Высшая математика. Разделы : линейная алгебра, функции многих переменных, дифференциальные уравнения, поверхности в трехмерном пространстве

 

Орлов М.И., Софиева В.Ф. 
 

ВЫСШАЯ МАТЕМАТИКА

Разделы: 
линейная алгебра, 
функции многих переменных, 
дифференциальные уравнения, поверхности в трехмерном 
пространстве 

Учебное пособие

МОСКВА, 2000

№ 1560

 
Кафедра математики 

Орлов М.И., Софиева В.Ф. 

Одобрено  
методическим  
советом института 

ВЫСШАЯ МАТЕМАТИКА

Разделы: 
 линейная алгебра, 
функции многих переменных, 
дифференциальные уравнения, поверхности в трехмерном 
пространстве 

Учебное пособие  
для студентов специальностей 2001.00, 2002.00  

и направлений 5531.00, 5516.00, 5507.00

МОСКВА, 2000

№ 1560

АННОТАЦИЯ 

Учебное 
пособие 
поможет 
студентам 
второго 
курса 
познакомиться и освоить основные разделы высшей математики, а 
также основы специальных разделов, являющихся фундаментом 
математического аппарата математической и теоретической физики. 
Представленное пособие восполняет собой пробел в имеющейся 
учебно-методической литературе по указанным разделам математики 
и может оказаться полезным также и преподавателям математики, 
ведущим практические занятия в группах факультета ПМП. 
Материал пособия соответствует программе, лекционному 
курсу, а также реальным временным затратам, необходимым для 
усвоения полученных на лекциях теоретических сведений, и для 
приобретения практических умений и навыков по специальным 
разделам курса «Высшая математика». В течение 25 практических 
занятий третьего семестра изучаются следующие 4 темы: 
1) линейная алгебра и тензорная алгебра  (15 часов); 
2) функции многих переменных (11 часов); 
3) дифференциальные уравнения  (16 часов); 
4) поверхности в трехмерном пространстве (9 часов). 

 Московский государственный 

институт стали и сплавов 
(Технологический 
университет) (МИСиС) 2000

 

 

CОДЕРЖАНИЕ 

1. Линейная алгебра ……………………………………………. 5 
1.1. Матрицы и определители ………………………….………. 
5 
1.2. Линейная зависимость векторов …………………………… 11 
1.3. Системы линейных уравнений …………………………….. 12 
1.4. Гиперплоскость в n-мерном пространстве. 
Геометрическая интерпретация систем линейных  
уравнений ……………..…………………………………….. 15 
1.5. Собственные значения и собственные векторы  
матрицы линейного преобразования ……………………… 17 
1.6. Квадратичные формы ……………………………………… 19 
1.7. Тензорная алгебра ………………………………………….. 21 

2. Функции многих переменных ……………………………… 30 
2.1. Предел и непрерывность …………………………………… 30 
2.2. Частные производные 1-го и 2-го порядка.  
Дифференциалы ………………………………………..…… 31 
2.3. Производная по направлению. Градиент ……………….… 35 
2.4. Формула Тейлора для функций многих переменных …….. 38 
2.5. Экстремум функций многих переменных …………………. 39 
2.6.Задача линейного программирования ………………………. 43 

3. Дифференциальные уравнения …………………………….. 48 
3.1. Дифференциальные уравнения с разделяющимися  
переменными и приводимые к ним ……………………….. 48 
3.2. Линейные уравнения первого порядка и приводимые  
к ним …………………………………………………………. 50 
3.3. Уравнения в полных дифференциалах. Интегрирующий 
множитель ……………………..……………………….…… 52 
3.4. Уравнения, неразрешенные относительно производной … 55 
3.5. Дифференциальные уравнения, допускающие понижения 
порядка ………………………………………………………. 57 
3.6. Линейные уравнения 2-го порядка с постоянными 
коэффициентами ……………………………………..……… 60 
3.7. Особые точки дифференциальных уравнений ……………. 62 

СОДЕРЖАНИЕ 

4 

3.8. Системы дифференциальных уравнений первого 
порядка ……………………………………..……………….. 64 

4. Поверхности в трехмерном пространстве ……………….. 70 
4.1. Криволинейные координаты и первая основная  
квадратичная форма поверхности ………………………… 70 
4.2. Уравнения Гаусса и Вейнгартена поверхности в  
пространстве. Условия совместности Петерсона-Кодацци 
и теорема Эгрегиум Гаусса ………………………………… 74 
4.3. Вторая основная квадратичная форма. Главные кривизны, 
гауссова и средняя кривизна поверхности. Линии  
кривизны …………………………………………………….. 77 
4.4. Дифференциальные свойства конкретных поверхностей … 81 
4.5. Геодезическая и нормальная кривизна кривой на  
поверхности. Геодезические линии поверхности …………. 92 
 

1. ЛИНЕЙНАЯ АЛГЕБРА 

1.1. Матрицы и определители 

ОПРЕДЕЛЕНИЕ. Матрицей A называется упорядоченная 
таблица чисел 

 



















=
=
=
=

mn
m
m

n

n

n
j
m
i
ij

a
a
a

a
a
a
a
a
a

a
A

...
...
...
...
...
...
...

)
(

2
1

2
22
21

1
12
11

...
1
...
1
, 

где а ij –  элемент ы мат рицы. 
Если m = n, то матрицу называют квадрат ной, в противном 
случае – прямоугольной. 

Дейст вия с мат рицами 

1. Суммой матриц А и В размеров m × n называется матрица 
С = А + В размера m × n такая, что сij = a i j + bij для всех i, j. 
2. Произведением мат рицы А размера m × n на число α называется 
матрица С = αА размера m × n такая, что сij = αa ij для всех i, j. 
3. Произведением матрицы А размера m × n и матрицы В размера 
n × р называется матрица С=АВ размера m × p такая, что 

∑
=
=
n

k
kj
ik
ij
b
a
c
1

для всех i, j. 

4. Матрица АТ размера n × m называется т ранспонированной к матрице А размера m × n, если аT
ij = a ji. 

Орлов М.И., Софиева В.Ф. 

6 

Задачи 

1.1. Вычислить ATB – C  и BTA + 2C, если 

.
1
2
2
1
,
1
4
2
3
1
2
,
3
1
0
2
2
1































=
−
=
=
C
B
A
 

1.2. Вычислить АВ – ВА, если 

а) 




























−
=
=
1
2
1
0
2
4
1
1
4
,
3
2
1
2
1
2
1
2
1
B
A
; 

б) 





























−
−
−
=
−
=
3
1
1
0
4
1
2
1
1
,
1
2
1
2
1
1
0
1
2
B
A
. 

1.3. Вычислить An, если 

а) 








=
a

b
a
A
0

,  б) 








α
α

α
−
α
=
cos
sin

sin
cos
A
,  в) 








λ
=
1
0

1
A
. 

ОПРЕДЕЛЕНИЕ. Определитель квадратной матрицы А  

 

nn
n
n

n

n

a
a
a

a
a
a
a
a
a

A
D

...
...
...
...
...
...
...

det

2
1

2
22
21

1
12
11

=
=
 

есть сумма п! произведений 
n
nk
k
k
p
a
a
a
...
)1
(
2
1 2
1
−
, каждое из ко
торых соответствует одному из n! упорядоченных множеств k1, k2, 

1. ЛИНЕЙНАЯ АЛГЕБРА  

7

…, kn, полученных p транспозициями элементов множества  1, 2, …, 
n. 

ОПРЕДЕЛЕНИЕ. Минором M k-го порядка матрицы А Размером n × n называется определитель матрицы состоящей из элементов, стоящих на пересечении произвольных k столбцов и k строк 
матрицы А. 
Соответствующим ему алгебраическим дополнением называется произведение минора М на (–1)s, где s – сумма номеров всех 
строк и столбцов, в которых расположен минор М, равная 

 
s = i1 + i2 + …+ ik + j1 + j2 + … + jk. 

Например: Mik – минор элемента а ik, т. е. определитель матрицы, получаемой из исходной вычеркиванием i-ой строки и k-ого 
столбца, Аik – алгебраическое дополнение элемента а ik матрицы А, 
Aik = (–1)i + kMik.  

ТЕОРЕМА ЛАПЛАСА 

Пусть в определителе n-го порядка произвольно выбраны k 
строк, k < n. Тогда определитель равен сумме произведений всех 
миноров k-го порядка, содержащихся в выбранных строках, на их 
алгебраические дополнения. 

СЛЕДСТВИЕ ТЕОРЕМЫ ЛАПЛАСА 

Определитель матрицы A можно вычислить с помощью рекуррентной формулы разложения по любой строке (столбцу). 
При разложении по i-ой строке 

 
∑
=
=

n

k

ik
ik A
a
D

1

, 

т. е. определитель равен сумме произведений всех элементов произвольной строки на их алгебраические дополнения. 

Орлов М.И., Софиева В.Ф. 

8 

Аналогично пишется разложение по j-му столбцу. 

Свойст ва определит еля 

1. DT = D. 
2. При перестановке двух строк определитель меняет знак на противоположный. 
3. При умножении всех элементов какой-либо строки на число определитель умножается на это число. 
4. Определитель матрицы не изменится, если к элементам какойлибо строки прибавить соответствующие элементы другой строки, 
умноженные на общий множитель. 
5. Определитель треугольной матрицы равен произведению диагональных элементов: 

 
nn

nn

n

n

a
a
a

a

a
a
a
a
a

⋅
⋅
⋅
=
...

0
0
0
...
...
...
...
...
0
...

22
11
2
22

1
12
11

. 

6. det(AB) = det A det B. 

Задачи 

1.4. Вычислить определитель матрицы 
















−
=

1
0
2

7
2
3

3
2
1

A
  

двумя способами: разложением по строке и приведением к треугольному виду. 

1.5. Вычислить определители: 

а) 
α
α
α
−
α
cos
sin
sin
cos

,  б) 

2

2

2

1
1
1

c
c
b
b
a
a

,  в) 

4
4
4
4
4
3
3
3
4
3
2
2
4
3
2
1

,  г) 

0
1
1
4

1
2
1
3

0
3
1
2

1
4
1
1

,  

1. ЛИНЕЙНАЯ АЛГЕБРА  

9

д) 

2
1
6
4
7
2
9
5
4
1
7
3
2
1
5
2

−
−
−
−
−

, е) 

5
4
8
7
2
3
5
4
7
2
8
5
6
3
9
3

−
−
−
−
−
−
−
−

, ж) 

n

n
n
n

...
3
2
1
...
...
...
...
...
...
0
2
1
...
3
0
1
...
3
2
1

−
−
−

−
−
−

, 

з) 

3
...
2
2
2
...
...
...
...
...
2
...
3
2
2
2
...
2
3
2
2
...
2
2
3

,         и) 

3
2
...
0
0
0

2
3
2
...
0
0

...
...
....
...
...
...

0
...
2
3
2
0

0
...
0
2
3
2

0
...
0
0
2
3

. 

ОПРЕДЕЛЕНИЕ. Матрица А–1 называется обратной к квадратной матрице А, если АА–1 = А –1А = Е. Здесь Е = (δij) – еди
ничная матрица, 




≠

=
=
δ
j
i

j
i
ij
,0

,1

 – символ Кронеккера. 

 

T



















×
=
−

nn
n
n

n

n

A
A
A

A
A
A

A
A
A

A
A

...

...
...
...
...

...

...

det
1

2
1

2
22
21

1
12
11

1
, 

где Аij – алгебраическое дополнение элемента а ij. 

Задачи 

1.6. Найти А–1 двумя способами: по определению и методом 
Гаусса (т. е. одновременным преобразованием матрицы А и единич
ной матрицы), если 














=

−

−

0
1
2

1
1
3

3
2
1
A
.