Избранные труды. Вопросы физики элементарных частиц в плоском и искривленном пространстве-времени. Том 2

Модифицированный метод получения дираковских самосопряженных… 
1 
 
 
 
ФГУП «Российский федеральный ядерный центр – 
Всероссийский научно-исследовательский институт 
экспериментальной физики» 
 
 
 
 
 
 
 
 
В. П. НЕЗНАМОВ 
ИЗБРАННЫЕ ТРУДЫ. 
ВОПРОСЫ ФИЗИКИ ЭЛЕМЕНТАРНЫХ ЧАСТИЦ В ПЛОСКОМ  
И ИСКРИВЛЕННОМ ПРОСТРАНСТВЕ–ВРЕМЕНИ 
 
 
 
 
 
 
 
 
Часть II 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Саров 
2019 

Вопросы физики элементарных частиц… 
2 
 
УДК 539.12 
ББК 22.382 
И 32 
 
 
И 32 
 
Незнамов, В. П. Избранные труды. Вопросы физики элементарных 
частиц в плоском и искривленном пространстве–времени: в 2 ч. Ч. 2.  
Саров: ФГУП «РФЯЦ-ВНИИЭФ», 2019. – 306 с. 
 
ISBN 978-5-9515-0414-2 
ISBN 978-5-9515-0428-9 (ч. 2) 
 
 
В книге представлены работы по вопросам физики элементарных 
частиц в плоском и искривленном пространстве–времени. 
Книга может быть полезна физикам-теоретикам, интересующимся вопросами физики фермионов в рамках Стандартной модели  
и применением квантовой механики движения частиц со спином 1/2  
к решениям общей теории относительности в области сильных гравитационных полей. 
 
 
 
 
 
 
УДК 539.12 
ББК 22.382 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
ISBN 978-5-9515-0428-9 (ч. 2) 
ISBN 978-5-9515-0414-2                                   © ФГУП «РФЯЦ-ВНИИЭФ», 2019 
                                                                            © Незнамов В. П., 2019 

Движение частиц со спином 1/2 в аксиально-симметричном поле… 
3 
 
 
 
УДК 530.145.7; 514.764.2 
 
ДВИЖЕНИЕ ЧАСТИЦ СО СПИНОМ 1/2 
В АКСИАЛЬНО-СИММЕТРИЧНОМ ПОЛЕ ГОЛЫХ 
СИНГУЛЯРНОСТЕЙ СТАТИЧЕСКОЙ q-МЕТРИКИ1 
 
В. П. Незнамов, В. Е. Шемарулин 
 
 
Исследовано квантово-механическое движение частиц со спином 1/2 
в аксиально-симметричном поле статических голых сингулярностей, образованных 
массовым 
распределением 
с 
квадрупольным 
моментом  
(q-метрика). Анализ проведен с помощью метода эффективных потенциалов 
уравнения Дирака, обобщенного на случай, когда радиальные и угловые переменные не разделяются. Показано, что при 
lim
lim
1
,
1
q
q
q


 голые сингулярности не исключают возможности существования стационарных связанных состояний дираковских частиц для вытянутого вдоль 
аксиальной оси распределения массы в q-метрике. 
Для 
сжатого 
массового 
распределения 
голые 
сингулярности  
q-метрики отделены от дираковской частицы бесконечно большими отталкивающими барьерами с последующей потенциальной ямой, углубляющейся при движении по углу от экватора (или от 
min,

 
min

) к полюсам. Исключение составляют полюсы и при 
*
0
q
q


 – некоторые точки 
i
 для состояний частицы с 
32
j 
. 
 
 
Введение 
 
В терминах мультипольных моментов простейшим статическим решением 
вакуумных уравнений Эйнштейна является метрика Шварцшильда, у которой 
существует только массовый монопольный момент. Первое вакуумное решение с 
квадрупольным массовым моментом было получено Вейлем в 1917 г. [1]. С тех 
пор в литературе появилось много работ, посвященных исследованиям вакуумных решений с ненулевыми мультипольными моментами (см., например, [2–14]). 
Достаточно 
простая 
компактная 
форма 
для 
квадрупольной 
метрики  
(q-метрики) получена в [4]. В сферических координатах ее можно представить в 
виде 
                                   
 
1 © Grav. Cosmol. 2017. Vol. 23, N 2. Р. 149–161. DOI: 10.1134/S0202289317020050; arxiv: 
1706.05229 (gr-qc, hep-th). 

Избранные труды… 
4 
q
q




2
1
2
2
2
2
2
2
2
2
2
2
2
0
0
0
(1) 
0
2
0
sin
1
1
1
sin
.
1
4
1
q
q
r
r
r
dr
ds
c dt
r d
r
d
r
r
r
r
r
r
r





































































В (1) 
0
2
2GM
r
c

 – горизонт событий (гравитационный радиус) поля 
Шварцшильда. Ниже будем использовать систему единиц 
1
c

. 
q-метрика является аксиально-симметричным вакуумным решением, которое при 
0
q  сводится к сферически-симметричной метрике Шварцшильда. 
Из условия положительности массы Арновитта–Дезера–Мизнера следует 
условие 
1
q  [13]. Интервал 


1,0
q
 описывает вытянутое вдоль аксиальной 
оси массовое распределение источника q-метрики; интервал 


0,
q
 описывает 
сжатое массовое распределение. 
q-метрика имеет голые сингулярности при 
0
r 
 и 
0
r
r

. При некоторых 
значениях параметров существует третья сингулярность [13], определяемая 
уравнением 
2
2
2
0
0
sin
0.
4
r
r
r r



    
(2) 
Наша работа посвящена исследованию квантово-механического движения 
частиц со спином 1/2 в поле голых сингулярностей q-метрики (1). 
Анализ проведен с помощью эффективных потенциалов уравнения Дирака 
в поле q-метрики. Для такого анализа получен самосопряженный гамильтониан и 
обобщен метод эффективных потенциалов на случай, когда радиальные и угловые переменные не разделяются. В результате показано, что при 
lim
1
0
q
q



 
голые сингулярности не исключают возможности существования стационарных 
связанных состояний дираковских частиц для вытянутого распределения массы в 
q-метрике (
lim
1
q
, величина 
lim
q
 зависит от параметров q-метрики (1)). 
Для сжатого массового распределения голые сингулярности q-метрики отделены от дираковской частицы бесконечно большими отталкивающими барьерами с последующей потенциальной ямой, углубляющейся при движении по углу от экватора (или от 
min

, 
min

) к полюсам. Исключение составляют 
полюсы и при 
*
0
q
q


 – некоторые точки 
i
 для состояний частицы с 
32
j 
. 
(Расчеты, проведенные с помощью пакета программ «Maple», показали, что 
*
1,4142
2
1,41424
q



. Подробнее о смысле 
*
q  см. п. 3.1). 
Работа организована следующим образом. В разделе 1 получен самосопряженный дираковский гамильтониан в поле q-метрики. В разделе 2 для случая, 
когда радиальные и угловые переменные не разделяются, обобщен метод полу

Движение частиц со спином 1/2 в аксиально-симметричном поле… 
5 
чения эффективных потенциалов уравнения Дирака. В разделе 3 полученный 
эффективный потенциал исследуется в зависимости от 

,
r  и от начальных параметров q-метрики. В разделе 4 обсуждается соответствие полученных результатов гипотезе космической цензуры. В Заключении кратко обсуждаются полученные результаты. 
 
 
1. Самосопряженный гамильтониан частицы со спином 1/2  
в поле q-метрики 
 
Искомый гамильтониан определим с помощью алгоритмов получения самосопряженных дираковских гамильтонианов во внешних гравитационных полях с использованием методов псевдоэрмитовой квантовой механики [15–17]. 
В (1) обозначим 
0
1
,
S
r
f
r

 
(3) 
q
q
 
(4) 


r
a r
r f


2
2
2
0
2
sin
,
1
.
4
S













Тогда ненулевые компоненты метрического тензора в (1) имеют вид 




1
1
2
2
2
00
11
22
33
;
,
;
,
;
sin
.
q
q
q
q
S
S
S
S
g
f
g
f
a r
g
f
a r
r
g
f
r










     (5) 
Ненулевые тетрадные векторы в калибровке Швингера [18] и -матрицы 
Дирака с мировыми индексами 
        (6) 
q
q
q
q
s
s
s
s
f
f
f
H
f
H
H
H
r
a r
a r
r
1
1
2
2
2
0
1
2
3
2
0
1
2
3
1
1
2
2
;
;
;
,
sin
,
,














        (7) 
1
1
2
2
2
0
0
1
1
2
2
3
3
2
1
1
2
2
;
;
;
.
sin
,
,
q
q
q
q
s
s
s
s
f
f
f
f
r
a r
ra r


















В (6), (7) подчеркнутые индексы являются локальными индексами. Знак 
«~» над величинами означает, что они рассчитаны при использовании тетрадных 
векторов в калибровке Швингера. 
Для диагональных метрических тензоров g самосопряженный гамильтониан в -представлении (с плоским скалярным произведением волновых 
функций) легко вычисляется из равенства, полученного в [17]: 


1
,
2
red
red
H
H
H 


 
(8) 
где 

Избранные труды… 
6 
 
(9) 
0
0
00
00
.
k
red
k
m
i
H
g
g
x





В (8) знак «+» означает эрмитово сопряжение. 
В (9) m  – масса дираковской частицы, 
00
g
 – компонента обратного метрического тензора. 
С учетом (5), (7) получим 
q
q


1
1
s
s














1
1
0
0 1
2
2
12
H
f
m
if
r
r
a
 


q
q
s
s
1
1 ctg
2
2
1 2
1
0 1
0 2
2
1
1
2
2
f
i
f
r
a
ra
























q
q
               (10) 
1
1
1
.
2
sin
1 2
1 2
0 2
0 3
2
2
12
s
s
i f
if
r
r
a



















Уравнение Дирака в гамильтоновой форме для частицы со спином 1/2 в 
поле голой сингулярности q-метрики имеет вид 




,
,
.
t
i
H
t
t





r
r
 
(11) 
 
 
2. Эффективные потенциалы для поля голых сингулярностей  
q-метрики 
 
Из вида гамильтониана (10) видно, что радиальные и угловые переменные 


,
r  в уравнении (11) не разделяются. Необходимо обобщение стандартного 
метода получения эффективных потенциалов квадрированием уравнений Дирака 
для вещественных радиальных волновых функций. 
Волновую функцию 


, t
r
 в (11) представим в виде 





im
iEt
r
t
e
e
i
r



3
,
,
.
,















r
                     (12) 
Здесь E  – энергия дираковской частицы, m – магнитное квантовое число, спиY


12
 представляет сферические гармоники для спина 1/2. Явнор 
Y


12












ный вид 
 можно представить в виде [19] 

Движение частиц со спином 1/2 в аксиально-симметричном поле… 
7 

Y
j
m
jm
m





1
1
2
2
 

Y
j
m
jm









cos
sin
!
1
2
2
1
4
!
sin
cos
2
2
12
































12
m
P



m
l
                                      (13) 
1
2
.


12
P

m
l






















В (13) 
12
m
l
P 
 – присоединенные функции Лежандра; ,
j l  – квантовые числа 
полного углового и орбитального моментов дираковской частицы. 
Далее отметим два обстоятельства: 
1. Поскольку переменные 

,
r  в (11) не разделяются, функции 

,
r

 и 


,
r

 зависят от r  и от . 
2. Для получения вещественных эффективных потенциалов необходимо, 
чтобы функции 

,
r

 и 

,
r

 тоже были вещественными. 
После подстановки (12) уравнение (11) будет содержат спиноры 

, 

d
d


, функции 

,
r

, 

,
r

 и их производные по r  и . 
Если в гамильтониане (10) провести эквивалентную замену 
1
3
3
2
2
1
,
,
,



 
(14) 
то производную 

d
d


 в (11) можно устранить, используя уравнение Брилла и 
Уилера [20] 
          
(15) 


2
1
1 ctg
,
2
sin
m
i





















где 
1
2
,
 – матрицы Паули; 
, 
l
j
l
                              (16) 
. 
l
j
l


1
1 ,
2
1, 2,...
1
,
2












Избранные труды… 
8 
Y


12
, 
В результате, учитывая (12) и определение спинора* 

Y


12












уравнение (11) можно записать в виде системы четырех уравнений 
 
q
q
q
q
s
s
s
s







1
1
1
1
1
2
1
1 2
1
1
2
2
1
1
1
1
1
1
2
2
2
2
2
2
E
Y
f
m
Y
f
f
f
Y
r
r
r
r
a
a
a
q
q


s
s






1 1
1
1
1
,
2
1 2
1 2
2
2
1
1
1
1
2
2
2
2
f
r
Y
f
Y
r
r
a
a




















































 
q
                     (17) 
1
1
.
sin
1 2
2
1
1
2
2
s
m
f
Y
r
a















 
q
q
q
q
s
s
s
s







1
1
1
1
1
2
1
1 2
1
1
2
2
1
1
1
1
1
1
2
2
2
2
2
2
E
Y
f
m
Y
f
f
f
Y
r
r
r
r
a
a
a
q
q


s
s






1 1
1
1
,
2
1 2
1 2
2
2
1
1
1
1
2
2
2
2
f
r
Y
f
Y
r
a
a




















































 
q
                   (18) 
1
1
.
sin
1 2
2
1
1
2
2
s
m
f
Y
r
a















 
 
q
q
q
q
s
s
s
s







1
1
1
1
1
2
1
1 2
1
1
2
2
1
1
1
1
1
1
2
2
2
2
2
2
E
Y
f
m
Y
f
f
f
Y
r
r
r
r
a
a
a
q
q


s
s






1 1
1
1
1
,
2
1 2
1 2
2
2
1
1
1
1
2
2
2
2
f
r
Y
f
Y
r
r
a
a




















































 
q
                      (19) 
1
1
.
sin
1 2
2
1
1
2
2
s
m
f
Y
r
a















                                   
 
*В отличие от (13) здесь и далее для краткости в обозначениях 

12
Y  убраны индексы. 

Движение частиц со спином 1/2 в аксиально-симметричном поле… 
9 
 
q
q
q
q
s
s
s
s







1
1
1
1
1
2
1
1 2
1
1
2
2
1
1
1
1
1
1
2
2
2
2
2
2
E
Y
f
m
Y
f
f
f
Y
r
r
r
r
a
a
a
q
q


s
s






1 1
1
1
1
,
2
1 2
1 2
2
2
1
1
1
1
2
2
2
2
f
r
Y
f
Y
r
r
a
a




















































 
 
q
                      (20) 
1
1
.
sin
1 2
2
1
1
2
2
s
m
f
Y
r
a















 
Далее в (17)–(20) мы можем избавиться от производных 




,
r




 и 




,
r




. Для этого уравнение (17) умножаем на 

12Y

, уравнение (18) 
умножаем на 

12Y

 и складываем их. Аналогично поступаем с уравнениями 
(19), (20). Получаем 
    
1
1
1
1
1
2
1
1 2
1
1
2
2
1
1
1
2
2
2
q
q
q
q
s
s
s
s
E
f
m
f
f
f
r
r
r
r
a
a
a





































q




              (21) 
s
2
1
1
.
sin
Y
Y
m
f
r
a
Y
Y


1 2
1
1
2
2
2
1
2
2
2
1
1
2
2


































 
 
1
1
1
1
1
2
1
1 2
1
1
2
2
1
1
1
2
2
2
q
q
q
q
s
s
s
s
E
f
m
f
f
f
r
r
r
r
a
a
a





































q




                        (22) 
s
2
1
1
.
sin
Y
Y
m
f
r
a
Y
Y


1 2
1
1
2
2
2
1
2
2
2
1
1
2
2


































 
Уравнения (21), (22) можно использовать для стандартной процедуры получения эффективных потенциалов. Угол  и энергия частицы E  в этом случае 
являются параметрами.