Математический анализ : несобственные интегралы

МИНИСТЕРСТВО ОБРАЗОВАНИЯ И НАУКИ РФ 

ФЕДЕРАЛЬНОЕ ГОСУДАРСТВЕННОЕ АВТОНОМНОЕ ОБРАЗОВАТЕЛЬНОЕ УЧРЕЖДЕНИЕ  
ВЫСШЕГО ПРОФЕССИОНАЛЬНОГО ОБРАЗОВАНИЯ  
«НАЦИОНАЛЬНЫЙ ИССЛЕДОВАТЕЛЬСКИЙ ТЕХНОЛОГИЧЕСКИЙ УНИВЕРСИТЕТ «МИСиС» 

 

 
 
 

 

 

 

 
 

 

№ 2140 

Кафедра математики

Т.В. Лоссиевская 

Математический анализ

Несобственные интегралы 

Учебно-методическое пособие 

Рекомендовано редакционно-издательским 
советом университета 

Москва  2012 

УДК 51 
 
Л79 

Р е ц е н з е н т  
канд. пед. наук, доц. Ю.А. Андреенко 

Лоссиевская, Т.В. 
Л79  
Математический анализ : несобственные интегралы : учеб.метод. пособие / Т.В. Лоссиевская. – М. : Изд. Дом МИСиС, 
2012. – 61 с. 
ISBN 978-5-87623-596-1 

Учебно-методическое пособие содержит справочный материал по теме 
«Несобственные интегралы», задачи для индивидуальных домашних заданий, а также подробный разбор методов решения типовых задач домашнего 
задания.  
Предназначено для студентов, обучающихся по специальности 231300. 

УДК 51 

ISBN 978-5-87623-596-1 
© Т.В. Лоссиевская, 2012 

ОГЛАВЛЕНИЕ 

Оглавление ................................................................................................... 3 
1. Определение несобственных интегралов и их свойства..................... 4 
1.1. Несобственный интеграл 1-го рода............................................ 4 
1.2. Несобственный интеграл 2-го рода............................................ 5 
1.3. Другие виды несобственных интегралов................................... 7 
1.4. Свойства несобственных интегралов......................................... 8 
1.5. Критерий Коши сходимости несобственных интегралов...... 10 
1.6. Несобственные интегралы от неотрицательных функций .... 10 
1.7. Абсолютно и условно сходящиеся интегралы........................ 11 
1.8. Признаки Дирихле и Абеля сходимости интегралов............. 11 
1.9. Главное значение несобственного интеграла.......................... 12 
2. Решение типовых задач .................................................................... 13 
3. Задания................................................................................................ 42 
Литература.................................................................................................. 60 

1. ОПРЕДЕЛЕНИЕ НЕСОБСТВЕННЫХ 
ИНТЕГРАЛОВ И ИХ СВОЙСТВА 

1.1. Несобственный интеграл 1-го рода 

Определение 1.1. Пусть функция f(x) определена на промежутке 

[ ,
)
a + ∞  и интегрируема на любом отрезке [ ,
]
[ ,
).
a
a
ξ ⊂
+ ∞  Символ 

( ) d

a

f x
x

+∞
∫
 называется несобственным интегралом 1-го рода от функ
ции f(x) на промежутке [ ,
).
a + ∞  

Определение 1.2. Несобственный интеграл 
( )d

a

f x
x

+∞
∫
 называется 

сходящимся, если существует конечный lim
( )d ,

a

f x
x

ξ

ξ→+∞ ∫
 в противном 

случае этот несобственный интеграл называется расходящимся. 
Сходящийся несобственный интеграл определяется равенством 

 
 
( )d
lim
( )d .

a
a

f x
x
f x
x

ξ
+∞

ξ→+∞
=
∫
∫
  
(1.1)  

Отметим, что для расходящегося несобственного интеграла либо 

lim
( )d

a
f x
x

ξ

ξ→+∞
= ∞
∫
, либо lim
( )d

a

f x
x

ξ

ξ→+∞∫
 не существует. 

Пример 1.1. Исследовать сходимость интеграла 

1

d
( )
p
x
I p

x

+∞
= ∫
. 

Решение 
а) 
1.
p≠
 Имеем 

    
(
)

1
1

1
1
1

1
,
1,
d
d
1
1
lim
lim
lim 1
1
1
,
1.

|

p
p
p
p
p
x
x
x
p
p
p
x
x
p

ξ
+∞
−
ξ
−

ξ→+∞
ξ→+∞
ξ→+∞

⎧
>
⎪
−
=
=
=
− ξ
= ⎨
−
−
⎪+∞
<
⎩
∫
∫
 

Отсюда следует, что I(p) сходится при p > 1 и расходится при p < 1. 
б) р = 1. Тогда 

1
1
1

d
d
lim
lim ln
lim ln
.
|
x
x
x
x
x

ξ
+∞

ξ→+∞
ξ→+∞
ξ→+∞
ξ
=
=
ξ = +∞
=
∫
∫
 

Таким образом, интеграл I(1) расходится. 

Ответ: интеграл 

1

d

p
x
x

+∞
∫
 сходится при p > 1 и расходится при 
1.
p ≤
 

Пример 1.2. Исследовать сходимость интеграла 

0

cos
d
x x

+∞
∫
. 

Решение  
Имеем 

   

0
0
0

cos
d
lim
cos
d
lim sin
lim sin
|
x x
x x
x

ξ
+∞

ξ→+∞
ξ→+∞
ξ→+∞
ξ
=
=
ξ
=
∫
∫
 – не существует. 

Ответ: интеграл 

0

cos
d
x x

+∞
∫
 расходится. 

Аналогично интегралу 
( )d

a

f x
x

+∞
∫
 определяются следующие инте
гралы: 

 
 
( )d
lim
( )d ;

a
a

f x
x
f x
x

ξ→−∞
−∞
ξ
=
∫
∫
  
(1.2) 

 
( )d
( )d
( )d ,
,

b

b

f x
x
f x
x
f x
x b
R

+∞
+∞

−∞
−∞
=
+
∈
∫
∫
∫
  
(1.3)  

причем интеграл в левой части равенства (1.3) сходится тогда и только 
тогда, когда сходятся оба интеграла в правой части равенства (1.3). 

1.2. Несобственный интеграл 2-го рода 

Определение 1.3. Пусть функция f(x)определена на конечном промежутке [a, b), интегрируема на любом отрезке [ , ]
[ , ).
a
a b
ξ ⊂
 Символ 

( )d

b

a

f x
x
∫
 называется несобственным интегралом 2-го рода от функции 

f(x) на промежутке [a, b). 

Определение 1.4. Несобственный интеграл 
( )d (
)

b

a
f x
x a b
<
< +∞
∫
 

называется сходящимся, если существует конечный 
0
lim
( )d ,

b
a

f x
x

ξ

ξ→ − ∫
 в 

противном случае этот интеграл называется расходящимся. 
Сходящийся несобственный интеграл определяется равенством 

 
 
0
( )d
lim
( )d .

b

b
a
a

f x
x
f x
x

ξ

ξ→ −
=
∫
∫
  
(1.4) 

Отметим, что определение 1.4 сходящегося несобственного интеграла 2-го рода на промежутке [a, b) является содержательным лишь 
в том случае, когда функция f(x) неограничена на любом интервале 
(
, ),
(0,
).
b
b
b
a
− δ
δ∈
−
 Действительно, если функция f(x) интегрируема (в смысле Римана) на любом отрезке [ , ]
[ , )
a
a b
ξ ⊂
, ограничена на 
[a, b), то, доопределив f(x) в точке b, получим функцию, интегрируемую по Риману на отрезке [a, b], причем интеграл Римана от этой 
функции равен пределу в правой части (1.4) и не зависит от f(b). Поэтому при рассмотрении несобственных интегралов 2-го рода на 
промежутке [a, b) будем считать, что функция f(x) неограничена на 
любом интервале (
, ),
(0,
).
b
b
b
a
− δ
δ∈
−
 
Определение 1.5. Точка b(b 
)
≠ ∞  числовой оси называется особой точкой подынтегральной функции f(x) (см. формулу (1.4)), если 
на любом интервале (
, ),
(0,
)
b
b
b
a
− δ
δ∈
−
 она является неограниченной. 
Аналогично интегралу (1.4) определяются интегралы 

 
0
( )d
lim
( )d (

b
b

a
a

f x
x
f x
x a

ξ→ +
ξ
=
∫
∫
 – особая точка); 

 
( )d
( )d
( )d (
( , )

b
c
b

a
a
c

f x
x
f x
x
f x
x c
a b
=
+
∈
∫
∫
∫
 – особая точка). 

Пример 1.3. Исследовать сходимость интеграла I(p) = 

1

0

d .
p
x
x∫
 

Решение  
а) р ≠  1. Имеем 

 
(
)

1
1
1
1
1

0
0
0
0

1
,
1,
d
d
1
1
lim
lim
lim 1
1
1
,
1.
|

p
p
p
p
p
x
x
x
p
p
p
x
x
p

−
−

ξ
ξ→+
ξ→+
ξ→+
ξ

⎧
<
⎪ −
=
=
=
− ξ
= ⎨
−
−
⎪+∞
>
⎩
∫
∫
 

Отсюда следует, что интеграл I(p) сходится при p < 1 и расходится 
при p > 1. 
б) р = 1. Имеем 

 
(
)

1
1
1

0
0
0
0

d
d
lim
lim ln
lim
ln
.
x
x
x
x
x
ξ→+
ξ→+
ξ
ξ→+
ξ
=
=
=
−
ξ = + ∞
∫
∫
 

Таким образом, интеграл I(1) расходится. 

Ответ: интеграл I(p) = 

1

0

d

p
x
x∫
 сходится при p < 1 и расходится при 

p 
1
≥ . 

1.3. Другие виды несобственных интегралов 

Определение 1.6. Пусть функция f(x) определена на конечном или 
бесконечном промежутке (a, b) за исключением точек 
,
kx
1,
,
k =
…
,n  

1
2
где
.
n
a
x
x
x
b
=
<
<
<
=
…
 Тогда по определению несобственный 

интеграл 

 
 

1

1

( )d
( )d .

k

k

x
b
n

k
a
x

f x
x
f x
x

+

=
=∑
∫
∫
  
(1.5) 

Определение 1.7. Несобственный интеграл 
( )d

b

a

f x
x
∫
 называется 

сходящимся, если сходится каждый из интегралов в правой части (1.5). 

В противном случае интеграл 
( )d

b

a

f x
x
∫
 называется расходящимся. 

В дальнейшем мы будем рассматривать несобственные интегралы 

вида 
( )d

b

a

f x
x
∫
 в предположении, что: