Математический анализ : дифференциальное исчисление функций нескольких переменных

МИНИСТЕРСТВО ОБРАЗОВАНИЯ И НАУКИ РФ 

ФЕДЕРАЛЬНОЕ ГОСУДАРСТВЕННОЕ ОБРАЗОВАТЕЛЬНОЕ УЧРЕЖДЕНИЕ  
ВЫСШЕГО ПРОФЕССИОНАЛЬНОГО ОБРАЗОВАНИЯ  
«НАЦИОНАЛЬНЫЙ ИССЛЕДОВАТЕЛЬСКИЙ ТЕХНОЛОГИЧЕСКИЙ УНИВЕРСИТЕТ «МИСиС» 

 

 
 
 

 

 

 

 
 

 

№ 190 

Кафедра математики 
 
Е.Л. Плужникова 
Б.Г. Разумейко 

Математический анализ 

Дифференциальное исчисление функций 
нескольких переменных 

Учебное пособие 

Рекомендовано редакционно-издательским 
советом университета 

Москва  2011 

УДК 517 
 
П40 

Р е ц е н з е н т  
канд. техн. наук, доц. Л.А. Шамаро 

Плужникова, Е.Л. 
П40  
Математический анализ : дифференциальное исчисление 
функций нескольких переменных : учеб. пособие / Е.Л. Плужникова, Б.Г. Разумейко. – М. : Изд. Дом МИСиС, 2011. – 110 с. 
ISBN 978-5-87623-424-7 

В пособии приведены основные формулы и понятия по теме «Дифференциальное исчисление функций нескольких переменных», разобраны типовые 
задачи различных уровней сложности, а также даны условия домашнего задания. Количество вариантов обеспечивает индивидуальное задание каждому 
студенту. Типовые варианты контрольных работ и тестов, предназначенные 
для проверки усвоения курса, позволят студенту подготовиться к экзаменационной сессии. 
Предназначено для студентов всех специальностей. 

УДК 517 

ISBN 978-5-87623-424-7 
© Плужникова Е.Л., 
Разумейко Б.Г., 2011 

ОГЛАВЛЕНИЕ 

1. Дифференциальное исчисление функций нескольких переменных4 
1.1. Функции нескольких переменных..............................................4 
1.2. Предел и непрерывность функции двух переменных...............6 
1.3. Дифференцируемость функции многих переменных.............11 
1.4. Производные и дифференциалы высших порядков................22 
1.5. Производная сложной функции и производная функции, 
заданной неявно.................................................................................35 
1.6. Производная функции в данном направлении и градиент 
функции..............................................................................................47 
1.7. Касательная плоскость и нормаль к поверхности...................56 
1.8. Формула Тейлора для функции нескольких переменных ......61 
1.9. Экстремум функциёи нескольких переменных.......................65 
1.10. Условный экстремум функции двух переменных.................83 
1.11. Наибольшее и наименьшее значение функции 
в замкнутой ограниченной области.................................................92 
2. Домашнее задание ............................................................................102 
3. Вопросы для самопроверки .............................................................105 
4. Типовой вариант контрольной работы...........................................108 
Библиографический список.................................................................109 
 

1. ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНОЕ ИСЧИСЛЕНИЕ 
ФУНКЦИЙ НЕСКОЛЬКИХ ПЕРЕМЕННЫХ 

1.1. Функции нескольких переменных 

Величина u называется функцией переменных величин x1, x2, …, xn, 
если каждой точке М(x1, x2, …, xn), принадлежащей некоторому множеству X, поставлено в соответствие одно определенное значение 
величины u. Переменные x1, x2, …, xn называются аргументами или 
независимыми переменными. Множество X называется областью 
определения функции и обозначается D(f). Совокупность всех значений, которые функция принимает на множестве D(f), называется областью значений функции и обозначается E(f). 
Если u функция переменных величин x1, x2, …, xn, то  

u = f(x1, x2, …, xn). 

В основном будут рассмотрены функции двух и трех переменных. 
Рассмотрим более подробно z = f(x, y)– функцию двух переменных. Величина z называется функцией переменных величин x, y на 
множестве X, если каждой точке М(x, y) этого множества соответствует одно определенное значение величины z. Как и функции одной 
переменной, функции двух переменных могут быть заданы таблицей 
своих значений, аналитически (формулой) и графически. 
Табличное задание функции двух переменных состоит в том, что 
для каждой пары значений независимых переменных x, y указывается 
соответствующее им значение функции.  
При аналитическом способе задания функции двух переменных 
задается формула, при помощи которой по заданным значениям независимых переменных x, y можно найти значение функции.  
Если функция z = f(x, y) определена в некоторой области X на 
плоскости XOY, тогда каждой точке (x, y), принадлежащей области X, 
будет отвечать точка (x, y, f(x, y)) трехмерного пространства R3. 
Множество точек (x, y, f(x, y)) называется графиком функции 
z = f(x, y). Иными словами, графиком функции z = f(x, y) двух независимых переменных x и y называется множество точек, абсциссы и 
ординаты которых являются значениями x и y, а аппликаты – соответствующими значениями z. Графиком функции непрерывных аргументов обычно служит некоторая поверхность. Например, графи

ком функции z = x2 + y2 является эллиптический параболоид, графиком функции z = 4x + y – плоскость. 
В аналитической геометрии при изучении поверхностей второго 
порядка пользуются методом сечений, который заключается в том, 
что вид поверхности определяется с помощью исследования кривых, 
образованных при пересечении этой поверхности плоскостями, параллельными координатным плоскостям. Этот же метод применяется 
и при исследовании функций двух переменных.  Для изучения характера изменения функции пользуются линиями уровня. Линией уровня 
функции z = f(x, y) называется линия в плоскости XOY, в точках которой функция сохраняет постоянное значение. Для того чтобы получить линию уровня необходимо пересечь график функции плоскостью z = c, параллельной плоскости XOY, а затем спроектировать линию пересечения плоскости z = c и данной поверхности на плоскость 
XOY. Например, линиями уровня функции z = x2 + y2 являются концентрические окружности с центром в начале координат.  
Точно так же при изучении функции трех переменных u = f(x, y, z) 
используют поверхности уровня. Поверхностью уровня функции трех 
переменных u = f(x, y, z) называется такая поверхность f(x, y, z) = с, 
в точках которой функция принимает постоянное значение u = с. 

Пример 1.1.1 

Найти область определения функции 
2
2
1
z
x
y
=
−
−
, а также 
найти линии уровня данной функции.  
Решение 
Найдем область определения данной функции. Подкоренное выражение должно быть неотрицательным. Следовательно, 

2
2
2
2
1
0
1.
x
y
x
y
−
−
≥
⇒
+
≤
 

Таким образом, получили область определения функции – множество точек круга с центром в начале координат, радиус которого равен 1 (рис.1.1). 

Найдем линии уровня функции. Функция 
2
2
1
z
x
y
=
−
−
принимает постоянное значение z = c, если  

2
2
2
2
2
1
1
.
c
x
y
x
y
c
=
−
−
⇒
+
= −
 

 

Рис. 1.1 

Таким образом, при с ∈(−1, 1) линии уровня – концентрические 
окружности с центром в начале координат, а при с = ±1 линии уровня – точка с координатами (0, 0). 

Пример 1.1.2 
Найти поверхности уровня функции u = x2 + y2 – z2.  
Решение 
Функция u = x2 + y2 – z2 принимает постоянное значение z = c, если 

c = x2 + y2 – z2. 

Таким образом, при с > 0 поверхности уровня – однополостные 
гиперболоиды, при с < 0 – двуполостные гиперболоиды, а при с = 0 – 
конус второго порядка. 

1.2. Предел и непрерывность функции 
двух переменных 

Множество Uδ (P0) точек (x, y) плоскости XOY называется δ-окрест
ностью точки P0(x0, y0), если 
2
2
0
0
(
)
(
)
x
x
y
y
−
+
−
< δ , т.е. δ-окрестность точки P0(x0, y0) − это внутренность круга с центром в точке 
P0(x0, y0) радиуса δ. Проколотой δ-окрестностью точки P0(x0, y0) называется множество  

(
)
(
)
{
}

2
2
2
0
0
0
,
:0
(
)
(
)
,
U
P
x y
x
x
y
y
δ
=
∈
<
−
+
−
< δ
R
 

X

Y

1

1

т.е. проколотая δ-окрестность точки P0(x0, y0) − это внутренность 
круга с центром в точке P0(x0, y0) радиусом δ с выколотым центром. 
Пусть функция z = f(x, y) определена в некоторой проколотой окрестности Ů(P0) точки P0(x0, y0). Число а называется пределом функции z = f(x, y) при стремлении точки P(x, y) к точке P0(x0, y0), если для 
любого ε > 0 существует такое число δ = δ(ε) > 0, что для всех точек 

P(x, y) ∈ Ů(P0) и удовлетворяющих условию 
2
2
0
0
0
(
)
(
)
x x
y
y
<
−
+
−
<δ 
имеет место неравенство 

|
( , )
|
.
f x y
a
−
< ε  

Предполагается, что точка P(x, y) стремится к точке P0(x0, y0) по 
любому направлению, и все соответствующие предельные значения 
существуют и равны числу a. 
Обозначают: 

0
0

lim
( , )
.

x
x
y
y

f x y
a

→
→
=
 

Аналогично определяется предел для функции нескольких переменных. Все основные свойства пределов функции одной переменной переносятся на случай функций нескольких переменных. 
Последовательность {Pn(xn, yn)} точек плоскости XOY сходится к 
точке P0(x0, y0) этой плоскости тогда и только тогда, когда последовательности {xn}, {yn} координат точек Pn сходятся к соответствующим координатам х0, у0 точки P0. 
Для того чтобы функция z = f(x, y) имела предел в точке P0(x0, y0), 
необходимо и достаточно, чтобы для любой последовательности точек {Pn(xn, yn)}, имеющей пределом точку P0, существовал lim
(
)
n
n
f P

→∞
 

и был одинаковым для всех последовательностей {Pn(xn, yn)}. 
Функция z = f(x, y) называется непрерывной в точке P0(x0, y0), если 
функция определена в некоторой окрестности точки P0(x0, y0) и 

 
0
0

0
0
lim
( , )
(
,
).

x
x
y
y

f x y
f x
y

→
→
=
 

Функция z = f(x, y) называется непрерывной в некоторой области D, если она непрерывна в каждой точке этой области.  
Непрерывные функции двух переменных обладают теми же самыми свойствами, что и непрерывные функции одного переменного. 

Пример 1.2.1 

Вычислить 

0
0

3
9
lim
x
y

xy
xy
→
→

−
+
.  

Решение 
После подстановки в данное выражение x = 0 и y = 0 получим не
определенность вида 
0
0

⎛ ⎞
⎜ ⎟
⎝ ⎠ . Числитель и знаменатель дроби, стоящей 

под знаком предела, умножим на выражение, сопряженное к числителю, а затем преобразуем выражение, полученное в числителе по 
формуле разности квадратов (a – b)(a + b) = a2 − b2. 

0
0
0
0

3
9
(3
9)(3
9)
lim
lim
(3
9)
x
x
y
y

xy
xy
xy
xy
xy
xy
→
→
→
→

−
+
−
+
+
+
=
=
+
+
 

0
0
0
0

9
9
1
1
lim
lim
.
6
(3
9)
(3
9)
x
x
y
y

xy
xy
xy
xy
→
→
→
→

−
−
−
=
=
= −
+
+
+
+
 

Пример 1.2.2 

Вычислить 

2

2
2
1
0

ln (
)
lim
.

2
1
x
y

x
y

x
y
x
→
→

+

+
−
+
 

Решение 
После подстановки в данное выражение x =1 и y = 0 получим не
определенность вида 0

0

⎛ ⎞
⎜ ⎟
⎝ ⎠ . 

2
2

2
2
2
2
1
1
0
0

ln (
)
ln (1
1)
lim
lim
.

2
1
(
1)
x
x
y
y

x
y
x
y

x
y
x
x
y
→
→
→
→

+
+
+
−
=
+
−
+
−
+
 

Так как при x → 1, y → 0 функция x + y – 1 → 0, то можно заменить бесконечно малую функцию α(x, y) = ln(1 + x + y – 1)  на эквивалентную ей бесконечно малую функцию α1(x, y) = x + y – 1. Тогда  

2
2

2
2
2
2
1
1
0
0

ln (1
1)
(
1)
lim
lim
.

(
1)
(
1)
x
x
y
y

x
y
x
y
I

x
y
x
y
→
→
→
→

+
+
−
+
−
=
=
−
+
−
+
 

Сделаем замену x – 1 = z, где z → 0, а затем перейдем к полярным 
координатам: 

2
2

2
2
2
2
2
2
0
0
0

2
2

0

cos ;
(
)
( cos
sin )
lim
sin ;
lim
cos
sin
0

(cos
sin )
lim

z
r
y

r

z
r
z
y
r
r
I
y
r
z
y
r
r
r

r

r

→
→
→

→

=
ϕ
+
ϕ +
ϕ
=
=
=
ϕ =
=
+
ϕ +
ϕ
→

ϕ +
ϕ
=
=

 

2
2

0
0
lim (cos
2sin
cos
sin
)
lim (1
sin 2 )
0.

r
r
r
r
→
→
=
ϕ +
ϕ
ϕ +
ϕ =
+
ϕ =
 

Пример 1.2.3 

Вычислить 

2
2
3
3

2
2
0
0

lim
.

x
y

x
y
x
y

x
y
→
→

−
+
+
+
 

Решение 
После подстановки в данное выражение x = 0 и y = 0 получим не
определенность вида 0

0

⎛ ⎞
⎜ ⎟
⎝ ⎠ . Вычислим повторные пределы: 

2
2
3
3
2
3

2
2
2
0
0
0
0
1
lim lim
lim
lim
1;
1
x
y
x
x
x
y
x
y
x
x
x
x
y
x
→
→
→
→
⎛
⎞
−
+
+
+
+
=
=
=
⎜
⎟
+
⎝
⎠
 

2
2
3
3
2
3

2
2
2
0
0
0
0
1
lim lim
lim
lim
1.
1
y
x
y
y
x
y
x
y
y
y
y
x
y
y
→
→
→
→
⎛
⎞
−
+
+
−
+
− +
=
=
= −
⎜
⎟
+
⎝
⎠
 

Получили, что оба повторных предела существуют и конечны, но 
они не равны между собой. Следовательно, по теореме о единствен
ности предела 

2
2
3
3

2
2
0
0
lim
x
y

x
y
x
y

x
y
→
→

−
+
+
+
 не существует. 

Также можно показать, что данный предел не существует, рассмотрев изменение x и y вдоль прямых y = kx. Тогда данное выражение может стремиться к различным пределам в зависимости от выбранного значения k. Действительно, при y = kx  

2
2
3
3
2
2
3

2
2
2
2
0
0

(
)
(
)
(1
)
lim
lim
(
)
(1
)
x
x
y kx
y kx

x
kx
x
kx
x
k
x
k x

x
kx
x
k
→
→
=
=

−
+
+
−
+
+
=
=
+
+
 

2
3
2

2
2
0
1
1
lim
.
1
1
x
y kx

k
x
k x
k

k
k
→
=

−
+
+
−
=
=
+
+
 

Тогда при разных значениях k получаются различные предельные 
значения. Следовательно, данный предел не существует.  

Пример 1.2.4 

Вычислить 

2

4
2
0
0

lim
.

x
y

x y

x
y
→
→
+
 

Решение 
После подстановки в данное выражение x = 0 и y = 0 получим не
определенность вида 
0
0

⎛
⎞
⎜
⎟
⎝
⎠
. Рассмотрим изменение x и y вдоль пря
мых y = kx:  

(
)

2
2
3

4
2
2
2
2
2
2
2
4
0
0
0
0
0

lim
lim
lim
lim
0.

(
)
x
x
x
x
y
y kx
y kx
y kx

x y
x kx
kx
kx
x
y
x
x
k
x
k
x
kx
→
→
→
→
→
=
=
=
=
=
=
=
+
+
+
+
 

Рассмотрим изменение x и y вдоль параболы y = x2: 

2
2

2
2
2
4

4
2
4
4
4
0
0
0
0

1
lim
lim
lim
.
2
2
x
x
x
y
y x
y x

x y
x x
x
x
y
x
x
x
→
→
→
→
=
=

=
=
=
+
+
 

Получили, что предел вдоль прямых y = kx существует и равен 
при любом значении k нулю, а предел вдоль параболы y = x2 сущест
вует и равен 1

2 . Значит, по теореме о единственности предела 

2

4
2
0
0
lim
x
y

x y

x
y
→
→
+
 не существует. 

Пример 1.2.5 
Исследовать функцию  

2
2
2
(
)cos
,
0,
0;
( , )

0,
0,
0

xy
x
y
x
y
f x y
x
y
x
y

⎧
+
≠
≠
⎪
=
+
⎨
⎪
=
=
⎩

 

на непрерывность в точке (0, 0).