Высшая математика. Раздел : операционное исчисление и его приложения

 

Недосекина И.С., Троицкая С.Д. 
 

ВЫСШАЯ МАТЕМАТИКА 

Раздел: Операционное исчисление и его приложения 

Учебное пособие 

МОСКВА, 2000 

№ 194 

 
Кафедра математики 

Недосекина И.С., Троицкая С.Д. 

Одобрено  
методическим  
советом института 

ВЫСШАЯ МАТЕМАТИКА 

Раздел: Операционное исчисление и его приложения 

Учебное пособие 
для практических занятий 
 студентов всех специальностей 

МОСКВА, 2000 

 
№ 194 

АННОТАЦИЯ 

Учебное 
пособие 
предназначается 
студентам 
всех 
специальностей МИСиС для подготовки к практическим занятиям и 
контрольной работе по теме «Преобразование Лапласа и приложения 
операционного исчисления», а также к письменной экзаменационной 
работе третьего семестра, элементом которой может являться 
решение линейных дифференциальных уравнений с постоянными 
коэффициентами и систем операционным методом. 
Основы операционного исчисления и его приложения, в той 
или иной степени, входят в обязательную программу инженерной 
подготовки. 
Пособие содержит необходимые теоретические сведения, 
относящиеся к преобразованию Лапласа, примеры решения задач, а 
также задачи для самостоятельного решения. Особое внимание 
уделено решению линейных дифференциальных уравнений в тех 
случаях, когда применение операционного исчисления проще, чем 
традиционных для дифференциальных уравнений методов, что 
особенно важно в инженерных расчетах.  

 Московский 
государственный институт 
стали и сплавов 
(Технологический 
университет) (МИСиС) 2000
 

СОДЕРЖАНИЕ 

Введение……………………………………………………………… 
4 
1. Определение преобразования Лапласа и его основные 
свойства ……………………………………………………..……. 
5 
2. Восстановление оригинала по его изображению………………. 13 
2.1. Метод разложения правильной рациональной дроби в сумму 
простейших дробей……………………………..……….….. 13 
2.2. Использование формулы обращения ……………………… 16 
3. Приложения операционного исчисления. …………………..….. 19 
3.1. Решение линейных дифференциальных уравнений  
с постоянными коэффициентами ……………………….… 19 
3.2. Решение систем линейных дифференциальных уравнений 
с постоянными коэффициентами …………………..……… 24 
4. Задачи для самостоятельного решения ………….…………….. 26 
Литература …………………………………………………………… 29 
Приложение. Оригиналы и изображения.…………………………. 30 
 
 

ВВЕДЕНИЕ 

Операционное исчисление – это один из методов математического анализа, позволяющий в ряде случаев сводить исследование 
дифференциальных операторов и решение уравнений, содержащих 
эти операторы, к решению более простых алгебраических задач. Его 
популяризации в конце XIX – начале XX века в сильной мере способствовал английский инженер-электрик О. Хевисайд, который предложил формальные правила обращения с оператором дифференциро
вания 
dt
d
p 
 (t-независимая переменная) и успешно решил ряд 

прикладных задач. Однако операционное исчисление не получило у 
него математического обоснования: оно было дано лишь в двадцатых 
годах ХХ столетия с помощью преобразования Лапласа. При этом 
оператор р получил новое толкование, как комплексная переменная. 
Операционный метод состоит в следующем: дифференцирование и интегрирование заменяют алгебраическими операциями, 
дифференциальные уравнения – алгебраическими. По найденным 
решениям алгебраических уравнений восстанавливают решения исходных дифференциальных уравнений. 
В настоящем пособии излагаются основные положения операционного метода и иллюстрируются его применения к различным 
задачам анализа и математической физики. 

1. ОПРЕДЕЛЕНИЕ ПРЕОБРАЗОВАНИЯ 
ЛАПЛАСА И ЕГО ОСНОВНЫЕ 
СВОЙСТВА  

ОПРЕДЕЛЕНИЕ 

Функцией-оригиналом f(t) будем называть любую комплекснозначную функцию действительной переменной t, удовлетворяющую приведенным ниже условиям. 
1. На любом конечном отрезке [0, T] функция f(t) может иметь 
лишь конечное число точек разрыва, причем только первого рода. 

2. f(t)  0 при t < 0, а  f(0) = f(+0). 

3. f(t) растет при t+ не быстрее показательной функции, т. е. 
существуют такие постоянные   0 и M > 0, что  

 
f(t)< M e t     для всех  t > 0. 

Точная нижняя грань чисел , для которых имеет место последнее 
неравенство, т. е. величина 0 = inf , называется показателем роста функции f(t). 

ОПРЕДЕЛЕНИЕ 

Преобразованием Лапласа (или изображением) функцииоргинала f(t) называется функция комплексной переменной F(p), 
определяемая формулой: 

 






0
)
(
)
(
dt
e
t
f
p
F
pt
, 
(1.1) 

которая называется интегралом Лапласа. 
Фразу «функция f(t) имеет изображение F(p)» символически 
будем записывать так: 

 
f(t)     F(p)   или   F(p)       f(t). 
.  .
.  .

Недосекина И.С., Троицкая С.Д. 

6 

Для всякого оригинала f(t) изображение F(p) определено в 
полуплоскости Re p > 0 и является в этой полуплоскости аналитической функцией. 
Отметим также, что  если функция f(t) является оригиналом, а 
F(p) – ее изображением, то в любой точке, где f(t) непрерывна, справедлива формула обращения преобразования Лапласа 

 









i
a

i
a

pt
dp
p
F
e
i
t
f
)
(
2
1
)
(
, 
(1.2) 

где интеграл берется вдоль любой прямой Re p = а > 0 и вычисляется как предел интеграла вдоль отрезка (a – ib, a + ib) при b  
+. Формула (1.2) называется формулой Меллина, а интеграл в ее 
правой части – интегралом Меллина. 

В качестве примеров на вычисление интегралов Лапласа (1.1) 
найдем изображения некоторых простых функций.  

Пример 1.1. Найти изображение простейшей функции-оригинала 

 







1
,1
,0
,0
)
(
t
t
t
, 
(1.3) 

называемой единичной функцией или единицей Хевисайда. 

Решение 
Найдем изображение функции (1.3) по определению преобразования Лапласа (1.1): 

(t)    
e
dt
p e
p
e
pt
pt

t
t

pt











 
 




 

0
0

1
1
1
lim
 



p
1
















yt
i
yt
e
p
p
e
p
p
xt

t

t
iy
x

t
sin
cos
lim
1
1
lim
1
1
)
(
, 

здесь p = x + iy – комплексная величина; 
x = Re p > 0. 

.  . 

1. Определение преобразования Лапласа и его основные свойства   

7 

Очевидно, если функция (t) удовлетворяет условиям 1 и 3 в 
определении оригинала, то f(t)= (t)(t) удовлетворяет также и условию 2, т. е. является оригиналом (например, f(t) = cost(t)). В 
дальнейшем будем рассматривать функции-оригиналы, опуская множитель (t), и считая их равными 0 при отрицательных t. 

Пример 1.2. Найти изображение показательной функции  f(t) = еt. 

Решение 
По формуле (1.1) находим: 

еt      

0

)
(

0

)
(

0
)
(
1






















t
p
t
p
pt
t
e
p
dt
e
dt
e
e
= 



 p
1
,   если Re (p – ) > 0. 

Пример 1.3. Найти изображение степенной функции  fn(t) = tn. 

Решение 
С помощью интегрирования по частям получим рекуррентную формулу, позволяющую найти искомое изображение. Итак при 
n = 0, 1, 2, … найдем изображение исходной функции по формуле (1.1) 

tn     





0
dt
e
t
pt
n
=













0

1

0
dt
e
t
p
n
e
p
t
pt
n
pt
n
 

=







0

1
dt
e
t
p
n
pt
n
,  если Re p > 0. 

То есть  

)
(
)
(
1 p
F
p
n
p
F
n
n


,     где   
n
n
t
p
F
)
(
. 

При n = 0 функция f0(t) = (t) (1.3), изображение которой 
найдено в примере 1.1, поэтому  

.  . 

.  . 

.  . 

Недосекина И.С., Троицкая С.Д. 

8 

1
3
2
2
1
0
!
)
(
...,
,
2
)
(
,
1
)
(
,
1
)
(





n
n
p

n
p
F
p
p
F
p
p
F
p
p
F
. 

Таким образом, мы установили, что степенной функции tn соответствует изображение: 

tn
       
1
!

n
p

n
 для  Re p > 0  , n = 0, 1, 2, … 

Свойства преобразования Лапласа 

Теперь отметим некоторые основные свойства преобразования Лапласа, которыми мы будем пользоваться в дальнейшем, и приведем примеры их применения. 

1. Линейность. Пусть функции  f1(t), f2(t), …, fn(t) – оригиналы с показателями роста 1, 2, …, n, соответственно. Тогда в 
полуплоскости Re p > max{1, 2, …, n} для любых постоянных  
с1, с2, …, сn справедлива формула: 

 с1 f1(t) + с2 f2(t) + … + сn fn(t)     с1 F1(p) + с2 F2(p) + …+ сn Fn(p), (1.4) 

т. е. изображением линейной комбинации оригиналов является линейная комбинация изображений с теми же коэффициентами. 

Пример 1.4. Найти изображения для cos t , sin t, ch t, sh t, 
используя свойство линейности (формула (1.4)) и найденное в примере 1.2 изображение для показательной 
функции.  

Решение 

2
cos
t
i
t
i
e
e
t



 


      













i
p
i
p
1
1
2
1
 = 
2
2


p

p
   при  

Re p > Im. 
Аналогично находим изображения для остальных функций. 

2. Подобие. Пусть f(t)     F(p) при Re p > 0. Тогда для любого постоянного a > 0 справедливо соотношение 

.  . 

.  . 

.  .

.  . 

1. Определение преобразования Лапласа и его основные свойства   

9 

 
f(at)      (1/a)F(p/a)  при Re p > a0. 
(1.5) 

3. Смещение изображения. Пусть f(t)      F(p) при Re p > 0. 
Тогда для любого комплексного числа  в полуплоскости  
Re(p – ) > 0 справедливо соотношение  

 
et f(t)      F(p – ), 
(1.6) 

т. е. умножению оригинала на et соответствует смещение изображения на . 
Свойство смещения изображения (1.6) позволяет по известным изображениям функций находить изображения этих же функций, 
умноженных на экспоненту. 

Пример 1.5. Найти изображение функции 
t
e t

 cos
. 

Решение 
Используя результат примера 1.4 и свойство смещения изображения (1.6), получим 

t
e t

 cos
      
2
2
)
(








p

p
. 

4. Запаздывание оригинала. Пусть f(t)    F(p) при Rep > 0. 
Тогда для любого  > 0 справедлива формула: 

 
f(t – )      е–рF(p), 
(1.7) 

т. е. оригиналу с запаздыванием на  соответствует изображение 
F(p), умноженное на е–р (см. рисунок). 
 
 
 
       
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
                                        
 
 
                                          t

f(t)                  f(t – ) 

.  .

. .

. 

. .

. .

.  . 

Недосекина И.С., Троицкая С.Д. 

10 

Пример 1.6. Найти изображение функции f(t) = (t – a) – (t – b), 
график которой изображен на рисунке. 

 
  
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 

Решение 
В примере 1.1 мы нашли изображение для единичной функ
ции Хевисайда (1.3): (t)     p
1 . Воспользовавшись свойством запаз
дывания оригинала (1.7) и свойством линейности (1.4), получим, что 
изображение заданной функции 

F(p) = 
p
e
e
bp
ap



. 

5. Дифференцирование оригинала. Пусть функция  f(t) и ее 
производные  f (k)(t), k = 1, 2, …, n, являются оригиналами с показателями роста 0, 1, 2, …, n, соответственно, причем f(t)    F(p). 
Тогда для любого k =1, 2, …, n  в полуплоскости Re p > max{0, 
1, 2, …, n} справедлива формула 

 f (k)(t)     pkF(p) – (pk – 1f(0) + pk – 2 f  (0) + … + f (k – 1)(0)) ,(1.8) 

В случае, когда f(0) = f  (0) = … = f(n – 1)(0) = 0, последняя 
формула сильно упрощается и принимает следующий  вид: 

  
f (k)(t)     pkF(p),     k = 1, 2, …, n, 
(1.9) 

т. е. изображение производной k-го порядка является изображением 
функции, умноженным на р в k-й степени. 

1 

0             a                      b                t

.  .

.  .

.  .

.  .