
 

УДК 512.64 

ISBN 978-5-87623-395-0 
© Плужникова Е.Л., 
Разумейко Б.Г., 2011 

ОГЛАВЛЕНИЕ 

1. Матрицы, определители.  Системы линейных уравнений................4 
1.1. Матрицы, операции над матрицами ............................................4 
1.2. Определители...............................................................................10 
1.3. Обратная матрица........................................................................14 
1.4. Ранг матрицы ...............................................................................24 
1.5. Решение матричных уравнений .................................................27 
1.6. Решение систем линейных уравнений.......................................34 
2. Линейное и евклидово пространства................................................68 
2.1. Линейное (векторное) пространство..........................................68 
2.2. Матрица перехода.  Координаты вектора в новом базисе.......75 
2.3. Евклидово пространство.............................................................80 
3. Линейные операторы и квадратичные формы.................................94 
3.1. Линейные операторы...................................................................94 
3.2. Матрица линейного оператора...................................................96 
3.3. Собственные числа и собственные векторы линейного 
оператора...........................................................................................102 
3.4. Приведение матрицы линейного оператора 
к диагональному виду ......................................................................107 
3.5. Сопряженные и самосопряженные линейные операторы 
в евклидовом пространстве .............................................................114 
3.6. Билинейные и квадратичные формы .......................................131 
3.7. Приведение кривой 2-го порядка к каноническому виду 
методом собственных значений......................................................139 
Домашнее задание ................................................................................162 
Вопросы для самопроверки .................................................................166 
Типовой вариант контрольной работы...............................................173 
Библиографический список.................................................................175 
 
 
 

1. МАТРИЦЫ, ОПРЕДЕЛИТЕЛИ.  
СИСТЕМЫ ЛИНЕЙНЫХ УРАВНЕНИЙ 

1.1. Матрицы, операции над матрицами 

Матрицей размера m × n называется прямоугольная таблица, составленная из элементов некоторого множества и состоящая из m 
строк и n столбцов: 

 

11
12
1

21
22
2

1
2

...
...
.
...
...
... ...
...

n

n

m
m
mn

a
a
a
a
a
a
A

a
a
a

⎛
⎞
⎜
⎟
⎜
⎟
= ⎜
⎟
⎜
⎟
⎝
⎠

 

Числа aij – элементы матрицы А, где i = 1, ..., m – номер строки, 
j = 1, ..., n – номер столбца.  
Набор чисел ai1, ai2, …, ain, (i = 1, 2, …, m) называется i-й строкой 
матрицы А. Набор чисел a1j, a2j, …, amj (j = 1, 2, …, n) называется j-м 
столбцом матрицы А. Матрица, у которой число строк совпадает с 
числом столбцов, называется квадратной. 
Пусть А − квадратная матрица, тогда набор чисел a11, a22, …, ann 
образует главную диагональ. Матрица, у которой все элементы равны 
нулю, называется нулевой. Квадратная матрица, у которой на главной 
диагонали стоят единицы, а все остальные элементы равны нулю, 
называется единичной. Квадратная матрица, у которой на главной 
диагонали стоят некоторые числа, а все остальные элементы равны 
нулю, называется диагональной. Квадратная матрица, у которой все 
элементы ниже (выше) главной диагонали равны нулю, называется 
верхней треугольной (нижней треугольной) матрицей. 

Операции над матрицами 

1. Суммой матрицы А размера m × n и матрицы В размера m × n 
называется матрица С размера m × n, каждый элемент которой равен 
сумме соответствующих элементов матриц А и В: 

 
cij = aij + bij , i = 1, ..., n, j = 1, ..., m. 

Если 

 

11
12
1
11
12
1

21
22
2
21
22
2

1
2
1
2

...
...
...
...
;
,
...
...
...
...
...
...
...
...

...
...

n
n

n
n

m
m
mn
m
m
mn

a
a
a
b
b
b
a
a
a
b
b
b
А
В

a
a
a
b
b
b

⎛
⎞
⎛
⎞
⎜
⎟
⎜
⎟
⎜
⎟
⎜
⎟
=
=
⎜
⎟
⎜
⎟
⎜
⎟
⎜
⎟
⎝
⎠
⎝
⎠

 

то  

 

11
11
12
12
1
1

21
21
22
22
2
2

1
1
2
2

...
...
.
...
...
...
...
...

n
n

n
n

m
m
m
m
mn
mn

a
b
a
b
a
b
a
b
a
b
a
b
А
В

a
b
a
b
a
b

+
+
+
⎛
⎞
⎜
⎟
+
+
+
⎜
⎟
+
= ⎜
⎟
⎜
⎟
+
+
+
⎝
⎠

 

2. Произведением матрицы А размера m × n на число α называется матрица В размера m × n, каждый из элементов которой получен 
умножением соответствующего элемента матрицы А на число α: 

 
bij = αaij, i = 1, ..., n, j = 1, ..., m, 

или 

 

11
12
1
11
12
1

21
22
2
21
22
2

1
2
1
2

...
...
...
...
.
...
...
...
...
...
...
...
...

...
...

n
n

n
n

m
m
mn
m
m
mn

a
a
a
a
a
a
a
a
a
a
a
a
A

a
a
a
a
a
a

α
α
α
⎛
⎞
⎛
⎞
⎜
⎟
⎜
⎟
α
α
α
⎜
⎟
⎜
⎟
α
= α
=
⎜
⎟
⎜
⎟
⎜
⎟
⎜
⎟
α
α
α
⎝
⎠
⎝
⎠

 

3. Произведением матрицы А размера m × n на матрицу В размера 
n × k называется матрица С размера m × k, элементы которой cij вычисляются по формуле 

 
cij = 

1

n

is
sj

s

a b

=∑
, i = 1, ..., n, j = 1, ..., m,  

или 

 

11
12
1
11
12
1

21
22
2
21
22
2

1
2
1
2

...
...
...
...

...
...
...
...
...
...
...
...

...
...

n
k

n
k

m
m
mn
n
n
nk

a
a
a
b
b
b
a
a
a
b
b
b

a
a
a
b
b
b

⎛
⎞ ⎛
⎞
⎜
⎟ ⎜
⎟
⎜
⎟ ⎜
⎟ =
⎜
⎟ ⎜
⎟
⎜
⎟ ⎜
⎟
⎝
⎠ ⎝
⎠

 

11 11
12 21
1
1
11 12
12 22
1
2
11 1
12 2
1

21 11
22 21
2
1
21 12
22 22
2
2
21 1
22 2
2

1 11
2 21
1
1 12
2 22

...
...
...
...
...
...
...
...
...
...
...
...
...

n n
n n
k
k
n nk

n n
n n
k
k
n nk

m
m
mn n
m
m

a b
a b
a b
a b
a b
a b
a b
a b
a b
a b
a b
a b
a b
a b
a b
a b
a b
a b

a b
a
b
a b
a b
a
b

+
+
+
+
+
+
+
+
+
+
+
+
+
+
+
+
+
+
=

+
+
+
+
2
1 1
2 2

.

...
...
...
mn n
m
k
m
k
mn nk
a b
a b
a
b
a b

⎛
⎞
⎜
⎟
⎜
⎟
⎜
⎟
⎜
⎟
+
+
+
⎝
⎠

 

Замечания: 
1) число столбцов матрицы А и число строк матрицы В должно 
быть одинаковым; 
2) АВ ≠ ВА (произведение матриц не коммутативно). 
4. Матрицей AT размера n × m , транспонированной к матрице А 
размера m × n, называется матрица, которая получается из матрицы А 
заменой строк на столбцы, т.е. строки матрицы А являются столбцами матрицы AT. 

Пример 1.1.1 

Даны матрицы: 

1
1
2
1
2
0
1

0
3
1
,
3
5
1
,
1 .

2
1
4
1
2
3
3

A
B
C
−
−
⎛
⎞
⎛
⎞
⎛
⎞
⎜
⎟
⎜
⎟
⎜
⎟
=
=
−
⎜
⎟
⎜
⎟
⎜
⎟
⎜
⎟
⎜
⎟
⎜
⎟
−
−
⎝
⎠
⎝
⎠
⎝
⎠

 

Найти:  
1) сумму матриц 2А + В;  
2) произведение матриц АВ;  
3) произведение матриц ВА;  
4) произведение матриц ВС;  
5) сумму матриц ВT + E. 
Решение 
1. Так как  

 

2
4
2
2
0
1

2
0
6
2
,
3
5
1
,

4
2
8
1
2
3

A
B
−
−
⎛
⎞
⎛
⎞
⎜
⎟
⎜
⎟
=
=
⎜
⎟
⎜
⎟
⎜
⎟
⎜
⎟
−
−
⎝
⎠
⎝
⎠

 

то сумма матриц 

 

2
2
4
0
2
( 1)
4
4
3

2
0
3
6
5
2
1
3
11
3 .

4
1
2
2
8
( 3)
5
0
5

A
B
+
+
− + −
−
⎛
⎞
⎛
⎞
⎜
⎟
⎜
⎟
+
=
+
+
+
=
⎜
⎟
⎜
⎟
⎜
⎟
⎜
⎟
+
− +
+ −
⎝
⎠
⎝
⎠

 

2. Найдем произведение матриц АВ: 

 

1
2
1
2
0
1

0
3
1
3
5
1

2
1
4
1
2
3

AB
−
−
⎛
⎞ ⎛
⎞
⎜
⎟ ⎜
⎟
=
=
⎜
⎟ ⎜
⎟
⎜
⎟ ⎜
⎟
−
−
⎝
⎠ ⎝
⎠

 

1 2
2 3 1 1
1 0
2 5 1 2
1( 1)
2 1 1( 3)

0 2
3 3 1 1
0 0
3 5
1 2
0( 1)
3 1 1( 3)

2 2
1 3
4 1
2 0
1 5
4 2
2( 1)
1 1
4( 3)

⋅
+
⋅ − ⋅
⋅
+
⋅ − ⋅
−
+
⋅ −
−
⎛
⎞
⎜
⎟
=
⋅
+ ⋅ + ⋅
⋅
+ ⋅ + ⋅
−
+ ⋅ +
−
=
⎜
⎟
⎜
⎟
⋅
− ⋅ +
⋅
⋅
− ⋅ +
⋅
−
− ⋅ +
−
⎝
⎠

 

2
6
1
10
2
1
2
3
7
8
4

9
1
15
2
3
3
10
17
0
.

4
3
4
5
8
2
1 12
5
3
-15

+
−
−
− +
+
⎛
⎞
⎛
⎞
⎜
⎟
⎜
⎟
=
+
+
−
=
⎜
⎟
⎜
⎟
⎜
⎟
⎜
⎟
−
+
− +
− − −
⎝
⎠
⎝
⎠  
3. Найдем произведение матриц ВА: 

 

2
0
1
1
2
1

3
5
1
0
3
1
1
2
3
2
1
4
BA
−
−
⎛
⎞ ⎛
⎞
⎜
⎟ ⎜
⎟
=
=
⎜
⎟ ⎜
⎟
⎜
⎟ ⎜
⎟
−
−
⎝
⎠ ⎝
⎠

 

2 1
0 0
1 2
2 2
0 3 1( 1)
2( 1)
0 1 1 4

3 1
5 0
1 2
3 2
5 3 1( 1)
3( 1)
5 1 1 4

1 1
2 0
3 2
1 2
2 3
3( 1)
1( 1)
2 1
3 4

⋅ +
⋅
− ⋅
⋅
+
⋅ −
−
−
+
⋅ − ⋅
⎛
⎞
⎜
⎟
=
⋅ + ⋅
+ ⋅
⋅
+ ⋅ +
−
−
+ ⋅ + ⋅
=
⎜
⎟
⎜
⎟
⋅ +
⋅
− ⋅
⋅
+
⋅ −
−
−
+
⋅ − ⋅
⎝
⎠

 

2
2
4
1
2
4
0
5
6

3
2
6
15 1
3
5
4
5
20
6
.

1
6
2
6
3
1
2
12
5
11
11

−
+
− −
−
⎛
⎞
⎛
⎞
⎜
⎟
⎜
⎟
=
+
+
−
− +
+
=
⎜
⎟
⎜
⎟
⎜
⎟
⎜
⎟
−
+
+
− +
−
−
−
⎝
⎠
⎝
⎠

 

4. Найдем произведение матриц ВС: 

 

1
2
0
1
2 1
0( 1)
1 3
3
5
1
1
3 1
5( 1)
1 3

1
2
3
1 1
2( 1)
( 3)3
3
BC
−
⋅ +
−
− ⋅
⎛
⎞
⎛
⎞
⎛
⎞
⎜
⎟
⎜
⎟
⎜
⎟
=
−
=
⋅ +
−
+ ⋅
=
⎜
⎟
⎜
⎟
⎜
⎟
⎜
⎟
⎜
⎟
⎜
⎟
−
⋅ +
−
+ −
⎝
⎠
⎝
⎠
⎝
⎠

 

2
3
1

3
5
3
1
.

10
1
2
9

−
−
⎛
⎞
⎛
⎞
⎜
⎟
⎜
⎟
=
−
+
=
⎜
⎟
⎜
⎟
⎜
⎟
⎜
⎟
−
−
−
⎝
⎠
⎝
⎠

 

5. Найдем сумму матриц ВT + E. 

Транспонируем матрицу В (для этого строки матрицы В запишем 
столбцами): 

 
T

2
3
1

0
5
2
,

1
1
3

B
⎛
⎞
⎜
⎟
= ⎜
⎟
⎜
⎟
−
−
⎝
⎠

 

тогда 

 
T

2
3
1
1
0
0
3
3
1

0
5
2
0
1
0
0
6
2
.

1
1
3
0
0
1
1
1
2

B
E
⎛
⎞
⎛
⎞
⎛
⎞
⎜
⎟
⎜
⎟
⎜
⎟
+
=
+
=
⎜
⎟
⎜
⎟
⎜
⎟
⎜
⎟
⎜
⎟
⎜
⎟
−
−
−
−
⎝
⎠
⎝
⎠
⎝
⎠

 

Пример 1.1.2 
Даны матрицы: 

 
3
1
4
4
1
9
4
1
2
6
2
5 ,
3
5
3
,
.
9
3
5
3
1
3
3
2
1
I
J
H
−
−
−
⎛
⎞
⎛
⎞
−
⎛
⎞
⎜
⎟
⎜
⎟
= −
−
=
−
= ⎜
⎟
⎜
⎟
⎜
⎟
−
−
⎝
⎠
⎜
⎟
⎜
⎟
−
−
−
⎝
⎠
⎝
⎠

 

Найти: 1) сумму матриц 2I + 3J + 5E; 
2) разность матриц IJ – JI; 
3) произведение матриц HI. 
Решение 
1. Найдем сумму матриц 2I + 3J + 5E: 

 

3
1
4
4
1
9
5
0
0

2
3
5
2
6
2
5
3
3
5
3
0
5
0

3
1
3
3
2
1
0
0
5

I
J
E
−
−
−
⎛
⎞
⎛
⎞
⎛
⎞
⎜
⎟
⎜
⎟
⎜
⎟
+
+
=
−
−
+
−
+
=
⎜
⎟
⎜
⎟
⎜
⎟
⎜
⎟
⎜
⎟
⎜
⎟
−
−
−
⎝
⎠
⎝
⎠
⎝
⎠

 

 

6
2
8
12
3
27
5
0
0

12
4
10
9
15
9
0
5
0

6
2
6
9
6
3
0
0
5

−
−
−
⎛
⎞
⎛
⎞
⎛
⎞
⎜
⎟
⎜
⎟
⎜
⎟
= −
−
+
−
+
=
⎜
⎟
⎜
⎟
⎜
⎟
⎜
⎟
⎜
⎟
⎜
⎟
−
−
−
⎝
⎠
⎝
⎠
⎝
⎠

 

 

6
12
2
3
8
27
5
0
0

12
9
4
15
10
9
0
5
0

6
9
2
6
6
3
0
0
5

− −
+
−
⎛
⎞
⎛
⎞
⎜
⎟
⎜
⎟
= −
+
−
−
+
+
=
⎜
⎟
⎜
⎟
⎜
⎟
⎜
⎟
−
− +
−
⎝
⎠
⎝
⎠

 

18
5
19
5
0
0
13
5
19

3
11
1
0
5
0
3
6
1

3
4
3
0
0
5
3
4
8

−
−
−
−
⎛
⎞
⎛
⎞
⎛
⎞
⎜
⎟
⎜
⎟
⎜
⎟
=
−
−
−
+
=
−
−
−
⎜
⎟
⎜
⎟
⎜
⎟
⎜
⎟
⎜
⎟
⎜
⎟
−
−
⎝
⎠
⎝
⎠
⎝
⎠

. 

2. Найдем произведение матриц IJ: 

 

3
1
4
4
1
9

6
2
5
3
5
3

3
1
3
3
2
1

IJ
−
−
−
⎛
⎞ ⎛
⎞
⎜
⎟ ⎜
⎟
= −
−
−
=
⎜
⎟ ⎜
⎟
⎜
⎟ ⎜
⎟
−
−
−
⎝
⎠ ⎝
⎠

 

3( 4)
3
4( 3)
3 1( 5)
4 2
3( 9)
1 3
4( 1)

6( 4)
2 3
5( 3)
6
2( 5)
5 2
6( 9)
2 3
5( 1)

3( 4)
1 3
3( 3)
3 1( 5)
3 2
3( 9)
1 3
3( 1)

−
−
+
+
−
− +
−
+
⋅
−
−
+ ⋅ +
−
⎛
⎞
⎜
⎟
= −
−
+
⋅ −
−
− +
−
− ⋅
−
−
+
⋅ −
−
=
⎜
⎟
⎜
⎟
−
− ⋅ +
−
−
−
+ ⋅
−
− ⋅ +
−
⎝
⎠

 

12
3 12
3
5
8
27
3
4
3
0
26

24
6
15
6 10 10
54
6
5
45
26
65 .

12
3
9
3
5
6
27
3
3
24
14
33

+
−
− −
+
+
−
⎛
⎞
⎛
⎞
⎜
⎟
⎜
⎟
=
+
+
− −
−
+
+
=
−
⎜
⎟
⎜
⎟
⎜
⎟
⎜
⎟
−
− −
+
+
−
− −
−
−
⎝
⎠
⎝
⎠

 

Найдем произведение матриц JI: 

 
4
1
9
3
1
4

3
5
3
6
2
5

3
2
1
3
1
3
JI
−
−
−
⎛
⎞ ⎛
⎞
⎜
⎟ ⎜
⎟
=
−
−
−
=
⎜
⎟ ⎜
⎟
⎜
⎟ ⎜
⎟
−
−
−
⎝
⎠ ⎝
⎠

 

4( 3)
1( 6)
9 3
4
1 2
9( 1)
4 4
1( 5)
9 3

3( 3)
5( 6)
3 3
3
5 2
3( 1)
3 4
5( 5)
3 3

3( 3)
2( 6)
1 3
3
2 2
( 1)( 1)
3 4
2( 5)
1 3

−
−
+
−
− ⋅
− + ⋅
−
−
− ⋅
+
−
− ⋅
⎛
⎞
⎜
⎟
=
−
−
−
+ ⋅
− ⋅
+
−
⋅
−
−
+ ⋅
=
⎜
⎟
⎜
⎟
−
−
+
−
− ⋅
− +
⋅
+ −
−
− ⋅
+
−
− ⋅
⎝
⎠

 

12
6
27
4
2
9
16
5
27
21
7
48

9
30
9
3 10
3
12
25
9
30
10
46
,

9
12
3
3
4
1
12
10
3
6
2
25

−
−
− +
+
−
−
−
−
−
⎛
⎞
⎛
⎞
⎜
⎟
⎜
⎟
= − +
+
−
−
+
+
=
−
⎜
⎟
⎜
⎟
⎜
⎟
⎜
⎟
−
−
− +
+
−
−
−
−
−
⎝
⎠
⎝
⎠

 

тогда 

 

3
0
26
21
7
48

45
26
65
30
10
46

24
14
33
6
2
25

IJ
JI
−
−
⎛
⎞
⎛
⎞
⎜
⎟
⎜
⎟
−
=
−
−
−
=
⎜
⎟
⎜
⎟
⎜
⎟
⎜
⎟
−
−
−
−
⎝
⎠
⎝
⎠
 

3
21
0
7
26
48
24
7
74

45
30
26
10
65
46
15
16
19 .

24
6
14
2
33
25
18
12
8

+
−
+
−
⎛
⎞
⎛
⎞
⎜
⎟
⎜
⎟
=
−
−
+
−
=
−
⎜
⎟
⎜
⎟
⎜
⎟
⎜
⎟
−
+
−
−
+
−
−
⎝
⎠
⎝
⎠

 

3. Найдем произведение матриц HI: 

 
3
1
4
4
1
2
6
2
5
9
3
5
3
1
3
HI
−
⎛
⎞
−
⎛
⎞⎜
⎟
=
−
−
=
⎜
⎟⎜
⎟
−
−
⎝
⎠⎜
⎟
−
⎝
⎠

 

4( 3)
1( 6)
2 3
4
1 2
2( 1)
4 4
1( 5)
2 3

9( 3)
3( 6)
5 3
9
3 2
5( 1)
9 4
3( 5)
5 3

−
−
−
+
⋅
− ⋅
+
−
⋅
−
−
+
⋅
⎛
⎞
=
=
⎜
⎟
−
−
−
− ⋅
− ⋅
−
−
⋅
−
−
− ⋅
⎝
⎠
 

12
6
6
4
2
2
16
5
6
0
0
27 .
27
18 15
9
6
5
36
15 15
24
8
36

−
+
+
−
−
+
+
⎛
⎞
⎛
⎞
=
=
⎜
⎟
⎜
⎟
−
+
−
−
+
+
−
−
⎝
⎠
⎝
⎠
 

1.2. Определители 

Перестановки 

Пусть каждое из чисел (k1, k2, …, kn) принимает одно из значений 
1, 2, …, n, причем среди этих чисел нет совпадающих. Тогда говорят, 
что числа (k1, k2,…, kn) являются некоторой перестановкой чисел 
1, 2, …, n.  
Обозначим Sn − множество всех перестановок на множестве первых n натуральных чисел. 
Заметим, что k1 может принимать n различных значений, тогда k2, 
при заданном k1, может принимать n − 1 значение, k3, при заданных 
k1 и k2, может принимать n − 2 значения и так далее. Следовательно, 
всего существует 1 ⋅ 2 ⋅ 3 ⋅ … ⋅ n = n! перестановок из n элементов. 
Перестановка (1, 2, …, n) называется тривиальной. 
Пусть дана перестановка (k1, k2, …, ki, …, kj, …, kn). Говорят, что 
пара чисел (ki, kj) образует инверсию (беспорядок) в заданной перестановке, если ki > kj при i < j. 
Перестановка называется четной, если число инверсий в ней четное, и нечетной, если число инверсий нечетное. 
Обозначим ε (k1, k2, …, kn) − число инверсий в заданной перестановке. 
Например, 
ε (1, 2, 3, 4) = 0 
(четная 
перестановка), 
ε (1, 2, 4, 3) = 1 (нечетная), ε (4, 3, 2, 1) = 6 (четная). 
Пусть А – квадратная матрица размера n × n: