Математическое моделирование турбулентного перемешивания. Том 1
Покупка
Тематика:
Математическое моделирование
Год издания: 2019
Кол-во страниц: 358
Дополнительно
Вид издания:
Учебное пособие
Уровень образования:
ВО - Бакалавриат
ISBN: 978-5-9515-0421-0
Артикул: 752858.01.99
Доступ онлайн
300 ₽
В корзину
Описаны различные подходы к численному моделированию свободной (без пристеночных слоев) гидродинамической турбулентности, в том числе прямое моделирование, а также моделирование с помощью феноменологических теорий. Рассмотрены основные алгоритмы методики ЭГАК для моделирования двумерных и трехмерных гидродинамических течений с турбулентным перемешиванием. Приводятся результаты расчетов ряда одномерных, двумерных и трехмерных турбулентных течений, полученные с помощью указанной методики.
Книга предназначена как ятя научных сотрудников, занимающихся исследованиями в области турбулентного перемешивания газов и жидкостей, так и для студентов кафедр прикладной математики и механики.
Тематика:
ББК:
УДК:
ОКСО:
- ВО - Бакалавриат
- 01.03.01: Математика
- 01.03.02: Прикладная математика и информатика
- 01.03.03: Механика и математическое моделирование
- 01.03.04: Прикладная математика
- ВО - Специалитет
- 01.05.01: Фундаментальные математика и механика
ГРНТИ:
Скопировать запись
Фрагмент текстового слоя документа размещен для индексирующих роботов
ФГУП «Российский федеральный ядерный центр − Всероссийский научно-исследовательский институт экспериментальной физики» Ю. В. Янилкин, В. П. Стаценко, В. И. Козлов МАТЕМАТИЧЕСКОЕ МОДЕЛИРОВАНИЕ ТУРБУЛЕНТНОГО ПЕРЕМЕШИВАНИЯ В СЖИМАЕМЫХ СРЕДАХ Том 1 Курс лекций 2-е издание, исправленное и дополненное Саров 2019
Я 62
УДК 001.891.573 (075.8)
ББК 22.19я73
Я 62
Рецензенты:
С. Ф. Гаранин, доктор физ.-мат. наук;
В. А. Жмайло, доктор физ.-мат. наук, профессор.
Янилкин Ю. В., Стаценко В. П., Козлов В. И. Математическое моделирование турбулентного перемешивания в
сжимаемых средах: Курс лекций. В 2 томах. Том 1. 2-е изд.
испр. и доп. Саров: ФГУП «РФЯЦ-ВНИИЭФ», 2019.
ISBN 978-5-9515-0420-3
Т. 1. – 358 с. : ил.
ISBN 978-5-9515-0421-0
Описаны различные подходы к численному моделированию свободной (без пристеночных слоев) гидродинамической турбулентности, в том
числе прямое моделирование, а также моделирование с помощью феноменологических теорий. Рассмотрены основные алгоритмы методики
ЭГАК для моделирования двумерных и трехмерных гидродинамических
течений с турбулентным перемешиванием. Приводятся результаты расчетов ряда одномерных, двумерных и трехмерных турбулентных течений,
полученные с помощью указанной методики.
Книга предназначена как для научных сотрудников, занимающихся
исследованиями в области турбулентного перемешивания газов и жидкостей, так и для студентов кафедр прикладной математики и механики.
УДК 001.891.573 (075.8)
ББК 22.19я73
ISBN 978-5-9515-0421-0 (т. 1) © ФГУП «РФЯЦ-ВНИИЭФ», 2019
ISBN 978-5-9515-0420-3
Содержание
Список основных сокращений и обозначений . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 9
Введение . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 11
Глава 1. Методы моделирования турбулентного движения . . . 16
§ 1. Начальная стадия турбулентного движения . . . . . . . . . . . . . . . . . . 16
1.1. Гидродинамические неустойчивости и переход
к турбулентности . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 17
1.1.1. Гидродинамические неустойчивости . . . . . . . . . . . . . . . . . . 17
1.1.2. Переход в турбулентное движение . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19
1.1.2.1. Неустойчивость Рэлея–Тейлора. . . . . . . . . . . . . . . . . 19
1.1.2.2. Неустойчивость Рихтмайера–Мешкова. . . . . . . . . . .22
1.1.2.3. Неустойчивость Кельвина–Гельмгольца. . . . . . . . . . 25
1.2. Условия неустойчивости произвольного адиабатического
движения … ... . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25
1.2.1. Вывод дисперсионного соотношения . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25
1.2.2. Условие неустойчивости . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 32
1.2.3. Свойства дисперсионного уравнения . . . . . . . . . . . . . . . . . . 33
1.2.4. Совместное действие гравитационной
и сдвиговой неустойчивостей . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 35
§ 2. Развитая турбулентность . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 36
2.1. Средняя и пульсационная компоненты
турбулентного движения . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 36
2.2. Пульсационное движение . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 38
2.3. Каскадный перенос турбулентной энергии . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 40
2.4. Диссипация энергии . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 42
2.5. Турбулентная вязкость . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 43
2.6. Мелкомасштабная турбулентность . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 44
2.6.1. Трехмерная турбулентность . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 44
2.6.2. Двумерная турбулентность . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 48
2.7. Пространственные спектры . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 50
2.7.1. Трехмерная турбулентность . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 50
2.7.2. Двумерная турбулентность . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 53
2.8. Гипотеза Буссинеска для тензора Рейнольдса . . . . . . . . . . . . . . . . 56
2.9. Определение коэффициента турбулентной вязкости . . . . . . . . . . 57
2.9.1. Заданный коэффициент вязкости . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 57
2.9.2. Формула Прандтля . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 58
2.9.3. Формула Кармана . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 59
2.9.4. Формула Колмогорова . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 60
§ 3. Методы моделирования турбулентных движений
и правила осреднения величин . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 61
3.1. Методы моделирования турбулентных движений . . . . . . . . . . . . . 61
3.2. Осреднение величин . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 64
3.2.1. Осреднениe по Рейнольдсу . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 64
3.2.2. Осреднениe по Фавру . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 67
§ 4. Одномерная модель турбулентности Беленького,
Фрадкина, Неуважаева . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 68
4.1. Осреднение уравнений газовой динамики . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 68
4.2. Уравнение баланса для плотности кинетической энергии
турбулентности . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 69
4.3. Замыкание системы уравнений . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 70
§ 5. Описание многомерных турбулентных движений
сжимаемой жидкости . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 74
5.1. Уравнения движения многокомпонентной
сжимаемой жидкости . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 74
5.2. Осреднение уравнений Навье–Стокса . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 76
5.3. Турбулентные величины . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 78
5.3.1. Энергия и скорость диссипации . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 78
5.3.2. Другие турбулентные величины . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 79
5.4. Уравнения для турбулентных величин . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 81
5.4.1. Вводная часть . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 81
5.4.2. Уравнения для обобщенного тензора
напряжений Рейнольдса . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 82
5.4.3. Уравнение для корреляции плотности и скорости . . . . . . . 84
5.4.4. Уравнение для относительной
квадратичной корреляции плотности . . . . . . . . . . . . . . . . . 85
5.4.5. Уравнение для турбулентного потока тепла . . . . . . . . . . . 86
5.4.6. Уравнения для турбулентной энергии и скорости
ее диссипации . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 87
5.4.7. Уравнение для концентраций . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 87
5.4.8. Уравнение состояния смеси . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 88
5.4.9. Общее описание модельных уравнений
турбулентности . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 89
5.5. Градиентное приближение . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 90
5.6. Условие реализуемости . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 93
§ 6. Модели турбулентности . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 94
6.1. Модель CAVEAT . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 95
6.2. K–ε модель . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 97
6.3. Модель анизотропной турбулентности Стаценко . . . . . . . . . . . . . 98
6.3.1. Общие уравнения модели . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 99
6.3.2. Уравнения равновесной модели турбулентности
для плоских несжимаемых течений . . . . . . . . . . . . . . . . . . 102
6.4. Модель турбулентности Никифорова–Козлова . . . . . . . . . . . . . . 106
6.4.1. Вывод уравнений . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 107
6.4.2. Замыкание уравнений . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 109
6.4.2.1. Инерционные члены . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 109
6.4.2.2. Диссипативные и обменные члены . . . . . . . . . . . . 111
6.4.2.3. Переносные члены . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 113
6.4.3. Взаимодействие турбулентности и ударных волн . . . . . . 115
6.4.4. Система уравнений модели . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 117
6.4.5. Ограничения на турбулентные величины из условия
реализуемости . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 119
6.4.6. Инициализация счета турбулентности в модели . . . . . . . 120
Вопросы для самопроверки к главе 1 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 121
Глава 2. Методика ЭГАК для моделирования
многомерных газодинамических течений
с турбулентным перемешиванием . . . . . . . . . . . . . . . . 126
§ 7. Методика ЭГАК-2D для моделирования
двумерных газодинамических течений . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 126
7.1. Исходные уравнения многокомпонентной газодинамики . . . . . 126
7.2. Лагранжев этап . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 136
7.2.1. Основные уравнения и предположения . . . . . . . . . . . . . . . . 136
7.2.2. Конечно-разностные уравнения . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 138
7.2.3. Основные методы замыкания уравнений газовой
динамики на лагранжевом этапе вычислений . . . . . . . . . . 144
7.2.3.1. Метод 1 на основе равенства давлений
компонентов . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 148
7.2.3.2. Метод 2 на основе распада разрыва . . . . . . . . . . . 151
7.2.3.3. Метод 3 на основе одинаковой
сжимаемости компонентов . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 154
7.2.3.4. Метод 4 на основе равенства приращений
давлений компонентов . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 156
7.2.3.5. Метод 5 на основе равенства массовых скоростей
компонентов . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 157
7.2.3.6. Метод PR релаксации давлений компонентов . . . . 158
7.2.3.7. Анизотропные модели замыкания . . . . . . . . . . . . . . 163
7.2.4. Искусственная вязкость . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 166
7.2.4.1. Вводная часть . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 166
7.2.4.2. Искусственная вязкость в чистых ячейках . . . . . . 169
7.2.4.3. Искусственная вязкость компонентов
в смешанных ячейках . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 176
7.2.5. Определение скорости звука среды . . . . . . . . . . . . . . . . . . 183
7.2.6. Устойчивость разностной схемы . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 185
7.3. Эйлеров этап . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 186
7.3.1. Построение новой счетной сетки . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 187
7.3.2. Аппроксимация уравнений неразрывности и энергии . . . . 189
7.3.3. Метод концентраций . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 193
7.3.3.1. Основной алгоритм . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 193
7.3.3.2. Уточненный алгоритм определения
контактных границ . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 196
7.3.3.3. Алгоритм расчета движения
«изолированных» фрагментов . . . . . . . . . . . . . . . . . 199
7.3.3.4. Программная реализация метода концентраций . . 201
7.3.4. Использование метода PPM для решения уравнения
адвекции . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 202
7.3.4.1. Описание метода PPM . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 202
7.3.4.2. Обобщение метода PPM для аппроксимации
двумерного уравнения неразрывности
на эйлеровом этапе . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 207
7.3.5. Аппроксимация уравнения движения . . . . . . . . . . . . . . . . . . 211
7.3.6. Выравнивание давлений компонентов . . . . . . . . . . . . . . . . . 213
7.4. Аппроксимационная вязкость разностной схемы . . . . . . . . . .. . . 215
7.5. Устойчивость разностной схемы . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 217
7.6. Монотонизация величин. Метод локальной монотонизации
конвективного типа . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 218
7.6.1. Описание метода ЛМ . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 219
7.6.2. Применение метода ЛМ . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 222
7.6.2.1. Разностные формулы . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 222
7.6.2.2. Аппроксимация и устойчивость метода ЛМ . . . . . 225
7.7. Валидация моделей и верификация методов . . . . . . . . . . . . . . . . 227
7.7.1. Модели замыкания уравнений газодинамики
в смешанных ячейках . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 227
7.7.1.1. Распад разрыва . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 228
7.7.1.2. Задача Сода . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 229
7.7.1.3. Прохождение ударной волны границу
вода-воздух . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 232
7.7.1.4. Прохождение ударной волны по смеси
двух газов . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 235
7.7.1.5. Прохождение слабой волны
по гетерогенной среде . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 241
7.7.2. Методы решения уравнения адвекции . . . . . . . . . . . . . . . . 247
7.7.2.1. Задача «Blast Waves» . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 247
7.7.2.2. Движение крестообразной фигуры . . . . . . . . . . . . 250
7.7.3. Методы определения искусственной вязкости . . . . . . . . 251
7.7.3.1. Выход УВ из тяжелого вещества в легкое . . . . . . . 252
7.7.3.2. Цилиндрическая задача Ноха . . . . . . . . . . . . . . . . . 253
7.7.3.3. Сферически-цилиндрическое
однородное сжатие вещества . . . . . . . . . . . . . . . . . . 255
7.7.3.4. Задача Зальцмана . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 257
7.7.3.5. Прохождение УВ по смеси двух газов . . . . . . . . . . 260
7.7.3.6. Обсуждение результатов . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 264
7.7.4. Метод локальной монотонизации . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 265
7.7.4.1. Сильная ударная волна . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 265
7.7.4.2. Слабая ударная волна . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 266
7.7.5. Аппроксимационная вязкость . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 267
§ 8. Методика ЭГАК-3D для моделирования трехмерных
газодинамических течений . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 271
8.1. Исходные уравнения . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 271
8.2. Метод расщепления на этапы . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 274
8.3. Определение объема счетной ячейки . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 276
8.4. Разностная аппроксимация уравнений лагранжева этапа . . . . . . 281
8.4.1. Аппроксимация уравнения движения . . . . . . . . . . . . . . . . . 281
8.4.2. Аппроксимация уравнения неразрывности и энергии . . . . 284
8.5. Разностная аппроксимация уравнений второго этапа . . . . . . . . . 286
8.6. Постановка граничных условий . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 288
§ 9. Методика моделирования двумерных
турбулентных течений с помощью k–ε модели . . . . . . . . . . . . . . . 289
9.1. Уравнения для осредненного течения
и модели турбулентности . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 290
9.1.1. Уравнения для осредненного течения . . . . . . . . . . . . . . . . . 290
9.1.2. Уравнения для турбулентных величин . . . . . . . . . . . . . . . . 293
9.1.3. Исследование балансности модели турбулентности . . . 297
9.2. Аппроксимация уравнений . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 298
9.3. Определение констант k–ε модели . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 303
9.3.1. Затухание однородной изотропной турбулентности . . . 305
9.3.2. Нейтрально стратифицированный турбулентный
пограничный слой . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 309
9.3.3. Гравитационное перемешивание на плоской границе
раздела . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 313
9.3.3.1. Постановка задачи . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 314
9.3.3.2. Автомодельное решение. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 314
9.3.3.3. Численное моделирование задачи . . . . . . . . . . . . . . 317
9.3.4. Гравитационное перемешивание легкого плоского слоя . . . 322
9.3.4.1. Постановка задачи . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 322
9.3.4.2. Автомодельное решение. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 323
9.3.4.3. Численное моделирование задачи . . . . . . . . . . . . . . 325
9.3.5. Сдвиговое перемешивание на плоской границе раздела . . . 327
9.3.6. Эволюция турбулентности . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 331
9.4. Вариант k–ε модели с ограничением некоторых членов . . . . . . . 334
9.4.1. Ограничение скорости диссипации
(турбулентной энергии) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 334
9.4.2. Ограничение на генерацию турбулентности . . . . . . . . . . . 335
9.4.3. Поправка Саркара на сжимаемость . . . . . . . . . . . . . . . . . . 339
9.5. Выбор начальных условий . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 340
Вопросы для самопроверки к главе 2 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 341
Список литературы к тому 1. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 345
Список основных сокращений и обозначений ТП – турбулентное перемешивание ЗТП – зона турбулентного перемешивания УВ – ударная волна КГ – контактная граница (граница раздела) НРТ – неустойчивость Рэлея–Тейлора НКГ – неустойчивость Кельвина–Гельмгольца НРМ – неустойчивость Рихтмайера–Мешкова ПЧМ (ILES) – прямое численное моделирование ППЧМ (DNS) – полное прямое численное моделирование 1D – одномерный 2D – двумерный 3D – трехмерный ФПВ – функция распределения плотности вероятности УРС – уравнение состояния А, At – число Атвуда Sc, Pr, Re, Ri, Ма – числа Шмидта, Прандтля, Рейнольдса, Ричард- сона, Маха соответственно ρ, ρξ – плотность среды и компонента e, еξ – удельная внутренняя энергия среды и компонента P, Рξ – давление среды и компонента αξ, βξ – массовая и объемная концентрации (доли) компонента соответственно u (ui) – скорость ∇u – дивергенция скорости R (Rij) – тензор Рейнольдса W (Wi) – корреляция скорости и плотности
w (wi) – относительная корреляция скорости и плотности B – квадратичная корреляция плотности b – относительная квадратичная корреляция плотности k – турбулентная энергия ε – скорость диссипации турбулентной энергии K (Kx, Ky, Kz), K – волновой вектор и волновое число соответственно
Доступ онлайн
300 ₽
В корзину