Математический анализ : несобственные интегралы

МИНИСТЕРСТВО ОБРАЗОВАНИЯ И НАУКИ РФ 

ФЕДЕРАЛЬНОЕ ГОСУДАРСТВЕННОЕ АВТОНОМНОЕ ОБРАЗОВАТЕЛЬНОЕ УЧРЕЖДЕНИЕ  
ВЫСШЕГО ПРОФЕССИОНАЛЬНОГО ОБРАЗОВАНИЯ  
«НАЦИОНАЛЬНЫЙ ИССЛЕДОВАТЕЛЬСКИЙ ТЕХНОЛОГИЧЕСКИЙ УНИВЕРСИТЕТ «МИСиС» 

 

 
 
 

 

 

 

 
 

 

№ 2140 

Кафедра математики

Т.В. Лоссиевская 

Математический анализ

Несобственные интегралы 

Учебно-методическое пособие 

Рекомендовано редакционно-издательским 
советом университета 

Москва  2012 

УДК 51 
 
Л79 

Р е ц е н з е н т  
канд. пед. наук, доц. Ю.А. Андреенко 

Лоссиевская, Т.В. 
Л79  
Математический анализ : несобственные интегралы : учеб.метод. пособие / Т.В. Лоссиевская. – М. : Изд. Дом МИСиС, 
2012. – 61 с. 
ISBN 978-5-87623-596-1 

Учебно-методическое пособие содержит справочный материал по теме 
«Несобственные интегралы», задачи для индивидуальных домашних заданий, а также подробный разбор методов решения типовых задач домашнего 
задания.  
Предназначено для студентов, обучающихся по специальности 231300. 

УДК 51 

ISBN 978-5-87623-596-1 
© Т.В. Лоссиевская, 2012 

ОГЛАВЛЕНИЕ 

Оглавление ................................................................................................... 3 
1. Определение несобственных интегралов и их свойства..................... 4 
1.1. Несобственный интеграл 1-го рода............................................ 4 
1.2. Несобственный интеграл 2-го рода............................................ 5 
1.3. Другие виды несобственных интегралов................................... 7 
1.4. Свойства несобственных интегралов......................................... 8 
1.5. Критерий Коши сходимости несобственных интегралов...... 10 
1.6. Несобственные интегралы от неотрицательных функций .... 10 
1.7. Абсолютно и условно сходящиеся интегралы........................ 11 
1.8. Признаки Дирихле и Абеля сходимости интегралов............. 11 
1.9. Главное значение несобственного интеграла.......................... 12 
2. Решение типовых задач .................................................................... 13 
3. Задания................................................................................................ 42 
Литература.................................................................................................. 60 

1. ОПРЕДЕЛЕНИЕ НЕСОБСТВЕННЫХ 
ИНТЕГРАЛОВ И ИХ СВОЙСТВА 

1.1. Несобственный интеграл 1-го рода 

Определение 1.1. Пусть функция f(x) определена на промежутке 

[ ,
)
a + ∞  и интегрируема на любом отрезке [ ,
]
[ ,
).
a
a
ξ ⊂
+ ∞  Символ 

( ) d

a

f x
x

+∞
∫
 называется несобственным интегралом 1-го рода от функ
ции f(x) на промежутке [ ,
).
a + ∞  

Определение 1.2. Несобственный интеграл 
( )d

a

f x
x

+∞
∫
 называется 

сходящимся, если существует конечный lim
( )d ,

a

f x
x

ξ

ξ→+∞ ∫
 в противном 

случае этот несобственный интеграл называется расходящимся. 
Сходящийся несобственный интеграл определяется равенством 

 
 
( )d
lim
( )d .

a
a

f x
x
f x
x

ξ
+∞

ξ→+∞
=
∫
∫
  
(1.1)  

Отметим, что для расходящегося несобственного интеграла либо 

lim
( )d

a
f x
x

ξ

ξ→+∞
= ∞
∫
, либо lim
( )d

a

f x
x

ξ

ξ→+∞∫
 не существует. 

Пример 1.1. Исследовать сходимость интеграла 

1

d
( )
p
x
I p

x

+∞
= ∫
. 

Решение 
а) 
1.
p≠
 Имеем 

    
(
)

1
1

1
1
1

1
,
1,
d
d
1
1
lim
lim
lim 1
1
1
,
1.

|

p
p
p
p
p
x
x
x
p
p
p
x
x
p

ξ
+∞
−
ξ
−

ξ→+∞
ξ→+∞
ξ→+∞

⎧
>
⎪
−
=
=
=
− ξ
= ⎨
−
−
⎪+∞
<
⎩
∫
∫
 

Отсюда следует, что I(p) сходится при p > 1 и расходится при p < 1. 
б) р = 1. Тогда 

1
1
1

d
d
lim
lim ln
lim ln
.
|
x
x
x
x
x

ξ
+∞

ξ→+∞
ξ→+∞
ξ→+∞
ξ
=
=
ξ = +∞
=
∫
∫
 

Таким образом, интеграл I(1) расходится. 

Ответ: интеграл 

1

d

p
x
x

+∞
∫
 сходится при p > 1 и расходится при 
1.
p ≤
 

Пример 1.2. Исследовать сходимость интеграла 

0

cos
d
x x

+∞
∫
. 

Решение  
Имеем 

   

0
0
0

cos
d
lim
cos
d
lim sin
lim sin
|
x x
x x
x

ξ
+∞

ξ→+∞
ξ→+∞
ξ→+∞
ξ
=
=
ξ
=
∫
∫
 – не существует. 

Ответ: интеграл 

0

cos
d
x x

+∞
∫
 расходится. 

Аналогично интегралу 
( )d

a

f x
x

+∞
∫
 определяются следующие инте
гралы: 

 
 
( )d
lim
( )d ;

a
a

f x
x
f x
x

ξ→−∞
−∞
ξ
=
∫
∫
  
(1.2) 

 
( )d
( )d
( )d ,
,

b

b

f x
x
f x
x
f x
x b
R

+∞
+∞

−∞
−∞
=
+
∈
∫
∫
∫
  
(1.3)  

причем интеграл в левой части равенства (1.3) сходится тогда и только 
тогда, когда сходятся оба интеграла в правой части равенства (1.3). 

1.2. Несобственный интеграл 2-го рода 

Определение 1.3. Пусть функция f(x)определена на конечном промежутке [a, b), интегрируема на любом отрезке [ , ]
[ , ).
a
a b
ξ ⊂
 Символ 

( )d

b

a

f x
x
∫
 называется несобственным интегралом 2-го рода от функции 

f(x) на промежутке [a, b). 

Определение 1.4. Несобственный интеграл 
( )d (
)

b

a
f x
x a b
<
< +∞
∫
 

называется сходящимся, если существует конечный 
0
lim
( )d ,

b
a

f x
x

ξ

ξ→ − ∫
 в 

противном случае этот интеграл называется расходящимся. 
Сходящийся несобственный интеграл определяется равенством 

 
 
0
( )d
lim
( )d .

b

b
a
a

f x
x
f x
x

ξ

ξ→ −
=
∫
∫
  
(1.4) 

Отметим, что определение 1.4 сходящегося несобственного интеграла 2-го рода на промежутке [a, b) является содержательным лишь 
в том случае, когда функция f(x) неограничена на любом интервале 
(
, ),
(0,
).
b
b
b
a
− δ
δ∈
−
 Действительно, если функция f(x) интегрируема (в смысле Римана) на любом отрезке [ , ]
[ , )
a
a b
ξ ⊂
, ограничена на 
[a, b), то, доопределив f(x) в точке b, получим функцию, интегрируемую по Риману на отрезке [a, b], причем интеграл Римана от этой 
функции равен пределу в правой части (1.4) и не зависит от f(b). Поэтому при рассмотрении несобственных интегралов 2-го рода на 
промежутке [a, b) будем считать, что функция f(x) неограничена на 
любом интервале (
, ),
(0,
).
b
b
b
a
− δ
δ∈
−
 
Определение 1.5. Точка b(b 
)
≠ ∞  числовой оси называется особой точкой подынтегральной функции f(x) (см. формулу (1.4)), если 
на любом интервале (
, ),
(0,
)
b
b
b
a
− δ
δ∈
−
 она является неограниченной. 
Аналогично интегралу (1.4) определяются интегралы 

 
0
( )d
lim
( )d (

b
b

a
a

f x
x
f x
x a

ξ→ +
ξ
=
∫
∫
 – особая точка); 

 
( )d
( )d
( )d (
( , )

b
c
b

a
a
c

f x
x
f x
x
f x
x c
a b
=
+
∈
∫
∫
∫
 – особая точка). 

Пример 1.3. Исследовать сходимость интеграла I(p) = 

1

0

d .
p
x
x∫
 

Решение  
а) р ≠  1. Имеем 

 
(
)

1
1
1
1
1

0
0
0
0

1
,
1,
d
d
1
1
lim
lim
lim 1
1
1
,
1.
|

p
p
p
p
p
x
x
x
p
p
p
x
x
p

−
−

ξ
ξ→+
ξ→+
ξ→+
ξ

⎧
<
⎪ −
=
=
=
− ξ
= ⎨
−
−
⎪+∞
>
⎩
∫
∫
 

Отсюда следует, что интеграл I(p) сходится при p < 1 и расходится 
при p > 1. 
б) р = 1. Имеем 

 
(
)

1
1
1

0
0
0
0

d
d
lim
lim ln
lim
ln
.
x
x
x
x
x
ξ→+
ξ→+
ξ
ξ→+
ξ
=
=
=
−
ξ = + ∞
∫
∫
 

Таким образом, интеграл I(1) расходится. 

Ответ: интеграл I(p) = 

1

0

d

p
x
x∫
 сходится при p < 1 и расходится при 

p 
1
≥ . 

1.3. Другие виды несобственных интегралов 

Определение 1.6. Пусть функция f(x) определена на конечном или 
бесконечном промежутке (a, b) за исключением точек 
,
kx
1,
,
k =
…
,n  

1
2
где
.
n
a
x
x
x
b
=
<
<
<
=
…
 Тогда по определению несобственный 

интеграл 

 
 

1

1

( )d
( )d .

k

k

x
b
n

k
a
x

f x
x
f x
x

+

=
=∑
∫
∫
  
(1.5) 

Определение 1.7. Несобственный интеграл 
( )d

b

a

f x
x
∫
 называется 

сходящимся, если сходится каждый из интегралов в правой части (1.5). 

В противном случае интеграл 
( )d

b

a

f x
x
∫
 называется расходящимся. 

В дальнейшем мы будем рассматривать несобственные интегралы 

вида 
( )d

b

a

f x
x
∫
 в предположении, что: 

а) функция f(x) определена при 
,
a
x
b
≤
<
 где b – либо конечная 
точка, либо b = +∞ ; 
б) функция f(x) интегрируема по Риману на любом отрезке [a, ξ ] 
⊂  [a, b). 
Тогда по определению несобственного интеграла 

( )d
lim
( )d ,

a
a
f x
x
f x
x
b

ξ
+∞

ξ→+∞
=
= + ∞
∫
∫
 (несобственный интеграл 1-го 

рода); 

0
( )d
lim
( )d ,

b

b
a
a
f x
x
f x
x
b

ξ

ξ→ −
=
≠+ ∞
∫
∫
 (несобственный интеграл 2-го 

рода). 

1.4. Свойства несобственных интегралов 

1. Линейность. Если сходятся интегралы 
( )d и
( )d ,

b
b

a
a

f x
x
g x
x
∫
∫
 то 

при любых 
,
R
α β∈
 сходится интеграл (
)
( )
( ) d

b

a

f x
g x
x
α
+ β
∫
 и имеет 

место равенство 

 
(
)
( )
( ) d
( )d
( )d .

b
b
b

a
a
a

f x
g x
x
f x
x
g x
x
α
+ β
= α
+ β
∫
∫
∫
 

2. Формула Ньютона–Лейбница. Если функция f(x) непрерывна 
на промежутке [a, b), F(x) – первообразная для функции f(x), то не
собственный интеграл 
( )d

b

a

f x
x
∫
 сходится тогда и только тогда, когда 

существует конечный 
0
lim
( )
(
0),

b
F
F b
ξ→ −
ξ =
−
 причем 

 
 
( )d
(
0)
( ).

b

a

f x
x
F b
F a
=
−
−
∫
  
(1.6) 

Формула (1.6) называется формулой Ньютона–Лейбница для несобственного интеграла. 
Замечание. Если 
, то в формуле (1.6)
(
0)
(
).
= + ∞
−
=
+∞
b
F b
F
 

3. Интегрирование по частям. Пусть функции u(x) и v(x) непрерывно дифференцируемы на промежутке [a, b) и существует конечный 
(
)
0.
0
lim
( ) ( )
(
) |
b
b
u
v
uv
ξ= −
ξ→ −
ξ
ξ
=
 

Тогда интегралы 
( ) ( )d ,
( ) ( )d

b
b

a
a

u x v x
x
u x v x
x
′
′
∫
∫
 одновременно схо
дятся или расходятся. Если указанные интегралы сходятся, то имеет 
место формула  

 
 
0
( ) ( )d
( ( ) ( ))
( ) ( )d .
|

b
b
b

a
a
a

u x v x
x
u x v x
u x v x
x

−
′
′
=
−
∫
∫
  
(1.7) 

Формула (1.7) называется формулой интегрирования по частям. 

4. Замена переменной. Пусть: 
1) функция f(x) непрерывна на промежутке [a, b); 
2) функция 
( )
x
t
= ϕ
 удовлетворяет следующим условиям: 
а) непрерывно дифференцируема на промежутке [ , );
α β  
б) строго возрастает; 
в) 
0
( )
, lim
( )
.

t
a
t
b

→β−
ϕ α =
ϕ
=
 

Тогда имеет место формула 

 
( )d
( ( ))
( )d

b

a

f x
x
f
t
t
t

β

α
′
=
ϕ
ϕ
∫
∫
  
(1.8) 

при условии, что хотя бы один из интегралов сходится. 
Формула (1.8) называется формулой замены переменной. 
Замечание. Формула (1.8) верна и в случае, когда функция 
( )t
ϕ
 
строго убывает. 

5. Интегрирование неравенств. Если сходятся интегралы 

( )d и
( )d

b
b

a
a

f x
x
g x
x
∫
∫
 и для всех 
[ , )
x
a b
∈
 выполняется неравенство 

( )
( ),
f x
g x
≤
то
( )d
( )d .

b
b

a
a

f x
x
g x
x
≤
∫
∫
 

1.5. Критерий Коши сходимости несобственных 
интегралов 

Теорема 1.1 (Критерий Коши). Для того чтобы несобственный 

интеграл 
( )d

b

a

f x
x
∫
 сходился, необходимо и достаточно, чтобы вы
полнялось условие Коши: 

 
0
( , ):
,
( , )
( )d
.
a b
b
f x
x

′′
ξ

′ξ
′
′′
∀ ε >
∃δ∈
∀ ξ
∀ ξ ∈ δ
⇒
< ε
∫
 

Следствие. Если существует такое 
0
0,
ε >
что для любого 
( , )
a b
δ ∈
 
найдутся 
такие 
0,
0
( , ),
b
′
′′
ξ ξ ∈ δ
 
что 
выполняется 
неравенство 

0

0

0
( )d
,
f x
x

′′
ξ

′ξ
≥ ε
∫
 то интеграл 
( )d

b

a

f x
x
∫
 расходится. 

1.6. Несобственные интегралы от неотрицательных 
функций 

Терема 1.2 (Теорема сравнения). Пусть для всех 
[ , )
x
a b
∈
 выполняются неравенства 0
( )
( ).
f x
g x
≤
≤
 Тогда: 

а) если интеграл 
2
( )d

b

a

I
g x
x
= ∫
 сходится, то интеграл 
1
( )d

b

a

I
f x
x
= ∫
 

также сходится; 
б) если интеграл 
1I  расходится, то интеграл 
2I  расходится. 
Следствие. Пусть: 
f(x) > 0, g(x) > 0 
[ , )
x
a b
∀ ∈
; 

( ) ~
( )
f x
g x  при 
0.
x
b
→
−
 

Тогда интегралы 
( )d и
( )d

b
b

a
a

f x
x
g x
x
∫
∫
 сходятся или расходятся од
новременно. 
Заметим, что в исследованиях несобственных интегралов на сходимость при применении теоремы сравнения или ее следствия часто 
используются так называемые эталонные несобственные интегралы 

1

d

p
x
x

+∞
∫
 (см. прим. 1.1) и 

1

0

d

p
x
x∫
 (см. прим. 1.3). 

1.7. Абсолютно и условно сходящиеся интегралы 

Обозначим I = 
( )d

b

a

f x
x
∫
 – несобственный интеграл, I= 
( ) d .

b

a

f x
x
∫
 

Определение 1.8. Несобственный интеграл I называется абсолютно сходящимся, если сходится интеграл I. 
Определение 1.9. Несобственный интеграл I называется условно 
сходящимся, если интеграл Iрасходится, а интеграл I сходится. 
Теорема 1.3. Если несобственный интеграл Iсходится, то интеграл I также сходится и имеет место неравенство 

 
( )d
( ) d .

b
b

a
a

f x
x
f x
x
≤
∫
∫
 

1.8. Признаки Дирихле и Абеля сходимости 
интегралов 

Теорема 1.4 (Признак Дирихле). Пусть функция f(x) непрерывна, 
а функция g(x) непрерывно дифференцируема на промежутке [ ,
)
a +∞  
и выполняются следующие условия: 

1) функция F(x) = 
( )d

x

a

f t
t
∫
 ограничена на промежутке [ ,
)
a +∞ ; 

2) функция 
( )
g x
′
 не меняет знак на промежутке [ ,
)
a +∞  т.е. 

( )
0
g x
′
≤
 или 
( )
0
g x
′
≥
 на промежутке [ ,
)
a +∞ ; 
3) lim
( )
0

x
g x
→+∞
=
. 

Тогда 
( ) ( )d

a
f x g x
x

+∞
∫
 сходится. 

Следствие (Признак Абеля). Пусть: 
1) функция f(x) непрерывна на промежутке [ ,
)
a +∞ ; 

2) 
( )d

a

f x
x

+∞
∫
 сходится; 

3) функция g'(x) непрерывна и не меняет знак на промежутке 

[ ,
)
a +∞ ; 
4) функция g(x) ограничена на промежутке [ ,
).
a +∞  

Тогда 
( )
( )d

a

f x g x
x

+∞
∫
 сходится.