Лекции по применениям непрерывных групп в математической физике

ФГУП «Российский федеральный ядерный центр – 
Всероссийский научно-исследовательский институт 
экспериментальной физики» 
 
 
 
 
 
 
 
С. Ю. Седов 
 
 
 
 
ЛЕКЦИИ 
ПО ПРИМЕНЕНИЮ НЕПРЕРЫВНЫХ ГРУПП 
В МАТЕМАТИЧЕСКОЙ ФИЗИКЕ 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Саров 
2020 

УДК 517,531 
ББК 22.161 
С 28 
 
 
 
 
 
С 28 
Седов, С. Ю. Лекции по применению непрерывных групп в математической физике. Саров: ФГУП «РФЯЦ-ВНИИЭФ», 2020. – 188 с. 
 
 
ISBN 978-5-9515-0440-1 
 
 
 
 
Данный курс лекций по применению теории непрерывных групп читается автором студентам СарФТИ НИЯУ «МИФИ».  
Он рассчитан на студентов старших курсов физико-технических специальностей, 
а также студентов, специализирующихся на прикладной математике, изучивших стандартные курсы математического анализа, линейной алгебры, обыкновенных дифференциальных уравнений и математической физики. 
 
 
 
УДК 517,531 
ББК 22.161 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
ISBN 978-5-9515-0440-1                                      ФГУП «РФЯЦ-ВНИИЭФ», 2020 
 Седов С. Ю., 2020 

Предисловие 
 
 
Данный курс лекций по применению теории непрерывных групп читается 
автором студентам Саровского физико-технического университета (СарФТИ 
НИЯУ «МИФИ») в течение ряда лет. Он рассчитан на студентов физико-технических специальностей, а также студентов, специализирующихся на прикладной математике, изучивших стандартные курсы математического анализа, линейной алгебры, обыкновенных дифференциальных уравнений и математической физики. Предварительных знаний по теории групп, современной алгебре  
и дифференциальной геометрии у читателя не предполагается. 
По непрерывным группам, которые находят самое широкое применение  
в современной физике, существует достаточное количество монографий на русском языке, обстоятельно излагающих данный предмет. Часто краткие сведения 
приводятся также в физических учебниках. Тем не менее, небольших по объему 
и доступных курсов по теории непрерывных групп для начинающих мало. Тем 
более это касается прикладных аспектов непрерывных групп, например, приложений групп Ли к дифференциальным уравнениям. Исключение составляют 
две брошюры Н. Х. Ибрагимова [1, 2], включающие «фрагменты курса лекций 
по групповому анализу, читаемого автором в Московском физико-техническом 
институте» [1]. Здесь же отметим лекции 11 и 12 Ю. В. Данилова [3], а также 
лекционный курс А. В. Краснослободцева (РУДН) [4]. 
В данных лекциях мы попытались в меру сил восполнить имеющийся 
пробел в учебной литературе, расширив содержание цитированных выше брошюр Н. Х. Ибрагимова до текста, который мог бы служить основой для односеместрового курса по непрерывным группам для будущих инженеров-физиков  
и математиков-прикладников, специализирующихся в области газовой динамики.  
При подготовке лекций использовались не только учебники и монографии 
(см. Список литературы), но и научные статьи.  Наша задача при записи лекций 
свелась к отбору материала и последовательному выстраиванию изложения данного предмета. Насколько хорошо удалось решить эту задачу – судить читателю. 
Не совсем обычное для учебного пособия употребление научных статей в качестве иллюстративного материала вызвано педагогическими соображениями  
и объясняется желанием автора показать, что разрыв между материалом вводных лекций и современной журнальной литературой не всегда так велик, как 
можно было бы предположить.  
В Приложениях конспективным образом рассмотрены некоторые вопросы 
общей теории групп и дифференциальной геометрии. Уровень изложения в них 

Предисловие 
4
более абстрактный, чем в лекциях. Их можно использовать как справочный материал. 
Вводимые определения обычно выделены одной чертой, а теоремы – 
двумя. Выкладки в тексте приведены, по возможности, подробно. Если они 
опущены, то из-за их чрезмерной для лекций громоздкости.  
 

 
Лекция 1. Введение. Краткий очерк истории теории групп.  
Основное содержание курса 
 
Группы играют крайне важную роль в современной математике. Их значение в математическом образовании любого грамотного человека таково, что 
начальные сведения из теории групп следовало бы излагать уже в школьном 
курсе математики.   
Исходное понятие группы весьма просто. Рассмотрим его на примере поворотов квадрата на плоскости. Очевидно, что повороты его относительно центра на углы, кратные 90, переводят квадрат в самого себя с сохранением параллельности сторон исходным координатным осям. Обозначим поворот на 90 
символом а, на 180 – символом b, на 270 – символом с. Комбинация этих  
поворотов, обозначенная ,
 оставляет квадрат на месте: 
,
a a
b


 
,
a b
c


 
a a a
c



 и т. д. Кроме того, повороты в обратную сторону также оставляют 
квадрат на месте. Если ввести отсутствие вращения как тождественное преобразование I квадрата и обозначить повороты в обратную сторону как, соответственно, 
1,
a 
1,
b
 
1,
c
 то очевидны три основные свойства поворотов квадрата: 
1) ассоциативность: (
)
(
),
a b
c
a
b c





 
2) наличие тождественного преобразования: 
,
a I
I
a
a




 
3) наличие обратного элемента: 
1
1
.
a a
a
a
I






 
Обобщение этих (очевидных в данном конкретном случае) свойств непосредственно приводит в математике к фундаментальному понятию группы. Легко 
показать, что вследствие свойств 1) – 3) операция комбинирования элементов 
группы не дает никакого нового элемента группы, не входящего в исходное 
множество I, a, b, c. В случае поворотов квадрата можно явно выписать так 
называемую таблицу умножения элементов данной группы (см. рисунок) 
 
 
I 
a 
b 
c 
I 
I 
a 
b 
c 
a 
a 
b 
c 
I 
b 
b 
c 
I 
a 
c 
c 
I 
a 
b 
 
Здесь на пересечении двух элементов группы находится их комбинация.  
Можно выделить следующих авторов, стоящих у истоков современной 
теории групп: Э. Галуа, К. Жордана, С. Ли, Ф. Клейна, Э. Картана, Г. Вейля.   
Эварист Галуа первым предложил понятие группы (1831 г.) и применил 
конечную группу подстановок для выяснения вопроса о возможности решения 
алгебраического уравнения с числовыми коэффициентами в радикалах, т. е.  
с использованием комбинаций арифметических операций и извлечения корней 

Лекции по применению непрерывных групп в математической физике 
6
n-й степени. Заметим, что Галуа тогда был всего 21 год. Интерес к групповым 
методам в математике появился по-настоящему в 1870 г. после опубликования 
Камиллом Жорданом трактата по алгебраическим уравнениям, где он, в частности, упомянул и о работе Галуа (до этого почти никому неизвестной). После этого, 
Софус Ли и Феликс Клейн стали выяснять роль, которую теория групп могла бы 
играть в разных областях математики. Ли исследовал применение теории групп 
для анализа инвариантных свойств дифференциальных уравнений. В конечном 
счете, именно Софус Ли заложил основы теории непрерывных групп, которые 
теперь называются его именем (группы Ли). Клейн, работавший в то же время, 
что и Ли (конец 19 в.), предложил обширную программу исследования свойств 
симметрии и инвариантности различных геометрий с точки зрения теории 
групп. Кроме того, Клейн предложил использовать групповые методы  
и в теоретической физике (в так называемой эрлангенской программе).  
Далее теория групп развивалась как самостоятельная научная дисциплина.   
Здесь можно упомянуть работы Кэли, Силова, Дика, Гельдера, Фробениуса, 
Бернсайда и др., которые способствовали абстрактизации теории групп.   
Первые применения теория групп нашла в кристаллографии. Здесь следует упомянуть Федорова и Шенфлиса (конец 19 в.), исследовавших различные 
симметрии кристаллов. Теорией Ли и применениями групп Ли в римановой геометрии занимался Эли Картан. Герман Вейль разрабатывал теорию линейных 
групп Ли (в первой половине 20 в.). Анри Пуанкаре в 1905 г. показал, что преобразования специальной теории относительности образуют группу. Эмми Нетер (1918 г.) связала в своей знаменитой теореме свойства симметрии пространства-времени и инвариантность фундаментальных физических уравнений относительно соответствующих групп преобразований с законами сохранения физических величин.   
После возникновения нерелятивистской квантовой механики теория групп 
стала применяться в многоэлектронных проблемах квантовой химии и теории 
твердого тела. Теория групп используется в квантовой теории поля и физике 
элементарных частиц для описания симметрий элементарных частиц. Есть примеры ее применения в других областях физики, например, ренормализационная 
группа встречается в литературе по турбулентности жидкостей и фазовым переходам в статистической физике.   
Сейчас теория групп является обширной областью математики.   
В 1950-х гг., благодаря работам Гаррета Биркгофа в США и Л. В. Овсянникова в России, возродился интерес к классической теории непрерывных групп, 
заложенной непосредственно в работах Софуса Ли, анализировавшего структуру 
дифференциальных уравнений с точки зрения их инвариантных свойств. Одной 
из основных целей усилий Ли было создание общей теории интегрирования 
дифференциальных уравнений. В работах Овсянникова и его учеников основное 
внимание было уделено приложению и развитию методов Софуса Ли для решения задач математической физики, в частности относящихся к гидродинамике  
и теории упругости. На этом пути получены результаты большой важности. 
Проанализирован ряд уравнений из различных разделов физики, и для них по

Лекция 1. Введение. Краткий очерк истории теории групп… 
7 
лучены конкретные решения. Знание полной группы симметрий, найденной  
с помощью методов группового анализа дифференциальных уравнений, позволяет получить инвариантные и частично-инвариантные решения. Это знание 
позволяет решать более простые, чем исходные, уравнения, а также получать 
новые решения на основе уже известных. Таким образом, вместо «кустарного» 
метода поиска частных решений (в основном, автомодельных), распространенного в физической литературе, разработана мощная математическая технология 
построения обширных семейств решений.    
В работах Ю. И. Шокина, В. А. Дородницына и др. [14] групповые методы  
были использованы для построения аппроксимирующих разностных уравнений 
математической физики, имеющих ту же симметрию, что и исходные дифференциальные.  
Как уже говорилось, предмет теории групп весьма обширен. Таким образом, в этом курсе лекций будет затронута только малая часть вопросов, относящихся к этой теории. Мы рассмотрим элементы теории непрерывных локальных 
групп и некоторые ее применения в математической физике. Попутно будут 
приведены сведения, относящиеся к дифференциальной геометрии, инвариантным разностным схемам, обобщенным симметриям и некоторым другим разделам 
математики и физики. При этом предполагается, что читатель знает линейную 
алгебру, обыкновенные дифференциальные уравнения и уравнения математической физики в объеме, соответствующем уровню технического вуза.    
Можно надеяться, что после данных лекций читатель сможет перейти  
к изучению непрерывных групп по более фундаментальным руководствам [15 – 19].   

Лекция 2. Однопараметрические группы  
преобразований пространства 
 
В этой лекции мы рассмотрим некоторые свойства непрерывных групп  
на простых примерах. Будем изучать группы преобразований, зависящие от одного непрерывного вещественного параметра. На таком конкретном материале 
подготовимся к более абстрактному изложению теории групп.  
Итак, пусть есть некоторое преобразование 
a
S  евклидова пространства 
1,...,
N
x
x
x

 переводится в точку x 
,
N
R
 при котором каждая точка 


1,...,
,
N
x
x



 т. е. более кратко 
( , )
,
a
x
f x a
S x


 где 
.
a
R

 Здесь f обозначает 


в общем случае векторную величину 
( , ).
x
f x a




 Значки вектора часто не пишут для краткости.  
Будем считать, что a – вещественный параметр, непрерывно изменяющийся в некотором интервале 
,
R

 а f – бесконечно дифференцируемая по a  
и, к тому же, аналитическая функция, причем определитель матрицы Якоби 
det
0.
x
x









 Требование аналитичности по параметру a можно объяснить следующим примером. Функция 
2
1
exp
a







 – бесконечно дифференцируема  
в окрестности нуля, но вследствие неаналитичности не имеет разложения в ряд 
Тейлора в окрестности нуля 
0.
a 
 Нам же важна обязательность разложения f  
в ряд Тейлора по a, как будет ясно из дальнейшего. Примем далее, что значению 
0
a 
 соответствует тождественное преобразование пространства: 
0
,
a
S
I

 
.
x
Ix

 Эти преобразования будут образовывать однопараметрическую группу, 
если 
( , ),
c
b
a
a b
S
S S
S


 где 
( , )
a b

 – (для простоты) бесконечно дифференцируемая (а также и аналитическая) функция своих аргументов. Иными словами, 
последовательное применение двух преобразований с параметрами a и b эквивалентно некоторому третьему, т. е. 
( ( , ), )
( , ),
x
f f x a b
f x c


 где 
( , ).
c
a b

  
Не все возможные преобразования пространства образуют группу. 
Приведем первый пример. Рассмотрим преобразование растяжения пространства: 
(1
) .
x
a x


 Тогда при a 0  
.
a
S
I

 Кроме того, преобразованием, 
обратным к преобразованию 
,
a
S
 является преобразование 
1
a
S  такое, что 
1
.
a
a
S S
I

 
Пусть 
1
.
a
b
S
S

 
Найдем 
параметр 
b. 
Поскольку 
x
x

 

Лекция 2. Однопараметрические группы преобразований пространства 
9 
(1
)(1
) ,
b
a x



 то 
1
1
.
1
1
a
b
a
a




 При двух последовательных преобразованиях с параметрами a и b 
(1
)
(1
)(1
)
(
) ,
x
b x
b
a x
x
a
b
ab x











  
т. е. 
,
c
b
a
S
S S

 где 
( , )
.
c
a b
a
b
ab




 Итак, преобразование растяжения образует группу.  
Но во втором примере преобразование 
2
x
ax

 группы не образует, так как:  
а) 
2
2
4
2,
x
bx
a bx
abx





 
б) двум точкам x и x
 соответствует одна точка 
2.
x
ax

 
В дальнейшем мы будем рассматривать только такие преобразования, которые образуют группу, т. е. выполняются свойства (аксиомы): 1) 
0
,
a
S
I

 
2) 
( , ),
c
b
a
a b
S
S S
S


 3) 
1
.
a
a
S S
I

 Помимо них мы потребуем еще и наличие 
свойства ассоциативности преобразований, т. е. 4) 
(
)
(
)
,
c
b
a
c b
a
S
S S
S S
S

 или 
( ( , ), )
a b c

 
( , ( , )).
a
b c


 Итого четыре свойства. 
Далее мы покажем, что путем замены переменной параметра 
( )
a
B a

 выражение для  приводится к простой форме ( , )
,
a b
a
b



 так что ассоциативность преобразований станет очевидной. Заметим еще, что поскольку 
( ,
0)
0
,
c
a b
b
a
a
a
S
S
S
IS
S






 то ( ,
0)
,
a b
a



 (
0, )
.
a
b
b



  
Рассмотрим теперь преобразования, образующие однопараметрическую 
группу, для которых имеет место свойство 
,
b
a
a b
S S
S 

 т. е. ( , )
.
a b
a
b



 Очевидно, что в данном случае имеет место коммутативность: 
b
a
a
b
S S
S S

 и говорят, что группа является коммутативной. Далее будет показано, что любая однопараметрическая группа коммутативна. Тогда 
( , )
( ( , ), )
x
f x b
f f x a b




 
( ,
)
( ( , ), ).
f x a
b
f f x b a



 
Предполагая аналитичность 
( , )
f x a  по a, разложим эту функцию по параметру a в окрестности 
0:
a 
 








 
( , )
( , )
( ,0)
( )
a
0
f x a
x
f x a
f x
a
o a
a

( )
( ),
x
x a
o a



 где 
( ,0)
,
f x
x

 




 Величину  в дальнейшем 
( , )
( )
.
a
0
f x a
x
a

условимся называть касательным вектором. 
Докажем теперь Теорему 1. 
Теорема 1 (Ли). Пусть функция 
( , )
f x a  для преобразования 
( , )
x
f x a

 
( ,
)
N
x x
R

 имеет свойство 
( ( , ), )
( ,
),
f f x a b
f x a
b


 кроме того, она в окрестности 
нуля 
имеет 
разложение 







 
( , )
( , )
( ,0)
( )
a
0
f x a
f x a
f x
a
o a
a

( )
( ),
x
x a
o a



 где 
( )
x

 – непрерывна, а само преобразование пространства